平面向量与三角形“四心”（较全面）
一、“四心”概念
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心1）：外心到三角形各顶点的距离相等.
二、“四心”的充要条件
（1）是△ABC的重心.
OAOBOC0
【证法1】：设，，，
Ox,yAx,yBx,y
1122
Cx,y
33
OAOBOC0
xxxxxx0
123
xxx
123
yyyyyy0
123
x
yyy
3
123
y
3
1
是的重心.
【证法2】：∵,∴
OAOBOCOA2OD0AO2OD
∴A,O,D三点共线，且O分AD为2：1，∴ 是△ABC的重
心.
2
（2）
OAOBOBOCOCOA
为△ABC的垂心.
【证明】：如图,O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.
OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0OBAC
同理，O为△ABC的垂心.
OAOBOCAB
(3) O为△ABC的内心.
aOAbOBcOC0
【证明】：∵分别为方向上的单位向量，
ABAC
cb
,
AB,AC
ABAC
cb
3
平分
BAC
,，令
(abc)OAbABcAC0
,
AO(
ABAC
cb
)
bc
abc
AO
bc
ABAC
abc
()
,化得简
cb
4
aOAbOBcOC0
.
（4）为△ABC的外心.
|OA||OB||OC|
三、“四心”的向量表达
1
AO(ABAC)
3
1. O为△ABC的重心；
1
BO(BABC)
3
已知点是平面内的一点，若，则点的轨迹必经过的 _
OABC
OPOA,[0,)
ABAC
P
csinBbsinC
_ 心．
ABAC
【证】：由， ，即
OPOA,[0,)
(ABAC)AP
bsinC
csinBbsinC
5
故与共线，
AP
ABAC
又过中点，故点的轨迹也过中点，
ABAC
BC
DD
P
故点过三角形的重心．
P
AOBC0
2. O为△ABC的垂心.
BOAC0
（1）由.
S:S:StanA:tanB:tanC
BOCAOCAOB
tanAOAtanBOBtanCOC0
（2）.
OABCOBCAOCAB
cosCcosB
已知点是所在平面内的一点，若，则点的轨迹过_
OABCR
OPOAABAC
,
P
222222
cb
__ 心．
cosCcosB
cosCcosB
， 【证】：由知，
OPOAABAC
APABAC
bc
bc
cosCcosB
APBC
(ABBCACBC)
，
a(cosBcosCcosBcosC)0
cb
故与向量垂直，
AP
BC
故点的轨迹过垂心．
P
ABAC
已知是平面上的定点，若，则动点轨迹过三角形的_
O
OPOA,[0,)
22
P
的
csin2Bbsin2C
_ _心．
【证】：由知，
OPOA,[0,)AP,
ABACABAC
2222
csin2Bbsin2Ccsin2Bbsin2C
ABBCACBC
，则， 故
APBC()0
aa
APBC
22
2csinBbsinC
csin2Bbsin2C
故点轨迹过三角形的垂心．
P
6
是平面上一定点，动点
满足， ，则
OPOA
ABAC
[0,)
|AB|cosB|AC|cosC
7
点的轨迹一定通过△ABC的 .
【解】：AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.
ABBCACBC
|AB||BC|cosB|AC||BC|cosC
BCBC0
ABAC
BC
|AB|cosB|AC|cosC
|AB|cosB|AC|cosC
|AB|cosB|AC|cosC
∴点的轨迹一定通过△ABC的垂心.
AO(),0
ABAC
|AB||AC|
3. O为△ABC的内心；
BABC
BOt(),t0
|BA||BC|
（1）
S:S:Sa:b:c
BOCAOCAOB
sinAOAsinBOBsinCOC0
8
ACBCCBABBACA
（2）
OAOBOC0
|AB||AC||BA||BC||CA||CB|
已知点是定点，点满足:，则动点的轨迹通过的____心．
O
PP
OPOA,[0,)
ABAC
22
csinBbsinC
ABAC
【解】：由知，，
OPOA,[0,)
ABAC
AP()(0)
22
csinB
|AB||AC|
csinBbsinC
故动点的轨迹一定通过的内心.
P
ABC
（2003年全国高考题）是平面上一定点，
是平面上不共线的三个点，动点
9
ABAC
，满足 ，则点
OPOA
|AB||AC|
[0,)
的轨迹一定通过△ABC的____.
ACAB
分别为方向上的单位向量，【解】：∵如图,设
AB,AC
AE,AF
|AB||AC|
易知四边形AETF是菱形,∴平分,
ABAC
BAC
|AB||AC|
10
∴点的轨迹一定通过△ABC的内心.
4. 两点分别是△ABC的边
11
OBDOOCDO
O为△ABC的外心； 上的中点,且
EOOCEOOA
(1)(外心向量定理）
SOASOBSOC0
BOCAOCAOB
(2)由
S:S:SsinBOC:sinAOC:sinAOB
BOCAOCAOB
sin2A:sin2B:sin2C
sin2AOAsin2BOBsin2COC0
.
四、欧拉线及其向量法证明
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线叫三角形的欧拉线.
在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心.求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2.
【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系。设A(0,0)、B（x,0）、C(x,y)，D、E、
122
xxxyxy
122122
,0)、E(,)、F(,)D（
F分别为AB、BC、AC的中点，则有：
22222
xxy
221
x
由题设可设， ,
Q（,y)、H(x,y)
,)G(
1
324
33
2
xxy
212
，∴，，
AHx,y
24
QF,y
BCxx,y
212
3
222
∵,∴，∴，
AHBC
AHBCxxxyy0
22124
y
4
xxx
221
y
2
xxxy
xxy
∵,∴，∴，
QFAC
QFACxyy0
223
212
y
4
2212
2y2
2
222
∴,
OH(x,yy)(,)
243
x2xx3x(xx)y
1212212
222y2
2
12
xxxy2xxyx(xx)y
21222122112
12xx3x(xx)y
212212
1
, ∴
OG,y,
,
3
QH
633232y2
322y2
2
2
3
即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2.
QH3QG
五、其它需要熟记的知识
（1）.给出直线的方向向量或，那么该直线的法向量是（-k,1）or (-n,m) .
u(1,k)u(m,n)
（2）.给出与相交,等于已知过
OAOBOAOB
的 中点 .
13
（3）.给出,等于已知是
PMPN0
的 中点 .
（4）.给出,等于已知A，B与PQ的中点 三点共线 .
APAQ(BPBQ)
（5）.给出以下情形之一：①；②存在实数,使；③若存在实数,且,
AB//ACABAC
,1
14
使,等于已知 三点共线.
OCOAOB
（6）.给出，等于已知是的定比分点，
OP
OAOB
1
AB
为定比，即
APPB
.
（7）.给出,等于已知MA⊥MB,即∠AMB是 直角,给出,等于已知∠AMB是 钝
MAMB0MAMBm0
角 ； 给出,等于已知∠AMB是 锐角 .
MAMBm0
15
（8）.在平行四边形中，给出，
等于已知是 菱形 .
（9）.在平行四边形中，给出，等
(ABAD)(ABAD)0
|ABAD||ABAD|
16
于已知是 矩形 .
（10）.在△ABC中，给出,等于已知是△
ADABAC
1
2
ABC中边的 中线 .
17
六、典型例题
例1是平面上一定点，：
是平面上不共线三个点，动点的
18
满足， ，则点
OPOA(ABAC)
[0,)
的轨迹一定通过△ABC的（ ）.
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
19
【解】：如图所示△ABC，分
别为边的中点,
∵,∴
ABAC2ADOPOA2AD
∵,∴,∴，
OPOAAPAP2ADAP//AD
20
点的轨
迹一定通过△ABC的重心，
故选.
例2.已知向量满足条件，，
OP,OP,OPOPOPOP0|OP||OP||OP|1
111
232323
求证： △PPP是正三角形.（苏教版《高中数学》必修4第86页第7题）
123
【证明】： 由已知，两边平方得，
OPOPOP
1
23
OPOP
12
同理，
OPOPOPOP
2331
1
2
1
2
3|PP||PP||PP|
， ∴
122331
从而△是正三角形.
PPP
123
(此结论反之也成立）
21
例3.已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
111
OP(OAOB2OC)
,则点P一定为三角形ABC的( ).
322
边中线的中点 边中线的三等分点(非重心) C.重心 边的中点
【解】：取AB边的中点M，则，
OAOB2OM
111
由可得，
OP(OAOB2OC)
3OP3OM2MC
322
2
∴，
MPMC
3
即点P为三角形中边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心.
AB
故选B.
例4.(2005年全国（I）卷15)△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OHm(OAOBOC)
，则实数m = .
【解】：作直经，连，,有，，，，，
BDDADAAB
DCDCBCAHBCCHAB
OBOD
故，
CH//DAAH//DC
故是平行四边形，进而，
AHCD
AHDC
又,
DCOCODOCOB
∴,
OHOAAHOADC
故，
OHOAOBOC
所以.
m1
ABAC
ABAC1
,则△ABC为( D ). 例5.非零向量与满足且
AB
AC
BC0
|AB||AC|
|AB||AC|
2
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D．等边三角形
【解】：非零向量与满足，即角A的平分线垂直于BC，
ABAC
BC0
|AB||AC|
所以AB=AC，
又，∠A=，
cosA
1ABAC
3
|AB||AC|
2
所以△ABC为等边三角形.
22
七、练习
1.已知△ABC三个顶点及平面内一点
，满足，若实数满足：
PAPBPC0
3
ABACAP
，则的值为（ C ）. A．2 B． C．3 D．6
2
2.若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，，则( D ).
OAOBOC0OAOB
A． B．0 C．1 D．
11
22
23
3.点在△ABC内部且满足，则△ABC
面积与凹四边形ABOC面积之比是（ C ）.
A．0 B． C． D．
OA2OB2OC0
354
243
4.△ABC的外心为O，若，则M是△ABC的（ D ）.
OMOAOBOC
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【解：因，，故，故，同理，
AMOMOAbcBCcb
AMBC|c||b|
AMBC
22
BMACCMABABC
，，故为的垂心.】
M
5.已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且满足：，则P点为三角形
PAPCPAPBPBPC0
的 ( D ). A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
6.在三角形ABC中，动点P满足：，则P点一定通过△ABC的( B ).
CACB2ABCP
A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
22
24
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