古代人的计数和运算方法

古代人的计数和运算方法

5月16日下午我听了汇师小学张圆老师的一节数学课《从算筹到

计算器》（沪教版），本教学内容属于数学史知识，在人教版数学教

材里不是教学任务，只出现在“你知道吗？”等阅读环节供学生有大

致的了解。大概因为授课教师从教时间短（才工作两年）又承担着区

级研究课的压力（此次是磨课），所以课上得有点散。本节课的教学

线索记录如下：

用计数器、小棒数数（引入）→手指计数→石子计数→结绳计数

→算筹计数（展开）→筹算（简单加法）→算盘计数→珠算→计算器

计算→总结

我是第一次听这样的数学课，相对于教学方法而言我对本课的知

识内容更感兴趣。听完课的最大感受是：数学是中华古学的一支，与

今天我们称而赞之的唐诗宋词、儒道法禅、书画琴棋、兵法武术等一

样博大精深！认识到这一点后随之而来的是我无可躲闪的羞愧：对于

如此丰厚的祖宗遗产我究竟了解多少？更不论继承和弘扬了！我们总

习惯于被告知西方数学的发达，我们总习惯于欧氏几何、非欧几何、

代数、微积分的伟大——当然它们的确了不起；但我们在努力学习这

些的同时，要不要也努力温习一下我们自己的数学遗产？那么就让我

从本节课中的“算筹”起开始一番“亡羊补牢”的学习和思考吧！

第一、什么是算筹？

网上有这样的描述：算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种

数与式演算的一种工具。又称为筹、策、算子等。它最初是小竹棍一

类的自然物，以后逐渐发展成为专门的计算工具，质地与制作也愈加

精致。算筹在中国的起源很早，春秋战国时期的《老子》中就有“善

数者不用筹策”的记述。中国古代的算筹不仅是正、负整数与分数的

四则运算和开方的运算的工具，而且还包含着各种特定的演算。算筹

是在珠算发明以前中国独创并且是最有效的计算工具。中国古代数学

的早期发达与持续发展是受惠于算筹的。

算筹的计数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，

千十相望，万百相当（《孙子算经》）；满六以上，五在上方.六不积

算，五不单张（《夏阳侯算经》），如下图所示：

可以看出这是一种十进制计数法，采用纵横交错的摆法区分不同

数位上的数字，遇零则空位。

第二、如何筹算？

算筹不仅可以计数，还能进行计算，称为筹算。下面是正整数四

则运算的筹算过程：

加法：23+73=96

减法：247－128=119（分四步）

乘法：49×36=1764（分四步，积在中间）

除法：309÷7=44又1/7（分五步）

如果再学下去，明显感觉吃力，只好作罢。稍稍一瞥中已是姿容

万千，其实后面的内容相当丰富，我们会感叹于自身的孤陋和愚钝，

正如一位网友在学习筹算除法时所说：这个是我绞尽脑汁的,至今无法

参透筹算的除法方法(能理解微积分,居然被除法玩死了)。

第三、算筹的意义何在？

算筹作为中国独创的在古代相当长时间里十分先进和成熟的计算

工具曾发挥过十分强大的作用：其一、支撑起古代发达的计算及数学

体系。我国古代数学的突出特点是以计算为中心。经几代人整理、修

订而成的数学经典——《九章算术》，形成的我国古代数学体系的中

心就是筹算计算。在有史料可查的记载中，从春秋时期的“运筹”到

筹算达到极盛的宋元，起码在长达二千年的时间里，我国与计算有关

的数学成就，几乎都是应用算筹来进行计算的。可以说，没有算筹，

也就不可能有我国古代辉煌的数学成就。其二、支撑起发达的古代自

然科学及社会经济。中国古代依赖于计算的实用自然科学如天文学、

地理学、农学（田亩、水利等）、土木工程学等曾取得过至今令世人

惊叹的杰出成就，这些均受益于算筹的运用。在此基础上，才会出现

我国古代那繁荣的社会经济、强大的国力及灿烂的文明。其三、催生

算盘的产生。筹算在具有简便实用、形象具体、容易操作的优点的同

时，也存在着纵横记数和置筹不便、占用地方面积大、运筹的数字较

大和计算速度加快时摆放容易出现失误等缺点。唐宋以来筹算已经简

化，并且形成了一套运算口诀，这些口诀用字极少而意义完整。到了

元代，这种简化筹算乘除法的歌诀更加简练和完备。比较重要的歌诀

有“化零歌”、“归除歌诀”、“撞归诀”、“起一诀”等，如朱世

杰《算学启蒙》记载有“化零歌”：“一退六二五，二留一二五，三

留一八七五……”。筹算的的简化，使计算过程中，用手摆放算筹的速

度已不能适应计算的速度，这就产生了计算时得心不能应手的矛盾。

于是，“青出于蓝而胜于蓝”的算盘应运而生，这是古代中国人民长

期使用算筹进行不断优化的结果。到了明代，由于商品经济繁荣、使

用数学和商业数学的发展，要求计算更简洁、更迅速。筹算的弊端暴

露的也日益明显。珠算因“随手拨珠便成答案”的优点，而备受青睐。

加之珠算吸收了筹算的运算技巧，很快筹算被珠算取代。明代的后期，

算筹最终被送进了历史的博物馆。其四、沉淀成宝贵的数学遗产。现

在虽然进入信息时代，电子计算机以其超强的计算能力将算筹和算盘

远远地抛进历史尘埃里。但是，算筹算盘附带着筹算与珠算那精深的

数学思想与方法却仍然具有重要的研究与应用价值，不会随时间的流

逝而泯灭。当下不是流行对古代经典的重读吗？央视《百家讲坛》一

类节目已对《论语》、《三字经》、《道德经》、《诫子书》、《易

经》、《山海经》等古学进行解读，并掀起过一波波的争论。什么时

候也有人来解读解读《周髀算经》、《九章算术》？到时候我一定做

一名最忠实的听众！我想其意义绝不比前者差。这不仅仅是对古代数

学经典的了解及对我国灿烂文化的感受问题，更重要的是正视我们祖

先几千年积累的传统数学成就、领悟数学经典中包含的深刻而独特的

数学思想与方法。我相信从中我们不仅仅能收获古人的知识，更能传

承古人的智慧，获得创造的灵感与启示。我也相信其中隐藏着通向数

学创新的密码，关键是我们要具有识别他的意识与智慧。写到这里我

越发觉出自身的局限，面对如此美妙的数学遗产我却是个十足的盲人！

深呼吸——夜，已很深……