用经典的回归模型进行统计控制的问题

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数理统计与管理 第25卷 第5期 2005年9月

文章编号：1002—1566（2005）05—0064—04

经典的用回归模型进行统计控制中的问题

孙尚拱，何平平

（北京大学卫生统计教研室，北京，100083）

摘要：利用回归模型进行统计控制，在实际工作中一直得到广泛应用。通常采用的方法是利用回

^^

=a+bx进行逆估计，-a）归模型y即根据回归模型的变换x=（y/b，由应变量Y的取值范围反推

自变量

X的取值范围。本文指出这种方法是很不合理的；进一步提出二种相对合理取代的统计方

法。

关键词：回归模型；统计控制

中图分类号：

O212文献标识码：A

ProblemofTraditionalStatisticalControlinRegressionModel

SUNShang-gong，HEPing-ping

（DepartmentofHealthStatistical，PekingUniversity100083）

Abstract：Statisticalcontrolinregressionmodelhasbeenappliedwidelyinpractice.Itisanusualmethodtoestimate

^^

=a+bx.Thatistosay，accordingtotheinverformofregressionmodelx=-reverlyinregressionmodel（

yy

a）/b，wecandeducetherangeofindependentvariableXfromtherangeofdependentvariableY.Butthemethodis

notlogicalinstatistics.Thearticleoppugnsthemethodoftraditionalstatisticalcontrolbytheoryofandfurnishtwo

methodstosubstitutetraditionalmethod.

Keywords：regressionmodel；statisticalcontrol

回归模型的应用中有两个方面：统计预测（statisticalforecast）和统计控制（statisticalcon-

^

=a+bx，trol）。所谓预测就是根据回归模型y把自变量x代入回归模型对应变量Y进行估计，

其波动范围可按求个体Y值置信区间方法计算。统计控制则正好与此相反。统计控制中的

^

-a）常用方法是利用回归模型进行逆估计，即根据回归模型的变换x=（/b，由应变量y的取

y

值范围反推自变量

x的取值范围。

［1］［，2］［，3］［，4］

。本文对传统的利用回

目前国内外文献及书籍中，基本上都是上述的逆推理法

归模型进行统计控制的理论提出质疑；通过实例，说明了传统方法在理论及实用中都是不妥的。

1 用回归模型的逆推理做统计控制存在理论上的问题

记应变量

Y对自变量X的直线回归模型为

^

=a+bxy（1）

解出

^

-a）x=（y/b（2）

今要求应变量Y只能在给定的范围内波动，试求自变量X的取值范围。经典做法：由（1）

收稿日期：2004年03月10日

孙尚拱，何平平：经典的用回归模型进行统计控制中的问题

^

，把应变量Y的取值范围代入（2）中的y再反推自变量X的取值范围。

［5］

实例分析

65

美国某家医院为了预测低出生体重（出生体重2500g），现收集一组数据用于建立预报

≤

公式。测量31名临产孕妇的尿中雌三醇浓度（Estriol，mm/24hr）以及此后出生的婴儿体重

（Birthwei，单位：g/100）。测得数据如下：

雌三醇浓度（mm/24hr）：

7 9 9 12 14 16 16 14 16 16 17 19 21 24 15 16 17 25 27 15 15

15 16 19 18 17 18 20 22 25 24

出生体重（g/100，与上顺序对应）：

25 25 25 27 27 27 24 30 30 31 30 31 30 28 32 32 32 32 34 34

34 35 35 34 35 36 37 38 40 39 43

问题：雌三醇浓度取何值，能预测临产孕妇将会有低出生体重的婴儿？

根据传统的方法是以

Estriol为自变量（x），Birthwei为应变量（y），建立线性回归模型：

Birthwei的估计值=21.523+0.608×Estriol（3）

-

残差标准差s=3.8211，lxx=677.42，x=17.2258。

e

把Birthwei=25代入回归模型（3）式，得

25=21.523+0.608×Estriol

解得 雌三醇浓度值为

Esriol=5.7178（mm/24hr）

一般预测法就是：当孕妇尿中雌三醇浓度

≤

5.7178mm/24hr时，就预测出生婴儿体重会低于

2500g。

问题：（1）如上述问题中的y是正态随机变量（单纯的拟合时，回归问题可用于非随机变

量）时，上结果能给出把握度（概率）吗？一般是没有也不考虑的。如果考察概率，我想，按回

归理论应计算

Estriol=5.7178（mm/24hr）时应变量Birthwei的置信区间，即根据下面公式估计

Birthwei（y）的95%置信区间（双侧）：

0

^^^

031-200exx0

±t））=s（ 其中（1+1/n+（x-x）/l

yyy

根据此公式，Estriol=5.7178（mm/24hr）时Birthwei的95%置信区间为：

2

25±2.045×3.8211+1/31+（5.7178-17.2258）/677.42=（16.3418，33，6582）

ヘ

此结果表明：当Estriol>5.7178（mm/24hr）时，Birthwei值低于2500克的机会近似于50%，换

2

ヘ

Birthwei值高于是2500克的机会也只有50%！此结果对于预测低出生体重能有什么句话说，

实际意义？

问题（

2）上述的逆推理法求自变量（x）的值合理吗？即我们能否把回归公式当作普通的数学

^

=a+bx中，自然的有2=3-1那样逆推？答案应是否定的。理由是1+2=3，

y式子：比如

2

^

ii

）（a，b）是按下述代数学原理求出： （y-y=min

Σ

注意此公式仅考虑‘用x去拟合y’，而不是同时拟合（x，y）。也就是说，回归公式的使用只能

是单向的，它不应该当作‘1+2=3，自然的2=3-1’那样的可以双向使用！

2 合理的统计方法

根据回归理论，上述实例应把Estriol作为应变量（仍记x），而以Birthwei为自变量（仍记

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数理统计与管理 第25卷 第5期 2005年9月

作y），从而且建立线性回归模型。由上数据可得：

Estriol=-2.335+0.611×Birthwei，（4）

残差标准差

s=3.8308，

e

Birthwei，均数（y）=32

Birthwei，的l=674

yy

当Birthwei=25时，Estriol的估计值为

Estriol=-2.335+0.611×25=12.940（单位）（5）

^

0

）Estriol=12.940（单位）的（为：

x

^

0e0yy

）=s（x1+1/n+（y-y）/L=3.83081+1/31+（25-32）/674=4.0268

Estriol=12.940（单位）的95%下侧临界值为

ヘ

ヘ

12.940-t×4.0268=12.940-1.699×4.0268=6.098

0.05（单）

即如Estriol正态性成立，则Estriol<6.098时，仅有5%的概率认为孕妇将出生“低体重”的婴儿。

3 另一统计方法

上法中的一个统计理论问题：当x不是随机时（比如，x=每亩化肥量，y=每亩作物产

量），公式（

4）似乎不合理。但应注意：公式（3）及（4）都是代数学中的数据拟合，它们根本没

有涉及变量的‘随机分布’！随机性是仅当要求找出‘概率及置信区间’时才有要求。如果x

不是随机而y是正态，要求只能由（4）出发而计算结论的概率时，可以从下面不等式中求待估

^

00

的95%区间的下限为：x：利用yy

的下限

≥

a+bx-ts1++=y（5）

0n-2e0

22

^^

00

的95%区间的上限为利用yy的95%区间的上限为利用y<y

≤

cx+cx+c=0（6）

10203

2

上两式都化简变为同一式求根：

lb2ll

xxxxxx

2

n+1

22

其中l

c=。=-1，c=（a-y）b+2x，c=（a-y）-x-

12030xx

222

n

（ts）（ts）（ts）

eee

此例中 y=25，t=1.699，s=3.8211，l=677.42，x=17.2258，

0n-2exx

a=21.523，b=0.608，n=31

代（6），可解得：x=-9.7904（单位），x=-16.5706（单位）。x=-9.7904（单位），x=

01020101

-9

.790对应于单侧下限，负数是明显的不合理。说明本文的实例如从（3）出发求95%下限

是不存在的。

4 一个严重的问题

利用回归模型做逆推理从而找出需要控制的阈值，在国内外的实际工作中一直得到非常

广泛的应用。但从本文可见，目前国内外对于统计控制的应用，普遍存在有误区。问题的严重

性在于国内外一直都在用（

3）的逆推法制定世界及国内的食物营养、药品、毒品、环境及各种

标准！而由上讨论可见，已有的标准是多么的错误！

ヘ

2

1

（x-x）

0

nl

xx

孙尚拱，何平平：经典的用回归模型进行统计控制中的问题

［参考文献］

［1］ BernardRosner.FundamentalsofBiostatistics，5editionBrooks，2000.

th

［2］ 刘定远.医药数理统计方法［M］.北京：人民卫生出版社，1999.

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67

（上接第49页）

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［7］ 唐启义、冯明光.实用统计分析及其DPS数据处理系统［M］.北京：科学出版社，2002.

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∥

（上接第59页）

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