幂函数1

《幂函数》教学设计

【学习目标】

知识与技能

理解并掌握幂函数的图象与性质，能初步运用所学知识解决有关问题，培养灵活思维

能力.

过程与方法

通过具体函数归纳与概括幂函数定义、图象和性质，体验数学概念的形成过程，培养

学生的抽象概括能力.

情感、态度与价值观

培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的能力，培养学生合作交流的意识.

【学习重点】

学习重点

从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用.

学习难点

概括幂函数的性质.

【问题导学】我们先来研究五个具体问题：

(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付P=W元，P是W的函数

(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=，

a

2

a是S的函数

(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=，

a

3

V是a的函数

(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长a=,

S

S是a的函数

(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=,

t

1

v是t的函数

通常我们用x表示自变量，用y表示函数值.若将它们的自变量全部用x表示，函数

值用y表示.请写出它们的函数关系式

1. 2. 3. 4. 5.

yx

yxyx

yx

yx

123

【探究】以上问题中的函数都具有什么共同特征？

① 函数值都是以自变量为底的幂;

x

② 指数是常数;

③ 幂的系数是.1

【归纳总结】

幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量是常数.

yx



x



1、对于幂函数，我们只讨论 =1,2,3, ,-1时的情形.

1

2

1

2



1

2

2、幂函数的定义方式是一种形式定义，解析式是幂的形式,

底数是自变量x,指数是常数,幂的系数为1.

【】

练一练

1.下列函数中哪几个是幂函数？

y2

（1） （3） (4) （2）

x

2

yx

yx1

y3x

1

2

1

2

m

若函数y(m1)x是幂函数，求m的值？

2.

【探究】幂函数形式相似，那么，它们间的

yx与指数函数y=a(a0且a1)

ax

联系与区别是怎样的？完成下表：

元素名称

函数种类 解析式

a





底数 指数 指数函数 幂

指数 底数 幂函数 幂

x

y

ya

x

yx

a

【探究展示】学习了幂函数的定义之后，接下来我们研究幂函数的性质，课标只要求掌握指

1

数分别为1、2、3、、五种幂函数的图象和性质.下面请拿出坐标纸，在同一平面直角坐

1

2

标系中，作出幂函数，，，，的图象，并将你发现的结论填

yx

yxyx

231

yx

yx

在表格中．

幂函

yx

数

性质

定义域 R R R

231

1

2

yxyx

yx

yx

1

2

[0,)(,0)(0,)

值域 R R

[0,)[0,)(,0)(0,)

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 既不是奇奇函数

函数，也不



,0



单调性 增函数 增函数 增函数

减函

是偶函数

(,0)

减函数

(0,)

减函数

数

[0,)

增函

数

公共点

（1，1）

【归纳总结】结合上表和图象，你能得出这五种幂函数有那些共同特性？

1.所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,且函数图象都通过点(1,1);

2.幂函数，当时，是奇函数；当时，是偶函数,

yx





1,3,1



1

3.当时，在 (0,+∞) 上，是增函数.



1,2,3,

2

2

4.幂函数在(0,+∞) 上是减函数，图象向上与轴无限地接近,向右与轴无限

yx

1

y

x

地接近.

从图象上我们可以观察幂函数的性质，从理论上我们也可以解决幂函数的性质，接下来

请同学们看下面的问题.

【典例赏析】

1.已知幂函数y=f(x)的图象过点 ，求这个函数的解析式



2,2

．

2． 证明：函数上是增函数．

fxx



在0,+





【达标测试】

1

,y2x,yxx,yx1,yxy

320

中，幂函数有（ ） 1．在函数

2

x

A．1个 B．2个C．3个 D．4个

1

2．设，则使函数的定义域为R，且为奇函数所有的



{1,1,,3}

yx





2

值为（）． A．1，3 B．-1，1 C．-1，3 D．-1，1，3

1

3．已知幂函数的图象过点=

yf(x)

(9,)，则f(25)

3

4．已知，比较的大小．

0x1

x，x，x，x，x

123

1

21，，

四个值，相应于曲5．如图，曲线是幂函数在第一象限的图象．已知分别取

yx

n

n

2

1

2

线依次为（）

C,C,C,C的n

1234

11

22,1,,11,,1，

(B) (A)

22

11

(C) (D)

2,1,1,2,1,1,

22

6．证明：幂函数上是减函数．

f(x)x在(0,+)

1

【反思小结】

1.幂函数的定义;

2.五种典型幂函数的图象及性质;

3. 在应用幂函数时，不仅要考虑它的性质，还要注意结合它的图象.

【课后巩固】1.课本 2．学案