初中数学知识点总汇(详细)

初中数学知识点总汇

一、数与代数A：数与式：

1：有理数

有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数

数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某

一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴

②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的

相反数，也称这两个数互为相反数。

在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点

距离相等。

④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数

小于0，正数大于负数。

绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝

对值。

②正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是他的相反数/0的绝对值是

0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。

②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的

数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加

不变。

减法： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与

0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。

乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A

叫底数，N叫次数。

混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里

的。

2：实数

无理数：无限不循环小数叫无理数

平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A

的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做

A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平

方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方

数。

立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立

方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。

③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。

实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，

绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一

样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。

3：代数式

代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。

合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫

做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类

项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

4：整式与分式

整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项

式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和

叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做

这个多项式的次数。

整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

幂的运算：

AAA,(A)A,(AB)AB,A1,A

mnmnmnmnnnn0p

1

A

p

整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂

分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。②单项式与

多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所

得的积相加。③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另

外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。??

公式两条：平方差公式/完全平方公式

整式的除法：①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商

的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商

的一个因式。②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除

以单项式，再把所得的商相加。

分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把

这个多项式分解因式

方法：提公因式法/运用公式法/分组分解法/十字相乘法

分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是

分式，对于任何一个分式，分母不为0。②分式的分子与分母同乘以

或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。

分式的运算：乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积

作为积的分母。

除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。

加减法：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。②异分

母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。

分式方程：①分母中含有未知数的方程叫分式方程。②使方程的分母

为0的解称为原方程的增根。

B：方程与不等式

1：方程与方程组

一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的

指数是1，这样的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去

或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化

为1。

二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1

的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程

组。??

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的

一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。

2：不等式与不等式组

不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边

都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘

以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除

以同一个负数，不等号方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求

不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数

的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在

一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元

一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

3：函数

变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变

量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

一次函数：①若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（b为

常数，k不等于0）的形式，则称y是x的一次函数。②当b=0时，

称y是x的正比例函数。

一次函数的图象：①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分

别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有

这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数Y=KX的图象是

经过原点的一条直线。③在一次函数中，当k<0，b，则经234象

限；当k<0，b>0时，则经124象限；当k>0，b<0时，则经134象限；

当k>0，b>0时，则经123象限。④当k>0时，y的值随x值的增大

而增大，当x<0时，y的值随x值的增大而减少。

二、空间与图形

A：图形的认识：

1：点，线，面

点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线

与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动成体。

展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是

相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形

状相同，侧面的形状都是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的

棱柱。

截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

3视图：主视图，左视图，俯视图。

多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的

封闭图形。

弧，扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形

叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。

2：角

线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没

有端点。④经过两点有且只有一条直线。

比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的

长度，叫做这两点之间的距离。

角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的

公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一

秒。

角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。

②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的

角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周

角。③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，

这条射线叫做这个角的平分线。

平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外

一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第3

条直线平行，那么这两条直线互相平行。

垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。②互

相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条

直线与已知直线垂直。

3：相交线与平行线

角：①如果两个角的和是直角,那么称和两个角互为余角；如果两个

角的和是平角，那么称这两个角互为补角。②同角或等角的余角/补

角相等。③对顶角相等。④同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，

两直线平行，反之亦然。

4：三角形

三角形：①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形

叫做三角形。②三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之

差小于第三边。③三角形三个内角的和等于180度。④三角形分锐角

三角形/直角三角形/钝角三角形。⑤直角三角形的两个锐角互余。⑥

三角形中一个内角的角平分线与他的对边相交，这个角的顶点与交点

之间的线段叫做三角形的角平分线。⑦三角形中，连接一个顶点与他

对边中点的线段叫做这个三角形的中线。⑧三角形的三条角平分线交

于一点，三条中线交于一点。⑨从三角形的一个顶点向他的对边所在

的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。⑩三角形的

三条高所在的直线交于一点。

图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合的图形叫

全等图形。

全等三角形：①全等三角形的对应边/角相等。②条件：

SSS/AAS/ASA/SAS/HL。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然。

5：四边形

平行四边形的性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。③平行四

边形的对边/对角相等。④平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形的判定条件：两条对角线互相平分的四边形/一组对边平

行且相等的四边形/两组对边分别相等的四边形/定义。

菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。②领心的四条边相等，

两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。③判定条件：

定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。

矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。②矩形

的对角线相等，四个角都是直角。③对角线相等的平行四边形是矩形。

④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。⑤一组邻边相等

的矩形是正方形。

梯形：①一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。②两条

腰相等的梯形叫等腰梯形。③一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

④等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线星等，反之亦然。

多边形：①N边形的内角和等于（N-2）180度。②多边心内角的一边

与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶

点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和

（都等于360度）

平面图形的密铺：三角形，四边形和正六边形可以密铺。

中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋

转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫

做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都

被对称中心平分。

B：图形与变换：

1：图形的轴对称

轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相

重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②线

段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。③等腰三角形

的“三线合一”。

轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对

应角相等。

2:图形的平移和旋转

平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样

的图形运动叫做平移。②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，

对应线段平行且相等，对应角相等。

旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，

这样的图形运动叫做旋转。②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转

中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连

线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

3：图形的相似

ACACABCD



，那么AD=BC，反之亦然。②，那么。 比：①

BDBDBD

ACNACNACN



③那么

BDMBDMBDM

ACBC



黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果，那

ABAC

么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC

与AB的比叫做黄金比（）。

5

相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边

形。②相似多边形对应边的比叫做相似比。

相似三角形：①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相

似三角形。②条件：AA/SSS/SAS。

相似多边形的性质：①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线

的比都等于相似比。②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于

相似比的平方。

图形的放大与缩小：①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应

点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，

这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。②位似图形上任

意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

C：图形的坐标

平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成

平面直角坐标系。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴

或纵轴，X轴与Y轴统称坐标轴，他们的公共原点O称为直角坐标系

1

2

的原点。他们分4个象限。XA，YB记作（A，B）。

D：证明

定义与命题：①对名称与术语的含义加以描述，作出明确的规定，也

就是给出他们的定义。②对事情进行判断的句子叫做命题（分真命题

与假命题）。③每个命题是由条件和结论两部分组成。④要说明一个

命题是假命题，通常举出一个离子，使之具备命题的条件，而不具有

命题的结论，这种例子叫做反例。??

公理：①公认的真命题叫做公理。②其他真命题的正确性都通过推理

的方法证实，经过证明的真命题称为定理。③同位角相等，两直线平

行，反之亦然；SAS/ASA/SSS，反之亦然；同旁内角互补，两直线；

平行，反之亦然；内错角相等，两直线平行，反之亦然；三角形三个

内角的和等于180度；三角形的一个外交等于和他不相邻的两个内角

的和；三角心的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。④由一个

公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。

三、统计与概率

1：统计

科学记数法：一个大于10的数可以表示成的形式，其中1小

A10

N

于等于A小于10，N是正整数。

扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不

同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图

叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部

分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。

各类统计图的优劣：条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；

折线统计图：能清楚反映事物的变化情况；扇形统计图：能清楚地表

示出各部分在总体中所占的百分比。

近似数字和有效数字：①测量的结果都是近似的。②利用四舍五入法

取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪

一位。③对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到

的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

平均数：对于n个数，我们把叫做这个n个

x,xx

12n

数的算术平均数，记为。

x

加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计

算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均

数。

中位数与众数：①n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个

xxx

12n

n

数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。②一组

数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。③优劣：平

均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现

实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值

影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复

次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。

调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，

其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称

为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，

其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只

考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，

人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为

了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。

频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数

与总次数的比值为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将

数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。

数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方

差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。③标准差就是方差的算

术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，这

组数据就越稳定。

2：概率

可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事

件；有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；

必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会

不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生

的可能性是有大小的。

概率：①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用

0来表示不可能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜

的可能性相同。③必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；

不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；如果A为不

确定事件，那么0 < P（A）< 1。

定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

yaxbxc

2

（，b，c为常数，≠0，且决定函数的开口方向，>0

aaaa

时，开口方向向上，<0时，开口方向向下。还可以决定开口大

a

|a|

小, 越大开口就越小, 越小开口就越大。）

|a||a|

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

x是自变量，y是x的函数

二次函数的三种表达式

一般式：（，b，c为常数，≠0）

yaxbxc

2

aa

顶点式： [抛物线的顶点P（h，k）] 对于二次函数

ya(xh)k

2

b4acb

2

yaxbxc

其顶点坐标为

(,)

2a4a

2

交点式： [仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和 B（x?，

ya(xx)(xx)

12

0）的抛物线

bb4ac

2

其中

x

1,2

2a

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

bb4ac

2

4acb

2

b

h= k=



x

1,2

2a

4a

2a

二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数的图像，

yx

2

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = 。



b

2a

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

b4acb

2

)(,

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P

2a4a

当=0时，P在y轴上；当Δ= =0时，P在x轴上。



b

b4ac

2

2a

3.二次项系数决定抛物线的开口方向和大小。

a

当＞0时，抛物线向上开口；当＜0时，抛物线向下开口。

aa

||越大，则抛物线的开口越小。??

a

4.一次项系数b和二次项系数共同决定对称轴的位置。

a

当与b同号时（即b＞0），对称轴在y轴左；

aa

当与b异号时（即b＜0），对称轴在y轴右。

aa

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= ＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

b4ac

2

Δ==0时，抛物线与x轴有1个交点。

b4ac

2

_______

Δ= ＜0时，抛物线与x轴没有交点。x的取值是虚数（x=

b4ac

2

bb4ac

2

的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2）

a

4acb

2

bb

当>0时，函数在x= 处取得最小值f()=；在{x |

a



4a

2a2a

x<}上是减函数，在{x | x>}上是增函数；抛物线的开口向



bb

2a2a

4acb

2

上；函数的值域是{x | x ≥}相反不变

4a

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变

形为

yaxc(a0)

2

二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数），

yaxbxc

2

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即

axbxc0

2

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数，，， (各

yaxya(xh)ya(xh)kyaxbxc

2222

式中，)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对

a0

称轴如下表：

解析式

yaxya(xh)ya(xh)kyaxbxc

2222

，，，

顶点坐标

b4acb

2

)(,

(0，0) (h，0) (h，k)

2a4a

对 称 轴

x=0 x=h x=h x=



当h>0时，的图象可由抛物线向右平行移动h

ya(xh)yax

22

个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线向右平行移动h个单位，再向上

yax

2

移动k个单位，就可以得到的图象；

ya(xh)k

2

当h>0,k<0时，将抛物线向右平行移动h个单位，再向下

yax

2

移动|k|个单位可得到的图象；

ya(xh)k

2

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动

k个单位可得到的图象；

ya(xh)k

2

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动

|k|个单位可得到的图象；

ya(xh)k

2

因此，研究抛物线 ()的图象，通过配方，将一

yaxbxc

2

a0

般式化为的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线

ya(xh)k

2

的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线 ()的图象：当>0时，开口向上，

yaxbxc

2

a0

a

b

2a

b4acb

2

b

)(,

．当<0时开口向下，对称轴是直线x=，顶点坐标是

a



2a4a

2a

b

时，y随x 3．抛物线 ()，若>0，当x ≤

2a

bb

的增大而减小；当x ≥时，y随x的增大而增大．若<0，当x ≤



a

2a2a

b

时，y随x的增大而增大；当x ≥时，y随x的增大而减小．



2a

yaxbxc

2

a0

a



4．抛物线的图象与坐标轴的交点：

yaxbxc

2

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，

b4ac

2

其中的,是一元二次方程

xx

12

axbxc0

2

(≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一

a

对对称点的距离可以由

|2×（）－A |（A为其中一点）



b

2a

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当>0时，图象落在x轴的上方，

a

x为任何实数时，都有y>0；当<0时，图象落在x轴的下方，x为

a

任何实数时，都有y<0．

5．抛物线的最值：如果>0(<0)，则当x= 时，

yaxbxc

2

aa



4acb

2

y最小(大)值=．

4a

b

2a

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最

值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对

应值时，可设解析式为一般形式：

yaxbxc

2

()．

a0

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式

为顶点式： ()．

ya(xh)k

2

a0

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析

式为两根式：()．

ya(xx)(xx)

12

a0