2009 Jul.200928 60
年《和田师范专科学校学报》（汉文综合版）第卷第四期总第期
可交换矩阵浅析
李瑞娟 张厚超
（平顶山学院数学与信息科学学院 河南平顶山 467000）
[摘 要]
本文从交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，
对可交换矩阵做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的充分条件、充要条件以
及可交换矩阵的一些性质及特殊的求法。
证明：①若，由可逆得，
AB0
=
A
BAABAAB
===
()()0
−−
11
从而，；若，同理得
BA0
=
AB=BA
A=AB
BAAB
==
()
−
1
AABE
−
1
()
=
，故；若，则
AB=BABA
A
=
BBAA
==
()
−
1
()
BAAE
−
1
=
，故。②因均可逆，故由
AB=BA
AB
,
A=(A−kE)B
得可逆，且
A−kE
BAkEA
=−
()
−
1
，则
−
1
−
1
′
⎡⎤
′
=
′
ABAkEBAkEABAkEA(AkE)
′′′′′
=⎡−⎤−=−−
⎣⎦
()()()
⎣⎦
[]
−−
11
B(AkA)(AkE)B(AkE)A(AkE)
′′′′
2
−−=−−
′
[][][]
′
=。
BA=(AB)
′′′
[关键词]
矩阵；可交换；可交换矩阵
1.预备知识
定义1.1若同阶方阵有，则称方阵A与B为可
AB
,
AB=BA
交换阵。
定义1.2若
n
阶方阵A=中元素满足
(
两边取转置得或由
AB=BA
。
ABAkEB
−−
11
=−
⎡⎤
()
⎣⎦
−−
121
⎡⎤
()()()
AkEABAkEAAkE
−=−−=
−−
11
−−
11
BAkA
()
−
⎣⎦
−
1
−
1
aaij
ij
)
n×nij
=0，，
≠
()
AkEBAkEAAkEBA
−=−−=
−−−
111
⎡⎤
⎣⎦
()()
可得。
AB=BA
−
1
，两边取逆
⎛⎞
a
ijn
、=，称A为阶对角阵，记A=
1,2,L,
n
⎜⎟
11
。
O
⎜⎟
⎜⎟
a
nn
⎠⎝
3.矩阵可交换的几个充要条件
定理3.1下列均是可交换的充要条件:
A,B
①；
A−B=(A+B)(A−B)=(A−B)(A+B)
22
②；
(A±B)=A±2AB+B
222
③；
(AB)=AB
′′′
④；
(AB)AB
∗∗∗
=
⑤
()
AB
−
1
定义1.3在
n
阶对角阵A中，若
aaa
1122nn
===
⋯=，
λ
定义1.4若阶方阵A满足，其中为A的转置阵，
n
A=A
′
A
′
则称A为对称阵。
定义1.5若阶方阵A=满足A，即
，称此时的A为数量阵。记=，其中E为阶单位阵。
λ
∈R
AE
λ
n
n
(
a
ijn×n
)
−A
′
=
=
AB
−−
11
。
aaij
ijji
=
-=，其中为A的转置阵，则称A
(,)
1,2,,n
L
A
′
为反对称阵。
定义1.6若同阶方阵满足，其中E为同阶
AB
,
AB=BA=E
单位阵，则称A与B为互逆方阵，记逆阵
A
−
1
==
BA
，。
B
−
1
定义1.7若阶方阵A满足，其中E为阶单
nn
AA=AA=E
′′
位阵，则称A为阶正交矩阵。
n
证明 ：①由，及
(A+B)(A−B)=A−AB+BA−B
22
()
A−B
(A+B)=A−AB+BA−B
22
可证得；②由
(A±B)=A±
22
AB±BA+B
2
证得；③分别由
AB=BAAB=AB
,()
′′′
两边取转置可证
得；④分别由两边取伴随可证得；⑤分别由
ABBA,(AB)AB
==
∗∗∗
AB=BA
，
()
AB
−
1
=
AB
−−
11
两边取逆可证得。
定理3.2①设均为反对称矩阵，则可交换的充要
A,BA,B
()
2.矩阵可交换的几个充分条件
定理2.1①设至少有一个为零矩阵，则可交换；
A,BA,B
②设至少有一个为数量矩阵，则可交换；
A,BA,B
③设均为对角矩阵，则可交换；
A,B
A,B
④设
A,B
均为准对角矩阵，则可交换；
AB
,
⑤设
A
∗
是的伴随矩阵，则与可交换；
AA
A
∗
⑥设，则可交换
AB=E
A,B
。
证明：①对任意矩阵，均有：，表示零矩阵；
A
AOOA
=
O
②对任意矩阵，均有：，为任意实数；③，④
A
A(kE)=(kE)A
k
显然成立；⑤；⑥当时，均
[2]
AAAAAE
∗∗
==
AB=E
A,B
可逆，且互为逆矩阵。
定理2.2①设，其中为非零实数，则
AB=A+B,
αβαβ
条件是为对称矩阵；②设有一为对称矩阵，另一为反对称
AB
A,B
矩阵，则可交换的充要条件是为反对称矩阵。
A,B
AB
证明：①设均为对称矩阵由定理3.1③，
A,B
，
因此为对称矩阵；若均为反对称矩阵，，
AB
A,B
()
AB=AB=AB
′′′
则
()()()
AB=AB=−A−B=AB
′′′
，因此也为对称矩阵，仿①可
AB
证②
。
定理3.3设均为对称正定矩阵，则可交换的充要条
A,BA,B
件是为对称正定矩阵。
AB
证明
：充分性由定理3.2①可得，下面证明必要性。
A，B为对称正定矩阵，故有可逆矩阵
P,Q
，使，
A=PP
′
BQQ
=
′
。
于是，
ABPPQQ
=
′′
PABPPQPQ
−
1
=
()()
′′′
，所
其特征值全为正数.而AB与以为对称正定矩阵，
PABPPABP
−−
11
相似，从而AB的特征值也全为正数，因此AB为对称正定矩阵。
A,B
可交换；
②设
A+AB=E
m
α
，其中为正整数，为非零实数，则
m
α
A,B
可交换。
证明：①由得=，即
AB=A+B(A−E)(B−E)
αββα
αβ
E
1
4.可交换矩阵的性质
性质4.1阶数量阵与所有阶方阵=
nn
A=E
λ
B
(
b
ijn×n
)
可交换。
证明：因，故可交换。
λλλ
EB=BE=BE
AB
,
性质4.2与主对角线上的元素互不相等的阶对角阵A可交换
n
的矩阵仍是对角阵。
B
⎛⎞
a
1
证明
：设，其中
A
=
⎜⎟
O
⎜⎟
⎜⎟
a
n
⎝⎠
αβ
()()
AEBEE
−−=
βα
，故依定理2.1⑥得：
1
(BE)
−
α
αβ
(A−E)=EBA−A−B+E=E
βαβαβαβ
，于是，故
BA=A+
α
β
B=AB
；②由得
A+AB=E
m
α
A(AB)E
m1
−
+=
α
，故依
定理2.1⑥得
()
ABAE
m1
−
+=
α
，于是
A+BA=E
m
α
，所以可
得
AB=BA
。
定理2.3①设可逆，若或或，则
A
AB=0
A=AB
A=BA
A,B
可交换；②设均可逆，若对任意实数，均有，
A,BA=(A−kE)B
k
则可交换。
A,B
[3]
a
i
≠
a
j
(i≠j)
，
Bbijn
=
()(,=1,2,L,)
ij
n×n
，因，得到元素
AB=BA
abbaabaabaa
iijijjjijijijij
···，-0，因，
===
()
≠
199
2009 Jul.200928 60
年《和田师范专科学校学报》（汉文综合版）第卷第四期总第期
所以只有
b
ij
=
0。
(i≠j)
性质4.8型如A=的三阶方阵的可交换阵为三阶方阵
⎛⎞
bx
0
性质4.3若可交换，且是可逆的，则可交换。
AB
,
A
AB
−
1
,
因，可逆，存在，故证明：
AB=BA
A
A
−
1
AABABA
−−
11
=
，
B=，其中为任意实数。
⎛⎞
00
k
bxk
,,
⎜⎟
可交换。
BABA
=
−
1
，，即
BAABAAABAB
−−−−−
11111
==
(),
⎜⎟
00
k
⎜⎟
000
⎝⎠
性质4.4若可交换，且是正交阵，则
ABAB
,,
A
′
也可交换。
证明：因为AB==，
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
bx00k00bkkx
证明：因，A是正交阵，故
AB=BA
ABA=AAB=
′′
⎜⎟
⎜⎟
0
bx
⎜⎟
00
b
⎝⎠
EB=B
，可交换。
BAABAAABAB
′′′′′
=()=,
，即
aa
1211
⎞⎛
且
aa
=
的二阶上三角阵的
1122
⎟⎜
a0
22
⎠⎝
可交换阵仍是二阶上三角阵B且
=
⎛⎞
bb
1112
bb
1122
=
，其中
⎜⎟
⎝⎠
0b
22
性质4.5型如A
=
BA=
⎛⎞
00
k
⎜⎟
⎜⎟
00
k
⎜⎟
000
⎝⎠
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
0bx00k00bk
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
00b000000
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎛⎞
bx0
=，故。
⎛⎞
0bkkx
AB=BA
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
0bx
⎜⎟
00bk
⎜⎟
00b
⎜⎟
000
⎝⎠
⎝⎠
ab
ijij
，
(=1,2;=1,2)
ij
为任意实数。
证明：因为：
当矩阵A已知时，我们可求得与其可交换的矩阵B，例如:
例1：若A=，其中，求可交换矩阵B。
⎛⎞
λ
a
aR
,∈
λ
⎜⎟
⎝⎠
0
λ
解：由性质4.5，B=其中为任意
⎛⎞
xx
1112
⎜⎟
⎝⎠
0x
实数。
⎜⎟
⎜⎟
01
λ
⎜⎟
00
λ
⎝⎠
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
ab0b0a0
22222222
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
BA
=
⎛⎞
bbbababa
1112111111121222
⎛⎞
aa
1112
=
⎛⎞
+
，
⎟⎜
⎜⎟
⎜⎟
ba0b0
222222
⎠⎝
⎝⎠
⎝⎠
0a
22
又
aabb
11221122
AB
=
⎛⎞⎛⎞
bbaaababab
11121112111111121211
=
⎛⎞
+
，
x
(=1;=1,2)
ij
ij
11
例2：若=其中，求可交换矩阵B。
A
⎛⎞
λ
ka
akR
,,∈
λ
==
，，所以。
AB=BA
性质4.6型如且
A
=
⎜⎟
⎛⎞
aaa
111213
⎜⎟
0
aa
2223
⎜⎟
00
⎝⎠
aaa
112233
a
33
==
的
⎛⎞
bbb
111213
⎜⎟
⎜⎟
0
bb
2223
⎜⎟
00
⎝⎠
b
33
⎛⎞
xkxx
111213
解：由性质4.6，
B
=，其中
⎜⎟
x0x
1112
⎜⎟
⎜⎟
00x
⎝⎠
为任意实数。
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
100001
⎜⎟⎜⎟
010100
⎝⎠⎝⎠
x
ij
(i=1;j=1,2,3)
11
三阶上三角阵的可交换阵仍是三阶上三角阵
B
=
例3：设
AA
=，=，求所有与可交换的
⎛⎞⎛⎞
001010
′
A
且==，，其中，
bb
1133
b(i=1,2,3;j=1,2,3)
22
ab
1212
=
a
ij
b
ij
ab
2323
为任意实数。
证明：因为：
⎛⎞⎛⎞
aaabbb
111213111213
AB
=
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
00
aabb
22232223
⎜⎟⎜⎟
0000
⎝⎠⎝⎠
矩阵及所有与可交换的矩阵。
A
′
⎛⎞
aaa
123
解：设与
AB
可交换的矩阵=
⎜⎟
⎜⎟
bbb
123
⎜⎟
ccc
⎝⎠
123
∈R
(1,2,3)
i=
，则：
a
，，
bc
ii
i
ab
3333
⎛⎞
abababababab
111111121222111312231333
+++
=
⎜⎟
0
ababab
+
222222232333
⎜⎟
⎜⎟
00
ab
3333
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
bbbaaa
111213111213
⎜⎟⎜⎟
BA0bb0aa
=
⎜⎟⎜⎟
22232223
又
⎜⎟⎜⎟
00b00a
3333
⎠⎝⎝⎠
⎛⎞
babababababa
111111121222111312231333
+++
⎜⎟
=+
⎜⎟
0
bababa
222222232333
⎜⎟
00
ba
3333
⎝⎠
aaa
312
⎞⎛
⎛⎞
ccc
123
⎟⎜
， =
⎟⎜
bbb
231
⎟⎜⎟⎜
⎜⎟
aaa
123
⎜⎟
ccc
231
⎟⎜
⎠⎝⎠⎝
⎝⎠
bbb
123
⎛⎞
aaa
231
⎛⎞
001
=，由
⎜⎟
⎜⎟
bbb
100
231
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
ccc
⎜⎟
010
312
⎠⎝
⎝⎠
得=，
c
1
aaaa
2323
，=，=，=，=，=，
ccaabbb
2311231
AB=BA
⎛⎞
001
⎟⎜
100
⎜⎟
010
⎛⎞
aaa
123
BA
=
⎜⎟
⎜⎟
bbb
123
⎜⎟
ccc
231
⎠⎝
AB
=
故与可交换的矩阵==，=，=，
AB
⎜⎟
bbcb
1233
cc
21
⎛⎞
aaa
123
同样可以求得与可交换矩阵也是=。
A
′
B
⎜⎟
⎜⎟
aaa
312
⎜⎟
aaa
⎝⎠
231
aab
113322
=，==且，故。
a
22
=
bb
1133
ab
1212
=
AB=BA
ab
2323
性质4.7型如的二阶方阵的可交换阵为二阶方
阵，其中为任意实数。
Babkxy
⎛⎞
aaa
123
⎜⎟
aaa
312
⎜⎟
aaa
321
⎝⎠
。
akx
A
=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
xa
kyb
⎞⎛
,,,,=
参考文献：
⎟⎜
yb
[1]阎家灏.线性代数[M].重庆大学出版社，1994，P40～50.
⎝⎠
[2]北京大学数学系.高等代数（第二版）[M].高等教育出版社，1988.
证明：因为AB=
⎛⎞⎛⎞
akxbky
=，
⎛⎞
abkxykaykbx
++
[3]韩锦扬.矩阵乘法成立的两个充要条件与一个充分条件[J].工
AB=BA
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
xayb
⎝⎠
bxaykxyab
++
科数学，1995，P169～170.
作者简介：
李瑞娟，女，助教，平顶山学院数学与信息科学学院教师。
BA==，故。
⎛⎞
bky
⎛⎞
akx
⎛⎞
bakxykbxkay
++
AB=BA
⎟⎜
⎜⎟
⎜⎟
yb
收稿日期：2009-02-24
⎝⎠
⎝⎠
xa
⎝⎠
aybxkxyba
++
200
此例表明，和有相同的可交换矩阵，说明可交换矩阵
AB
A
′
有许多奇妙之处.而已知矩阵，求其可交换矩阵又是一个复杂问题，
值得我们进一步深入研究。
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