分式方程的增根及无解

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分式方程的增根与无解

甲：增根是什么？

乙：增根是解分式方程时， 把分式方程转化为整式方程这一变形中， 由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的 未知数的

值 比如

.

例 、解方程： 。①

1

为了去分母，方程两边乘以 ，得 ②

由② 解得 。

甲：原方程的解是 。

乙：可是当 时，原方程两边的值相等吗？

甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟！当 时，原方程有的项的分母为 ，没有意义，是不是方程变形 过程中搞错啦？

0

乙：求解过程完全正确，没有任何的差错。

甲：那为什么会出现这种情况呢？

乙：因为原来方程 ①中未知数 的取值范围是 且 ，而去分母化为整式方程②后，未知数 的取值范围扩 大为全体实数。这

x x

样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。

甲：如此说来，从方程 ①变形为方程 ② ，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么，如何知道从整式方程 ②解 出的未知

数的值是或不是原方程 ①的解呢？

乙：很简单，两个字：检验。可以把方程 ②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是 否使公分母等

于 ，如果公分母为 ，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。

00

甲：那么，这个题中 就是增根了，可原方程的解又是什么呢？ 乙：原方程无解。

甲：啊？！为什么会无解呢？ 乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等 ，如上题

中，不论 取何 值，都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程 ，不论 取何值也不能使它成立，因此，

x x

这个方程也无解。

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甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？

乙：不是！ 有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根 ，你看：

例 、解方程 ，

2

去分母后化为 ，解得 或 ，此时， 是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解 ，

而方程 ，去分母后化为 ，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。

乙：增根不是原分式方程的解， 但它是去分母后所得的整式方程的解， 利用这种关系可以解决分式方程的有关问题， 你看：

例 、已知关于 的方程 有增根，求 的值。

3 x k

首先把原方程去分母，化为 。③

因为原方程的最简公分母是 ，所以方程的增根可能是 或

若增根为 ，代入方程 ③，得 ， ；

若增根为 ，代入方程 ③，得 ， 。

故当 或 时，原方程会有增根。

甲：虽然无解的分式方程不一定有增根， 有增根的分式方程不一定无解， 但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙 的关系，这

是怎么一回事？

乙：你说的没错， 增根与无解都是分式方程的 “常客 ”，它们虽然还没有达到形影不离的程度，但两者还是常常相伴

而行的 ，在有些分式方程问题中，讨论无解的情形时应考虑增根，例如：

例 、已知关于 的方程 无解，求 的值 先把原方程化为 。 ④

4 x m

1

)若方程④无解，则原方程也无解，方程④化为 ，当 ，而 时，方程④无解，此时

()若方程④有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程④的解为 时原方程

2

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无解， 代入方程④，得 ，故 。

综合( )、( )，当 或 时，原方程无解。

12

妙用分式方程的增根解题

在解分式方程的过程中，我们还可以利用增根来求分式方程中的待定字母的值 请看下面几例

例 若关于 x的方程

1

ax 1

1 0 有增根，则 a的值为 _____________________________

.

x1

..

析解：去分母并整理，得 ，因为原方程有增根，增根只能是 ，将 代入去分母后的整式方 程，得

ax 1 x 1x 1x 1 a 1 .

例 若关于 x的方程

2

x 2 m

2无解，则 m 的值是 _____________________

.

x 3 x 3 析解：去分母并整理，得

x m 4 0 .

解之，得

x 4 m .

因为原方程无解，所以 为方程的增根 又由于原方程的增根为 所以 ， 例 已知方程

x 4 m .x 3 .4 m 3 m 1. 3.

1k

＋＝

2

有增根，则 ＝ _______________________________________________

k .

4 x x 2

2

析解：把原方程化成整式方程，得

1 2(4 x) k(x 2) 因为原方程有增根，所以增根只能是 或

2

. x 2x 2.

2

将代入1 2(4 x

x 2

2

) k(x 2)，得 k ；

1

4

4

1

将代入1 2(4 x) k(x 2) ，无解 故应填－

x 2..

2

练一练：

1. .

如果分式方程 无解，则 m 的值为( )

x m

x 1 x 1

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2

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（）（）（）－（）－

A1 B0 C1 D2

x 1 1 x

2

2. x 1k .

如果方程 2有增根 ，则 ＝ ____________________

xk x

2

答案： ； ；

1.C2.1

分式方程的增根及其应用

一、增根的原因 解分式方程时，有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程过程中，无形中取掉了原分式

方 程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，于是就产生了如下两种情况： （ ）如果整式方程的

根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的根就是分式方程的根； （ ）如果整式方程的有些根不在分

1

2

式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根，是分式方程的增根．因此，解分式方程时，验根 是必不可少的步

骤．

二、利用增根解题 不可否认，增根的出现给我们的解题带来了一定的麻烦，然而任何事物都有其两面性，由增根的原因知道，

分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还能使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问 题，常见的类型

有如下几种：

1

．已知方程有增根，确定字母系数值

例 ：若方程

1

xm

2 有增根，则 的值为 （ ）

m

x 3 x 3

A3 B3 C0 D

． －．． ．以上都不对

析解：把分式方程两边同乘以公分母 － ，得整式方程 －（－）．若原方程有增根，必须使公分母 －等于

x3x2x3=mx 3

0x=33=6mm=3B

，即 ，代入整式方程得 － ，解得 ．故应选 ．

点评：方程有增根，一定是公分母等于 的未知数的值．解这类题的一般步骤①把分式方程化成的整式方程； ②令公分母

0

为 ，求出 的值；③再把 的值代入整式方程，求出字母系数的值．

0x x

2

．已知方程无解，确定字母系数值

例 ：若方程

2

3 2x 2 mx

1无解，则 的值为 （ ）

m

x 3 3 x

A1 B3 C1 3 D1

． －．．－或．－或

3

5 分析：把分式方程化为整式方程，若整式方程无解，则分式方程一定无解；若整式方程有解，但要使分式方 程无解，

则该解必为使公分母为 时对应的未知数的值，此时相应的字母系数值使分式方程无解．

0

解：去分母，得 －－－整理 得－．若 ，则 －，此时方程无解；若

（32x）（2+mx）=3x,,（m+1） x=2m+1=0m= 1

m+1

2 2 3 3

≠，则 ．所以 的值为－ 或 ，故应选 ．

0x= m1 D

2233

是增根．因为 ，所以

=3m=

m 1 m 1 5 5 点评：方程无解的条件，关键是看转化后的整式方程解的情况．既要考虑整式方程无解的条件，又要考虑

整 式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考虑问题要全面、周到．

3

．已知方程无增根，确定字母系数值

例 ：若解关于 的方程

3x

xk x

不会产生增根，则 的值为 （ ）

2

k

A2 B1 C2 D

．．．不为± 的数 ．无法确定

x 1 x 1 x 1

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析解：去分母，把分式方程化为整式方程， －－，解关于 的方程 得 由题意分式方程无

x（x+1）k=x（x1）k ,k=2x.,

增根，则公分母 － ≠ ，即 ≠± 则 ≠± ．故应选 ．

x10x1,k 2C

2

点评：方程无增根，就意味着对应的整式方程的根使分式方程的公分母不等于 ，利用这一点可以确定字母系

数值或取值范围．

妙用分式方程的增根求参数值 解分式方程时，常通过适当变形化去分母，转化为

整式方程来解，若整式方程的根使分式方程中的至少一个 分母为零，则是增根，应舍去，由此定义可知：增根有两个性质：

（ ）增根是去分母后所得整式方程的根； （） 增根是使原分式方程分母为零的未知数的值，灵活运用这两个性质，可简捷

12

地确定分式方程中的参数（字母）值， 请看下面例示：

一、 分式方程有增根，求参数值

x 4 x a

例为何值时，关于 的方程 有增根？

1 a x =0

x 3

分析：先将原分式方程转化为整式方程，然后运用增根的两个性质将增根代入整式方程可求 的值

解：原方程两边同乘以（ ）去分母整理，得

x-3

2

0

a

x-4x+a=0

（※）

因为分式方程有增根，增根为 ，把 代入（※）得，

x=3x=3 9-12+a=0 a=3

x 4 x a

所以 时， 有增根。

a=3 =0

x 3

点评：运用增根的性质将所求问题转化为求值问题，简捷地确定出分式方程中的参数（字母）值

2 m 2 1

例为何值时，关于 的方程 x 1

2 m x + =

x 2

x

2

有增根。

3x 2

分析：原分式方程有增根，应是使分母为 的 值。将这样的 值代入去分母的整式方程可求出 的值。 解：原方程两

0xxm

边同乘以（ ）（ ）去分母整理，得

x-1x-2

（ ） （※）

1+mx=3m+4

3

因为分式方程有增根，

2

2

2

m

据性质（ ）知：增根为 或 。把 代入（※），解得

2x=1 x=2x=1 m=-

2

x=2 m=-2

；把 代入（※） 得

3

所以

m=-

2

-2

或 时，原分式方程有增根

k 2 2 点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实） ，如方程 x 1 （x 1）（ x 2） 有增根，可求得

+1= k=-

3 ，但分

8

式方程这时有一实根

x=

3

。

二、 分式方程是无实数解，求参数值

x 2 m

例 若关于 的方程 无实数根，求 的值。 分析：因原方程无实数根，将原方程去分母得到整式方程解出的

3 x = +2 m x

x 5 x 5

值为原方程的增根，又 是原方程的增根， 故可求出 的值

x=5 m

解：去分母，得 ，

x-2=m+2x-10x=-m+8

因为原方程无解，所以 为原方程的增根。

x=-m+8

又由于原方程的增根为 ，所以

x=5-m+8=5

所以 点评：这类型题可通过列增根等于增根的方程求出参数值。

m=3

分式方程的非常规解法

抓特点选方法

有些分式方程利用一般方法解非常麻烦， 若能根据题目的特点， 采用一些特殊的方法， 就可避免不必要的麻烦， 巧妙地

求得方程的解，获得意外的惊喜，现结合几道习题予以说明．

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、分组化简法

1111

例 ．解方程：

1

1 1 1 1

0

x 2 x 3 x 4 x 5

分析：本题的最小公分母为 (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) ，若采用一般解法，就会出现高次项数，计算相当繁琐，

而且也极易出错，我们注意到

1 1 11 1 1

， ，在此基础上再通过比较上 x 2 x 3 ( x 2)( x 3) x 4 x 5 (x 4)( x 5)

面两式即可将本题求解．

解：原方程化为： (

1 11 11 1

) ( ) 0 ，∴上式可变为： 0 ．即

x 2 x 3 x 4 x 5 (x 2)(x 3) (x 4)(x 5)

11 ( x 2)( x 3) ( x 4)( x 5)

∴(x 2)(x 3) (x 4)(x 5) ，解这个整式方程得： ，当 时，该分式方程中各分式的分母的

x 3.5x 3.5

值均不为 ，所以 为原方程的解．

0 x 3.5

二、拆项变形法

4311

例 ．解方程

2

2

－

=

22

x 3x 2 x 2 x x x 2x

222

分析：本题求解时应首先将题目中的第 ，， 个分式的分母因式分解，再将这几个分式分解成两个分式差

134

的形式，目的是通过整理将其化繁为简，使方程变得简捷易解．

解：原方程变形为： (

x

3311122

2 x1x2x1xx2x

) ( ) ( )

化简后整理得：

3 4

，∴ 3(x 1) 4 x ，解得： ，当 时，分式方程中的各分式的分母均不为 ，故 x x 1

x 3x 30

x 3

是原方程的解． 11 三、利用特殊分式方程 x a 求解． xa

11

1 1 1

分式方程 x 的解为 xax

111

a ，若一个方程等号两边的项分别互为倒数时，则此时便可套用上面 x a a

1 2

，

的方程的解法求解．

例 ．解方程：

3

2

x 1 3 x 2

分析：因本题中

3xx

与

3x x 1 1

2

与分别互为倒数，符合方程

1

2

x 1 3 x

11

x a

11

的特点，故可将该方程转化为这种 xa

方程的形式求解．

解：原方程变形为

3x x 11x 11

2 ，设则 ，此时原方程变形为：

=

x 1 3 x 2 3x y

3x 3x

2或

x1

x1 2

x2

1

11

y 2 ，

11

y2

11

1

y 2或y ．即

1

2

x 2x ．经检验得： x 2x 都是原方程的解．∴原方程的解为

1212

， ，

5

11

5

，

x

2

与分式方程根有关的问题分类举例 与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题

中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者， 供学习、复习有关内容时参考。

1.

已知分式方程有增根，求字母系数的值

解答此类问题必须明确增根的意义：

(1) 增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。

5

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（）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。 利用（ ）可以确定出分式方程的增根，利用（ ）可以求出分

212

式方程有增根时的字母系数的值。 例 （ 年潜江市）

1. 2000

使关于 的方程 a

x

2 2x 4 2a

产生增根的 的值是（ ）

a

x 2 2 x

A. 2 B. 2 C. 2 D. a

a

2

x 4

0 1

2

2

－与 无关

解：去分母并整理，得：

因为原方程的增根为 ，把 代入，得

x=2x=2 <1>a

2

=4 a 2 C

所以 故应选 。

例 （ 年山东省）

2. 1997

产生增根，则 的值是（

m

若解分式方程

2

x1

x x x

A. 1 2 B. 12

－或－－或

C. 1 2 D. 1 2

或 或－

解：去分母并整理，

得：

2x

2

2

x 2x 2 m 0

m 1 x 1

）

1

又原方程的增根是 或 ，把 或 －分别代入 式，得： 或

x=0x 1x=0 x=1 <1>m=2 m=1

故应选 。

C

例 （ 年重庆市）

3. 2001

若关于 的方程

x

ax 1

1 0有增根，则 的值为 ____________________ 。

a

x1

解：原方程可化为： a 1 x 2 0 1 又原方程的增根是 ，把 代入 ，得：

x 1x 1<1>a1

故应填“ ”。

1

例 （ 年鄂州市）

4. 2001

关于 的方程

x

xk

2 会产生增根，求 的值。

k

x 3 x 3 解：原方程可化为： x 2 x 3 k 1 又原方程的增根为 ，把 代入 ，得：

x=3x=3 <1>k=3

例 当 为何值时，解关于 的方程： 只有增根

5. k xx=1

解：原方程可化为：

x 1 k 5 x 1 k 1 x 1

2

1k5k1x

x x

2

1 xx1x1

把 代入 ，得 所以当 时，解已知方程只有增根 。 评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思

x=1 <1> k=3 k=3 x=1

路是：

（）将所给方程化为整式方程；

1

（）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出） ；

2

（）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。

3

2.

已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围

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例 （ 年荆门市）

6. 2002

当 的值为 _________ （填出一个值即可）时，方程

k

x k2x

只有一个实数根。

2

x 1 x x 解：原方程可化为： x 2 x k 0 1 要原方程只有一个实

22

数根，有下面两种情况：

（）当方程 有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由 得 －。当 －时，

1＜1＞4 4k 0 k=1k=1

方程 的根为 x x 1 ，符合题意。

＜1＞

12

（）方程 有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由 ，得 －。又原

2＜1＞4 4k 0 k＞1

综上所述：可填“－ 、、”中的任何一个即可。

103

例 （ 年孝感市）

7. 2002

当 为何值时，关于 的方程

m x

2 xm1

2

1 无实根？

x x x x 1 解：原方程可化为：

x x 2 m 0 1

要原方程无实根，有下面两种情况：

2

2

方程的增根为 或 ，把 或 分别代入 得 ，或 ，均符合题意。

x=0 x=1x=0 x=1 ＜1＞k=0 k=3

7

（）方程 无实数根，由

1＜1＞1

27

，得 m ；

4 2 m 0

x=0 x=1x=0 x=1 2＜1＞

或 ，把 或 （）方程 的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为

4

分别代入 得 。

＜1＞m=2

综上所述：当 m

7

或当 时，所给方程无实数解。

m=2

4

例 （ 年南昌市）

8. 2003

已知关于 的方程

x

1 m

m有实数根，求 的取值范围。

m

x x 1

解：原方程化为： mx

2

x 1 0 1

要原方程有实数根，只要方程 有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。

＜1＞

（）当 时，有 ，显然 是原方程的增根，所以 应舍去。

1m=0 x=1x=1 m=0

1

（）当 时，由 ，得 m 。

2m 0 1 4m 0

4

又原方程的增根为 或 ，当 时，方程 不成立；当 x 1m 0。

x=0 x=1x=0 ＜1＞，

综上所述：当 m

1

且 时，所给方程有实数根。

m 0

4 评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是： （）将

1

所给方程化为整式方程；

（）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的 字母系数的

2

值。

3.

已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围

2

例 当 取何值时，解关于 的方程：

9. a x

解：原方程可化为：

2

2x ax 3 0 1

2

x 1 x 2 2 x ax

无增根？

x 2 x 1 x 2 x 1

又原方程的增根为 或 ，把 或 分别代入 得：

x=2 x 1 x=2 x 1＜1＞

5

a

或

a 1

2

又由

a

2

知，可以取任何实数。

24 0a

5

所以，当 a

且 时，解所给方程无增根。

a 1

2

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评注：解答此类问题的基本思路是：

（）将已知方程化为整式方程； （）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取

12

值范围；

（）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。

3

4. 9. x 0a

已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围 例 已知关于 的方程 1的根大于 ，求 的取值范围。

x a

x2 解：原方程可化为： 所以 x 1

2x 2 a

a

2

由题意，得：

aa

102

且 1

22 所以 且例 已知关于 的方程 2 的根小于 ，求 的取值范围。

a 2 a 2 10. x 0k

x k

x2

解：原方程可化为：

x k 2x 4

所以 由题意，得： 所以 评注：解答此类题的基本思路是： （）求出已知方程的根； （）由已知建立

x k 4 k 4 0 k 4 12

关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的 值。

说明：注意例 与例 的区别，例 有1

9109

a

2，而例 无这一不等式？请读者思考。

10k 4 2

2

增根在分式方程中的灵活运用

增根是指适合所化的整式方程，但不适合原分式方程的根。由此可见，增根必须同时满足两个条件： （ ）是

1

由分式方程转化成整式方程的的根。 （ ）使最简公分母为零。在解分式方程时，由于可能出现增根，因此我们在 解分式方程

2

时要验根，这是增根的基本用途。在近几年中考中出现了一类关于分式方程增根灵活运用的题。下面 我们来看两种类型的应用：

（一）由增根求参数的值

这类题的解题思路为：

① 将原方程化为整式方程（两边同乘以最简公分母） ；

② 确定增根（题目已知或使分母为零的未知数的值） ； ③将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。

例：（扬州中考题）

2005

若方程

6

(x 1)(x 1)

m

=1

有增根，则它的增根是（

x1

A0 B 1 C -1 D 1 -1 （x+1）（x-1）=0 x=-1 x=1,

、、、、或分析：使方程的最简公分母 则或 但不能忽略增根除满足最简公

分母为零 还必须是所化 整式方程的根。

,

原方程易化成整式方程：

6-m（x+1）= x -1

整理得：

2

m(x+1)=7-x

当 时 此时 无解；

x= -1 ,m

当 时解得 。 由此可得答案为 。

x=1 , m=3B

（二）由分式方程根的情况，求参数的取值范围

这类题的解题思路为

①将原方程化为整式方程。

②把参数看成常数求解。

③ 根据根的情况，确定参数的取值范围。 （注意要排除增根时参数的值） 例：关于 的方程

x

xm

有一个正数解，求

-2=

m

的取值范围。

x 3 x 3

分析：把 看成常数求解，由方程的解是正数，确定 的取值范围，但不能忽略产生增根时 的值。 原方程易化为整式方

m m m

2

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格式整理版

程：

x-2 （x-3）=m

整理得：

x=6-m

∵原方程有解，故 不是增根。

6-m

∴ ≠即 ≠

6-m3 m3

∵>

x0

∴<由此可得答案为 的取值范围是 < 且 ≠ 。

m6 m m6 m3

综上所述关于增根的问题，一定要弄清楚增根的定义，及增根必须满足的条件，和解这类题的思路，相信同学们就不会觉

得困难了。

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