2022届佛山市南海区石门中学高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

*

1．记为数列的前项和数列对任意的满足若，则当取最小值时，

SS

nn



aa

nn

n

p,qN

aaa13

pqpq

.

a7

3

n

等于（）

A6 B7 C8 D9

．．．．

22

2．在区间上随机取一个实数，使直线与圆相交的概率为（）



1,1

k

ykx3



xy1

A B C D

．．．．

1

2

1

4

2

2

2

4

xy

22

3．已知双曲线的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的方程为（）

C:1(a0,b0)

22

yx

ab

3

(5,0)

C

4

xyxyxy

222222

111

DA B C

．．．．

4316934

xy

22

1

916

4．若复数满足（是虚数单位），则的虚部为（）

zz



1izi

i

A B C D

．．．．

11

22



1

2

i

i

1

2

5．已知向量，满足＝，＝，且与的夹角为，则＝（）

aaa

b

||1||2120°

bb

a3b

A B C D

．．．．

11

37

210

43

6．下列函数中，在区间上为减函数的是（）



0,



B A C D

．．．．

yx1

2

yx1



1

y





2



3

x

ylogx

2

7．将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移个单位长度，若所得到

f(x)sin(2x)



3

(xR)

nn

(>0)

的两个图象重合，则的最小值为

n

( )

A B C D

．．．．



3

2



3



2



1e

x

8．函数（其中是自然对数的底数）的大致图像为（）

f(x)

e

x

1e

A B C

．．．

D

．

xy

22

9．设双曲线的右顶点为，右焦点为，过点作平行的一条渐近线的直线与交于点，则

C:1

A

FF

CC

B

916

△AFB

的面积为（）

A B C5 D6

．．．．

32

15

64

15

xy

22

5

10．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（）

C:1(a0,b0)

22



cos



ab

5

A B C2 D4

．．．．

5

5

2

xy

22

11．已知双曲线，的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一

22

1

(a>0b>0)FF60°l

ab

个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）

e

A B(1,2), C D

．．．．

[2,)

(2,)

(1,2]

02ab2，ab4，



，则的取值范围是（ ）12．已知

a

A[01] BC[12] D[02]

．，．．，．，

1，





1



2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

xy

22

13．已知椭圆若直线与椭圆交于不同的两点、则当时，，的下顶点为，

xty4

MA

t

_____

NAMN

1

164

外心的横坐标最大．

14．已知复数对应的点位于第二象限，则实数的范围为

zm2(m1)i

m

______.

15．动点到直线的距离和他到点距离相等，直线过且交点的轨迹于两点，则以

PP

x1

F(1,0)

ABAB

(4,0)A,B

为直径的圆必过

_________.



2

16．已知，，，则的最小值是．

x0

y0

x3y5xy

x2y

__

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）万众瞩目的第届全国冬季运动运会（简称十四冬）于年月日在呼伦贝尔市盛大开幕，期

14“”2020216

间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校名教职工在十四冬期间每天收看比赛转播的时间作了一

100“”

次调查，得到如图频数分布直方图：

（）若将每天收看比赛转播时间不低于小时的教职工定义为冰雪迷，否则定义为非冰雪迷，请根据频率分布直

13“”“”

方图补全列联表；并判断能否有的把握认为该校教职工是否为冰雪迷与性别有关；

22

90%

“”“”

（）在全校冰雪迷中按性别分层抽样抽取名，再从这名冰雪迷中选取名作冰雪运动知识讲座记其中女职

2“”66“”2.

工的人数为，求的分布列与数学期望



.

附表及公式：

PKk



2

0

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

0

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

2

nadbc



，

nabcd

K

2

abcdacbd



18．（12分）为响应坚定文化自信，建设文化强国，提升全民文化修养，引领学生读经典用经典，某广播电视台

“”“”

计划推出一档阅读经典节目工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了名学生做调查，统计结果

“”.120

显示：样本中男女比例为，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是，女生中喜欢阅读中国古典文学

3:27:5

和不喜欢的比例是

5:3.

（）填写下面列联表，并根据联表判断是否有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？

1

95%

喜欢阅读中国古典文学

男生女生总计

不喜欢阅读中国古典文学

总计

（）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流实验人员已经从所调

2.

查的人中筛选出名男生和名女生共人作为代表，这个代表中有名男生代表和名女生代表喜欢中国古

120437722

典文学现从这名代表中任选名男生代表和名女生代表参加座谈会，记为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，

.732



求的分布列及数学期望

5

E





n(adbc)

2

,nabcdK

.

附表及公式：

(ab)(cd)(ac)(bd)

2

PKk



2

0

k

0

0.050.025

3.8416.63510.828

5.0247.879

0.0100.001

0.005

19．（12分）已知．

fxx1x2



（）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；

1

x

fxa



a

（）求不等式的解集．

2

fxx2x



2

20．（12分）设点，动圆经过点且和直线相切记动圆的圆心的轨迹为曲线

F1,0



PP

F

x1

..

W

（）求曲线的方程；

1

W

（）过点的直线与曲线交于、两点，且直线与轴交于点，设，，

2

M0,2



ll

W

A

B

x

C

MAAC



MBBC



求证：为定值





.

21．（12分）已知抛物线：＝（＞），焦点到准线的距离为，抛物线上的两个动点（，）和（，

EypxpFEAxyBx

2

203

112

yxxxxABxC

21212

），其中且＝．线段的垂直平分线与轴交于点．

≠+1

（）求抛物线的方程；

1

E

（）求面积的最大值．

2△

ABC

22．（10分）如图，正方形是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，

AGIC

A~I

处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯秒，再左转绿灯秒，然后是红灯分钟，右转不受红

30301

绿灯影响，这样独立的循环运行小明上学需沿街道从处骑行到处（不考虑处的红绿灯），出发时的两条路线

.

I

A

A，I

（）等可能选择，且总是走最近路线

IF，IH

.

（）请问小明上学的路线有多少种不同可能？

1

（）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过处，且全程不等红绿灯

2

E

的概率；

（）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？

3

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

A

【解析】

先令，找出的关系，再令，得到的关系，从而可求出，然后令，

p1,q1p1,q2pn,q1

a,aa,a,a

21213

a

1

2

可得，得出数列为等差数列，得，可求出取最小值

aa2

n1n



a

n

Sn12n

n

S

n

.

【详解】

解法一：由，所以，由条件可得，对任意的

aaa13a132a137

31211



a11

1



a0,

n

1113

nN,aaa13a2

n1n1n

，所以是等差数列，，要使最小，由解得，

n



a

n

a2n13

n

S

n



a0

22



n1

*

则

n6

.

解法二：由赋值法易求得，可知当时，取最小值

a11,a9,a7,,a2n13,Sn12n

123nn

故选：

A

【点睛】

此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题

.

2．

D

【解析】

2

n6

S

n

.

利用直线与圆相交求出实数的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的

ykx3



xy1

k

22

概率

.

【详解】

由于直线与圆相交，则，解得

ykx3



xy1

22

1

k

22

.

44

k1

2

3k

因此，所求概率为

2

P

2

4

2

.

24

故选：

D.

【点睛】

本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题

.

3．

B

【解析】

b3

试题分析：由题意得，，所以，，所求双曲线方程为．

a4

考点：双曲线方程

.

4．

A

【解析】

由得然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数从而可得的虚部



1izi

z

【详解】

因为

(1i)zi

,

xy

22

222

cab25

a4b3

1

169

i

,,.

zz

1i

ii(1i)iii111

2

iz

,

所以

1i(1i)(1i)1122

1i

2

所以复数的虚部为

z

故选

A.

【点睛】

本题考查了复数的除法运算和复数的概念属于基础题复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数转化

,.,

为乘法运算

.

5．

D

【解析】

1

.

2

先计算，然后将进行平方，，可得结果

ab

a3b

.

【详解】

由题意可得：



1

ababcos120121





2

∴

a3ba6ab9b163643



2

22

∴则.

a3b43

故选：

D.

【点睛】

本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。

6．

C

【解析】

利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出结果



0,



.

【详解】

对于选项，函数在区间上为增函数；

A

yx1



0,



2

对于选项，函数在区间上为增函数；

B

yx1



0,





1

对于选项，函数在区间上为减函数；

C

y





0,





2

对于选项，函数在区间上为增函数

D.

ylogx

2



0,



故选：

C.

【点睛】

本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题

.

7．

B

【解析】

首先根据函数的图象分别向左与向右平移个单位长度后，所得的两个图像重合，

f(x)

m,n

那么，利用的最小正周期为，从而求得结果

mnkT

f(x)



.

【详解】

f(x)

的最小正周期为，



x

那么，



3

nk



(∈)

k

Z

于是，

nk





3

于是当时，最小值为，

k1

n

故选

B.

【点睛】

2



3

该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目

.

8．

D

【解析】

由题意得，函数点定义域为且，所以定义域关于原点对称，

xRx0

1e1e

xx

且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，

fxf(x)



1e1e

xx

D.

故选

9．

A

【解析】

1

x

e

1

1

x

e

1

根据双曲线的标准方程求出右顶点、右焦点的坐标，再求出过点与的一条渐近线的平行的直线方程，通过

A

FF

C

解方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可

B

.

【详解】

由双曲线的标准方程可知中：，因此右顶点的坐标为，右焦点的坐标为

a3,b4cab5

22

A

(3,0)

F

4

4

xy

，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点作平行的一条渐近线，双曲线的渐近线方程为：

F

C

yx

3

3

4

4

的直线与交于点，所以直线的斜率为，因此直线方程为：，因此点的坐标是方程组：

C

BB

FBFB

y(x5)

3

3

(5,0)

4

17





y(x5)

x







1732

3

5

B(,)

，所以的面积为：的解，解得方程组的解为：，即

△AFB





22

32

515

xy



y



1





15





916

13232

(53)

.

21515

故选：

A

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力

.

10．

A

【解析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率

a,b

.

【详解】

解：设双曲线的半个焦距为，由题意

c



[0,)

2

b

525

cb



又，则，，，所以离心率，

cossin





tan2



2

e15



a

55

aa



故选：

A

.

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题

11．

A

【解析】

若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜

F



3

率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．

【详解】

xy

22

已知双曲线的右焦点为，

22

1(a0,b0)

F

ab



若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，

F

3

则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，

b



a

b

a

ab

22

3

，离心率，

e4

2

a

2

e2

，

故选：．

A

【点睛】

本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．

12．

D

【解析】

0abam2a4，



，设，可得构造（），结合，可得，

m2ab

amm

2

113

11

2



2



2

m2

am，



422

416



根据向量减法的模长不等式可得解

.

【详解】

设，则，

m2ab

m2

bm2a，abam2a4，0

2



，

∴（•2

amaammm

1111

）

2

222

421616

2

m1

||4

m

22

m

＝，所以可得：，



82

配方可得，

所以，

am，

11119

222

m2(am)4m

28482

113





422



又

||a||m||am||a||m||

111

444

则，．

a

[02]

故选：．

D

【点睛】

本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题

.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．

222

【解析】

由已知可得、的坐标，求得的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得的垂直平分线方

AM

AM

MN

程，两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标，再由导数求最值．

AMN

【详解】

如图，

由已知条件可知，不妨设，则外心在的垂直平分线上，

A0,2M4,0





AMN

AM

即在直线，也就是在直线上，

y12x2



y2x3



xty4

8t



联立，得或，



xy

22

y0

yt0

2



t4

1





164

MN

的中点坐标为，



4t16



,

22

t4t4



4t16



txy



，则的垂直平分线方程为

22

t4t4



MN

把代入上式，得，

y2x3

x

3t6

2

t4

3t4t4

2

3t6

令，则，

gt



2

gt





22

t4

(t4)

由，得（舍）或．

gt0





t222t222

当时，，当时，

t222222t0

gt0gt0





.

当时，函数取极大值，亦为最大值．

t222

ygt



故答案为：

222

.

【点睛】

本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题．

14．

(1,2)

【解析】

由复数对应的点，在第二象限，得，且，从而求出实数的

z(m2)(m1)i(m2

22

m1m10

)

m20

2

m

范围．

【详解】

解：∵复数对应的点位于第二象限，∴，且，

zm2(m1)im2,m1

m20

2

m10

∴

1m2





22

，

故答案为：．

(1,2)

【点睛】

本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系，解不等式，且是解题的关键，属于基础题．

m20

2

m10

15．



0,0

【解析】

利用动点到直线的距离和他到点距离相等，可知动点的轨迹是以为焦点的抛物线从而可

PP

x1

F(1,0)

,,

F1,0



2

求曲线的方程将代入利用韦达定理可得从而可知以为直径的圆经过

, ,,, ,

yk(x4)

y4x

xxyy0

1212

AB

原点

O.

【详解】

设点，由题意可得，，，可得

Px,y



x1(x1)y

22

(x1)(x1)yx2x1x2x1y

222

222

y4x

2

，设直线的方程为，代入抛物线可得

AB

yk(x4)

kx42k1x16k0

，，

Ax,y,Bx,yxx16,xx



11221212

2222



42k1

2

k

2



yykx4x4,

1212

2



xxyyk1xx4kxx16k

12121212

222



8k4

2

222

16k14k16k0

，

2

k





OAOB0

，以为直径的圆经过原点

AB.

O

故答案为：（）

0,0

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了直线和抛物线的交汇问题，同时考查了方程的思想和韦达定理，考查了运算能力，

属于中档题

.

16．．

26

1

5

【解析】

因为，展开后利用基本不等式，即可得到本题答案

x2y(x2y)

【详解】

由，得，

x3y5xy

113





.

5yx



13

5

yx

所以，当且仅当，取等号

x2y(x2y)5(52)1

1131x6y1x6y26



x6y

.



5yx5yx5yx5



故答案为：

26

1

5

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力

.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（）列联表见解析，有把握；（）分布列见解析，

12.

【解析】

（）根据频率分布直方图补全列联表，求出，从而有的把握认为该校教职工是否为冰雪

1“

22

k2.7782.706

2

90%

迷与性别有关．

”“”

（）在全校冰雪迷中按性别分层抽样抽取名，则抽中男教工：人，从这人，抽中女教工：

2“”6

64

2

3

20

40

26

60

60

6“”2012

名冰雪迷中选取名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为，则的可能取值为，，，分别求出相应



的概率，由此能求出的分布列和数学期望．



【详解】

解：（）由题意得下表：

1

冰雪迷

非冰雪迷

合计

男女合计

40 20 60

20 20 40

60 40 100

100(800400)25

2

2.706

k

的观测值为

604060409

2

所以有的把握认为该校教职工是冰雪迷与性别有关

90%

“”“”.

（）由题意知抽取的名冰雪迷中有名男职工，名女职工，

26“”42

所以的可能取值为，，

012.

11

C

2

1

C

2

62

CC

8

4

42

P1



P0



P2







且，，，



2

2

2

C15

6

C155

6

C15

6

2

所以的分布列为



P

0 1 2

281

51515

281102

E012





51515153

【点睛】

本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合、频率分布

直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

18．（）见解析，没有（）见解析，

12

【解析】

（）根据题目所给数据填写列联表，计算出的值，由此判断出没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与

1

22

K

2

95%

性别有关系

.

（）先判断出的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望

2.



【详解】

（）

1

喜欢阅读中国古典文学

不喜欢阅读中国古典文学

总计

2

17

6

男生女生总计

42 30 72

30 18 48

72 48 120

120(42183030)

2

K0.2083.841

72487248

所以，没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系

95%

.

（）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为，女生中喜欢古典文学的人数为，则且

2.

m

n



mn



2,3,4

1211

CCCC

2221

1

P(2)P(m1,n1)



；

32

CC3

43

1111222

CCCCCCC

2221222

1

P(3)P(m2,n1)P(m1,n2)



；

3232

CCCC2

4343

212

CCC

222

1

P(4)P(m2,n2)



.

32

CC6

43

所以的分布列为





2

3

4

P

11

36

1

2

11117

则

E()234



.

3266

【点睛】

本小题主要考查列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题

22

.



19．（）；（）

12.

a3



1,23

【解析】

（）依据能成立问题知，，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，即求得的取值范围；（）

12

fxa



min

f(x)

a

按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可。

【详解】



1fxafxa

因为不等式有实数解，所以



min

因为，所以

fxx1x2x1x23



fx3



min

故。

a3



2x1,x2



2fx3,1x2







2x1,x1



①当

x2

时，，所以，故

2x1x2x

2

23x23

2x23

②当

1x21x2

时，，所以，故

3x2x

2

1x3

③当

x1

时，，所以，故

2x1x2x

2

1x1

x1



综上，原不等式的解集为。



1,23

【点睛】

本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不

等式和转化思想、分类讨论思想的应用。

20．（）；（）见解析．

12

y4x

【解析】

（）已知点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，由此可得曲线的方程；

1

P

F

x1

W

（）设直线方程为，，则，设，由直线方程与抛物线方程联立消元应

2

ykx2

k0

C(,0)

2

2

A(x,y),B(x,y)

1122

k

用韦达定理得，，由，，用横坐标表示出，然后计算，并代入，

xxxx

121212

xx

MAAC



MBBC





,





xx

12

可得结论．

【详解】

（）设动圆圆心，由抛物线定义知：点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为

1

P(x,y)

P

F

x1

y2px(p0)

2

，则，解得．

p

1

p2

2

∴曲线

W

的方程为；

y4x