浙教版数学七上第一章有理数单元测试
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中无论m为何值，一定是正数的是（ ）
A．|m| B．|m+1| C．|m|+1 D．﹣（﹣m）
2．已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|﹣|a﹣2b|﹣|c+2b|的结果是（ ）
A．4b+2c B．0 C．2c D．2a+2c
4．|a|+|b|=|a+b|，则a，b关系是（ ）
A．a，b的绝对值相等
B．a，b异号
C．a+b的和是非负数
D．a，b同号或其中至少一个为零
5．如图，数轴上的六个点满足AB=BC=CD=DE=EF，则在点B、C、D、E对应的数中，最接
近﹣10的点是（ ）
A．点B B．点C C．点D D．点E
6．代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|的最小值为 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
7．如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD．若A，
D两点所表示的数分别是﹣5和6，则线段BD的中点所表示的数是（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
8．小嘉全班在操场上围坐成一圈．若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17
人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人．求小嘉班上共有多少人（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
9．10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数
的真分数）”，则这10个有理数的和为（ ）
A． B． C． D．
10．对于两个数，M=2008×20 092 009，N=2009×20 082 008．则（ ）
A．M=N B．M＞N C．M＜N D．无法确定
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分
二．填空题（共15小题）
11．如图，x是0到4之间（包括0，4）的一个实数，那么|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|
的最小值等于 ．
12．如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3
个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9
个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推．这样第
次移动到的点到原点的距离为2018．
13．如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，
则点C表示的数为 ．
14．数轴上100个点所表示的数分别为a、a、a…、a，且当i为奇数时，a﹣a=2，当i
123100i1i
+
为偶数时，a﹣a=1，①a﹣a= ；②若a﹣a=2m﹣6，则m= ．
i1i5110011
+
15．如果一个零件的实际长度为a，测量结果是b，则称|b﹣a|为绝对误差，为相对误
差．现有一零件实际长度为5.0cm，测量结果是4.8cm，则本次测量的相对误差是 ．
16．已知数轴上两点A、B对应的数分别是 6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A
点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每
秒1个单位．
（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过 秒M与点N相距54个单位；
（2）若点M、N、P同时都向右运动，经过 秒点P到点M，N的距离相等．
17．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x
的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x＜1时，化简
[x]+（x）+[x）的结果是 ．
18．已知m、n、p都是整数，且|m﹣n|+|p﹣m|=1，则p﹣n= ．
19．点A、A、A、…、A（n为正整数）都在数轴上．点A在点A的左边，且AA=1；
123n2112
点A在点A的右边，且AA=2；点A在点A的左边，且AA=3；…，点A在点A
3223433420182017
的左边，且AA=2017，若点A所表示的数为2018，则点A所表示的数为 ．
2017201820181
20．一只小球落在数轴上的某点P，第一次从 p向左跳1个单位到P，第二次从P向右跳2
0011
个单位到P，第三次从P向左跳3个单位到P，第四次从P向右跳4个单位到P…，若小球
22334
从原点出发，按以上规律跳了6次时，它落在数轴上的点P所表示的数是 ；若小球按
6
以上规律跳了2n次时，它落在数轴上的点P所表示的数恰好是n+2，则这只小球的初始位置
2n
点P所表示的数是 ．
0
21．已知a，b，c，d为有理数，且|2a+b+c+2d+1|=2a+b﹣c﹣2d﹣2，则（2a+b﹣）（2c+4d+3）
= ．
22．在数轴上，点P表示的数是a，点P′表示的数是，我们称点P′是点P的“相关点”，已
知数轴上A的相关点为A，点A的相关点为A，点A的相关点为A…，这样依次得到点
122334
A、A、A、A，…，A．若点A在数轴表示的数是，则点A在数轴上表示的数是 ．
1234n12016
23．一个点A从数轴上表示+2的点开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个
单位；第二次先向左移动3个单位，再向右移动4个单位；第三次先向左移动5个单位，再向
右移动6个单位；…．
（1）第一次移动后这个点在数轴上表示的数是 ；
（2）第二次移动后这个点在数轴上表示的数是 ；
（3）第五次移动后这个点在数轴上表示的数是 ；
（4）第n次移动后这个点在数轴上表示的数是 ．
24．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），
构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于﹣，处，AP=2PB，则P站
台用类似电影的方法可称为“ 站台”．
25．四个数w、x、y、z满足x﹣2001=y+2002=z﹣2003=w+2004，那么其中最小的数是 ，
最大的数是 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共15小题）
26．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，
若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的幸福点C所表示的数应该是 ；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，点C就
是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是 （填一个即可）；
（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P
所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多
少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？
27．在东西向的马路上有一个巡岗亭A，巡岗员甲从岗亭A出发以13km/h速度匀速来回巡逻，
如果规定向东巡逻为正，向西巡逻为负，巡逻情况记录如下：（单位：千米）
第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次
436
﹣5﹣4﹣3﹣1
（1）求第六次结束时甲的位置（在岗亭A的东边还是西边？距离多远？）
（2）在第几次结束时距岗亭A最远？距离A多远？
（3）巡逻过程中配置无线对讲机，并一直与留守在岗亭A的乙进行通话，问在甲巡逻过程中，
甲与乙的保持通话时长共多少小时？
28．随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他
连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足
50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”．
第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天
﹣13﹣14﹣16+33+19路程（km）﹣9
0
（1）求出这7天的行驶路程中最多的一天比最少的一天多行驶多少千米？
（2）若每行驶100km需用汽油8升，每升汽油6.5元，计算小明家这7天的汽油费用共是多
少元？
29．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两
数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两
点之间的距离．试探索：
（1）|4﹣（﹣2）|的值．
（2）若|x﹣2|=5，求x的值是多少？
（3）同理|x﹣4|+|x+2|=6表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣2所对应的两点距离之和，
请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|=6，写出求解的过程．
30．阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，
如：{3，4}；{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：
只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合称为条件集合．例如；
{3，﹣2}，因为﹣2×3+4=﹣2，﹣2恰好是这个集合的元素
所以吕{3，﹣2}是条件集合：例如；（﹣2，9，8，}，因为﹣2×（﹣2）+4=8，8恰好是这个
集合的元素，所以{﹣2，9，8，}是条件集合．
（1）集合{﹣4，12}是否是条件集合？
（2）集合{，﹣，}是否是条件集合？
（3）若集合{8，n}和{m}都是条件集合．求m、n的值．
31．已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的0.5%的交易费，张先生上周星期五在股市
收盘价每股20元买进某公司的股票1000股，下表为本周交易日内，该股票每天收盘时每股的
涨跌情况：
星期星期一星期二星期三星期四星期五
每股涨跌/+2+3﹣2.5+3﹣2
元
注：①涨记作“+”，跌记作“﹣”；②表中记录的数据每天收盘价格与前一天收盘价格的变化量，
星期一的数据是与上星期五收盘价格的变化量．
（1）直接判断：本周内该股票收盘时，价格最高的是那一天？
（2）求本周星期五收盘时，该股票每股多少元？
（3）若张先生在本周的星期五以收盘价将全部股票卖出，求卖出股票应支付的交易费．
32．在学习绝对值后，我们知道，表示a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在
数轴上的对应点与原点的距离．|5﹣3|表示5、3在数轴上对应两点之间的距离，而|x+1|=|x
﹣（﹣1）|表示x，﹣1在数轴上对应两点之间的距离；一般的，点A、B之间的距离可表示
为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；若数轴上表示x、1的距离为4，即|x
﹣1|=4，则x的值为 ．
（2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣3、1，那么，点A到点B的距离与点A到
点C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示），满足|x﹣4|+|x+1|=7的x的值
为 ；
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣4|+|x+5|是否有最小值？如果有，写出最小
值，并写出此时x的取值范围；如果没有，说明理由．
33．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应
的数为x．
（1）MN的长为；
（2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是；
（3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；
若不存在，请说明理由．
（4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分
钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的
距离相等，求t的值．
34．阅读与理解：
如图，一只甲虫在5×5的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在
如图网格中，向上（或向右） 爬行记为“+”，向下（或向左） 爬行记为“﹣”，并且第一个数
表示左右方向，第二个数表示上下方向．
例如：从A到B记为：A→B（+1，+4），从D到C记为：D→C（﹣1，+2）．
思考与应用：
（1）图中A→C（ ， ），B→C（ ， ），D→A（ ， ）
（2）若甲虫从A到P的行走路线依次为：（+3，+2）→（+1，+3）→（+1，﹣2），请在图中
标出P的位置．
（3）若甲虫的行走路线为A→（+1，+4）→（+2，0）→（+1，﹣2）→（﹣4，﹣2），请计算
该甲虫走过的总路程．
35．已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，
点P、Q是数轴上两个动点；
（1）直接写出点N所对应的数；
（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是多少？
（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出
发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数
各是多少？
36．2017年国庆节放假八天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织其中，其中闻名于世
的北京故宫，在10月1日的游客人数就已经达到了7万人，接下来的七天中，每天的游客人
数变化（单位：万人）如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
日期10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日10月8日
人数变化+0.6+0.2+0.1﹣0.2﹣0.8﹣1.6﹣0.1
（1）10月3日的人数为 万人．
（2）这八天，游客人数最多的是10月 日，达到 万人．游客人数最少的是10
月 日，为 万人．
（3）这8天参观故宫的总人数约为 万人（结果精确到万位）；
（4）如果你们一家人打算在下一个国庆节参观故宫，请你对你们的出行日期提一个建议．
37．同学们都知道：|3﹣（﹣2）|表示3与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为3与﹣2两
数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示x与3的两点之间的距离可以表示为 ．
（2）如果|x﹣3|=5，则x= ．
（3）同理|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和，
请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣1|=3，这样的整数是 ．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最
小值；如果没有，说明理由．
38．数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B
两点之间的距离AB=|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离
是 ．
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和5的两点之间的距
离表示为 ．
③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|的最小值= ．
④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x﹣2|=5，则满足条件的所有整数x的是 ．
⑤若x表示一个有理数，当x为 ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为 ．
39．观察下列两个等式：3+2=3×2﹣1，4+﹣1，给出定义如下：
我们称使等式a+b=ab﹣1成立的一对有理数a，b为“椒江有理数对”，记为（a，b），如：数对
（3，2），（4，）都是“椒江有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理数对”的是 ；
（2）若（a，3）是“椒江有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“椒江有理数对”，则（﹣n，﹣m） “椒江有理数对”（填“是”、“不
是”或“不确定”）．
（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”
（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）
40．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数
学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．
【解决问题】
解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则
．
综上所述，值为3或﹣1．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值；
（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中无论m为何值，一定是正数的是（ ）
A．|m| B．|m+1| C．|m|+1 D．﹣（﹣m）
【分析】直接利用绝对值的意义分析得出答案．
【解答】解：A、|m|≥0，是非负数，不合题意；
B、|m+1|≥0，是非负数，不合题意；
C、|m|+1，一定是正数，符合题意；
D、﹣（﹣m）=m，无法确定它的符号，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值的意义，正确分析各数的符号是解题关键．
2．已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】分a、b、c三个数都是正数，两个正数，一个正数，都是负数四种情况，根据绝对值
的性质去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，
原式=1+1+1+1
=4；
②a、b、c中有两个正数时，
设为a＞0，b＞0，c＜0，
则ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式=1+1﹣1﹣1
=0；
设为a＞0，b＜0，c＞0，
则ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式=1﹣1+1﹣1
=0；
设为a＜0，b＞0，c＞0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式=﹣1﹣1﹣1+1
=﹣2；
③a、b、c有一个正数时，
设为a＞0，b＜0，c＜0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式=1﹣1﹣1+1
=0；
设为a＜0，b＞0，c＜0，
则ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式=﹣1﹣1+1﹣1
=﹣2；
设为a＜0，b＜0，c＞0，
则ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式=﹣1+1﹣1﹣1
=﹣2；
④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，
则ab＞0，ac＞0，bc＞0，
原式=﹣1+1+1+1
=2．
综上所述，的可能值的个数为4．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，难点在于根据三个数的正数的个数分情况
讨论．
3．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|﹣|a﹣2b|﹣|c+2b|的结果是（ ）
A．4b+2c B．0 C．2c D．2a+2c
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去
括号合并即可得到结果．
【解答】解：由数轴上点的位置得：b＜a＜0＜c，且|b|＞|c|＞|a|，
∴a+c＞0，a﹣2b＞0，c+2b＜0，
∴原式=a+c﹣a+2b+c+2b=2c+4b．
故选：A．
【点评】此题考查了数轴以及绝对值，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟
练掌握运算法则是解本题的关键．
4．|a|+|b|=|a+b|，则a，b关系是（ ）
A．a，b的绝对值相等
B．a，b异号
C．a+b的和是非负数
D．a，b同号或其中至少一个为零
【分析】根据绝对值都是非负数，|a|+|b|=|a+b|，可得答案．
【解答】解：∵|a|+|b|=|a+b|，
∴a、b满足的关系是a、b同号或a、b有一个为0，或同时为0，
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值，绝对值都是非负数，根据绝对值的和等于和的绝对值，得出两数
的关系．
5．如图，数轴上的六个点满足AB=BC=CD=DE=EF，则在点B、C、D、E对应的数中，最接
近﹣10的点是（ ）
A．点B B．点C C．点D D．点E
【分析】根据数轴上两点间的距离求出AF，然后求出AB的长度，再求出B、C、D表示的数，
然后确定出与﹣10接近的点即可．
【解答】解：由图可知，AF=﹣4﹣（﹣13）=﹣4+13=9，
∵AB=BC=CD=DE=EF，
∴AB==1.8，
∴点B表示的数是﹣13+1.8=﹣11.2，
点C表示的数是﹣13+1.8×2=﹣9.4，
点D表示的数是﹣13+1.8×3=﹣7.6，
∴最接近﹣10的点是点C．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴以及线段等分点的定义，主要利用了数轴上两点间距离的求解，是基
础题．
6．代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|的最小值为 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【分析】分为四种情况，去绝对值符号进行合并，即可得出答案．
【解答】解：∵①当x＜﹣2时，|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|=1﹣x﹣x﹣2+3﹣x=2﹣3x＞8，
②当﹣2≤x＜1时，|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|=1﹣x+x+2+3﹣x=6﹣x，即5＜6﹣x≤8
③当1≤x＜3时，|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|=x﹣1+x+2+3﹣x=4+x，即5≤4+x＜7，
④当x≥3时，|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|=x﹣1+x+2+x﹣3=3x﹣2≥7，
∴|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|的最小值是5．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值的应用，注意：正数的绝对值等于它本身，0的绝对值式0，负数
的绝对值等于它的相反数．
7．如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD．若A，
D两点所表示的数分别是﹣5和6，则线段BD的中点所表示的数是（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
【分析】首先设出BC，根据2AB=BC=3CD表示出AB、CD，求出线段AD的长度，即可得
出答案．
【解答】解：设BC=6x，
∵2AB=BC=3CD，
∴AB=3x，CD=2x，
∴AD=AB+BC+CD=11x，
∵A，D两点所表示的数分别是﹣5和6，
∴11x=11，
解得：x=1，
∴AB=3，CD=2，
∴B，D两点所表示的数分别是﹣2和6，
∴线段BD的中点表示的数是2．
故选：D．
【点评】题目考查了数轴的有关概念，利用数轴上的点、线段相关性质，考察学生对数轴知识
的掌握情况，题目难易程度适中，适合学生课后训练．
8．小嘉全班在操场上围坐成一圈．若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17
人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人．求小嘉班上共有多少人（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
【分析】若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人，此时共有17人；若以班
长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人，此时共有21人，但班长和小嘉两次都数
了，所以要减去2．
【解答】解：根据题意小嘉和班长两次都数了，
所以17+21﹣2=36．
故选：A．
【点评】主要考查正负数在实际生活中的应用．本题中班长和小嘉两次都数了，可能有学生考
虑不到．
9．10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数
的真分数）”，则这10个有理数的和为（ ）
A． B． C． D．
【分析】有条件：分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数，用列举法逐个尝
试即可得出答案．
【解答】解：这10个有理数，每9个相加，一共得出另外10个数，由于原10个有理数互不
相等，
可以轻易得出它们相加后得出的另外10个数也是互不相等的，
而这10个数根据题意都是分母22的既约真分数，而满足这个条件的真分数恰好正好有10个，
∴这10项分别是：1/22，3/22，5/22，7/22，9/22，13/22，15/22，17/22，19/22，21/22．
它们每一个都是原来10个有理数其中9个相加的和，那么，如果再把这10个以22为分母的
真分数相加，
得出来的结果必然是原来的10个有理数之和的9倍．
所以，10个真分数相加得出结果为5，于是所求的10个有理数之和为5/9．
故选：D．
【点评】其实根据这个结果，还可逐一减去每一个真分数，从而得出每一个有理数具体的值
10．对于两个数，M=2008×20 092 009，N=2009×20 082 008．则（ ）
A．M=N B．M＞N C．M＜N D．无法确定
【分析】根据有理数大小比较的方法，以及乘法分配律可解．
【解答】解：根据数的分成和乘法分配律，可得
M=2008×（20 090 000+2009）
=2008×20 090 000+2008×2009
=2008×2009×10000+2008×2009
=2009×20 080 000+2008×2009，
N=2009×（20 080 000+2008）
=2009×20 080 000+2009×2008，所以M=N．
故选：A．
【点评】熟练运用乘法分配律进行数的计算，然后比较各部分即可．
二．填空题（共15小题）
11．如图，x是0到4之间（包括0，4）的一个实数，那么|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|
的最小值等于 4 ．
【分析】根据数轴上两点间的距离公式以及绝对值的意义，可求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣
4|的最小值．
【解答】解：根据|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|的几何意义，可得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x
﹣4|表示x到数轴上1，2，3，4四个数的距离之和，
∴当x在2和3之间的任意位置时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值，最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了数轴以及数轴上两点间的距离公式的综合应用，解决问题的关键是掌
握：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．解题时注意：数轴上任
意两点分别表示的数是a、b，则这两点间的距离可表示为|a﹣b|．
12．如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3
个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9
个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推．这样第 1345
次移动到的点到原点的距离为2018．
【分析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求
出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），
写出表达式就可解决问题．
【解答】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1﹣3=﹣2；
第2次从点B向右移动6个单位长度至点C，则C表示的数为﹣2+6=4；
第3次从点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为4﹣9=﹣5；
第4次从点D向右移动12个单位长度至点E，则点E表示的数为﹣5+12=7；
第5次从点E向左移动15个单位长度至点F，则F表示的数为7﹣15=﹣8；
…；
由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：﹣（3n+1），
当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：（3n+2），
当移动次数为奇数时，﹣（3n+1）=﹣2018，n=1345，
当移动次数为偶数时，（3n+2）=2018，n=（不合题意）．
故答案为：1345．
【点评】本题考查了数轴，以及用正负数可以表示具有相反意义的量，还考查了数轴上点的坐
标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别
进行探究是解决这道题的关键．
13．如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，
则点C表示的数为 ﹣6 ．
【分析】先根据已知条件可以确定线段AB的长度，然后根据点B、点C关于点A对称，设
设点C所表示的数为x，列出方程即可解决．
【解答】解：设点C所表示的数为x，
∵数轴上A、B两点表示的数分别为﹣1和4，点B关于点A的对称点是点C，
∴AB=4﹣（﹣1），AC=﹣1﹣x，
根据题意AB=AC，
∴4﹣（﹣1）=﹣1﹣x，
解得x=﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，熟练掌握对称性质是解本题的
关键．
14．数轴上100个点所表示的数分别为a、a、a…、a，且当i为奇数时，a﹣a=2，当i
123100i1i
+
为偶数时，a﹣a=1，①a﹣a= 6 ；②若a﹣a=2m﹣6，则m= 70 ．
i1i5110011
+
【分析】依题意当 i为奇数时，a﹣a=2，当 i为偶数时，a﹣a=1寻找规律
i1ii1i
++
可得a﹣a=a﹣a+a﹣a+a﹣a+a﹣a1=（a﹣a）+（a﹣a）+（a﹣a）+（a﹣a）=1+2+1+2+1=6
51544332254433221
a﹣a=a﹣a+a﹣a+…+a﹣a=（a﹣a）+（a﹣a+）…+（a﹣a）=2+1+2+1+…+2=2
1001110099999812111009999981211
×45+1×44=134
从而得到答案．
【解答】解：①∵当 i为奇数时，a﹣a=2，当 i为偶数时，a﹣a=1
i1ii1i
++
∴a﹣a=a﹣a+a﹣a+a﹣a+a﹣a=（a﹣a）+（a﹣a）+（a﹣a）+（a﹣a）=1+2+1+2=6；
515443322154433221
②∵a﹣a=a﹣a+a﹣a+…+a﹣a=（a﹣a）+（a﹣a+）…+（a﹣a）
1001110099999812111009999981211
=2+1+2+1+…+2=2×45+1×44=134
∴a﹣a=134=2m﹣6，
10011
∴m=70
故答案为：6、70．
【点评】本题主要考查了通过找规律解决问题，解题的关键点是找规律．
15．如果一个零件的实际长度为a，测量结果是b，则称|b﹣a|为绝对误差，为相对误
差．现有一零件实际长度为5.0cm，测量结果是4.8cm，则本次测量的相对误差是 0.04 ．
【分析】根据相对误差的计算公式代入计算即可．
【解答】解：若实际长度为5.0cm，测量结果是4.8cm，
则本次测量的相对误差为=0.04，
故答案为：0.04．
【点评】本题考查了有理数的减法和绝对值，正确理解绝对误差，相对误差的意义是解题的关
键．
16．已知数轴上两点A、B对应的数分别是 6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A
点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每
秒1个单位．
（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过 5 秒M与点N相距54个单位；
（2）若点M、N、P同时都向右运动，经过 或 秒点P到点M，N的距离相等．
【分析】（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单
位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出2x+6x+14=54求出即可；
（2）首先设经过t秒点P到点M，N的距离相等，得出（2t+6）﹣t=（6t﹣8）﹣t或（2t+6）
﹣t=t﹣（6t﹣8），进而求出即可．
【解答】解：（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位．
依题意可列方程为：2x+6x+14=54，
解方程，得x=5．
故答案为：5．
（2）设经过t秒点P到点M，N的距离相等．
（2t+6）﹣t=（6t﹣8）﹣t或（2t+6）﹣t=t﹣（6t﹣8），
t+6=5t﹣8或t+6=8﹣5t
t=或t=，
故答案为：或．
【点评】此题主要考查了数轴，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出等式是解题
关键．
17．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x
的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x＜1时，化简
[x]+（x）+[x）的结果是 ﹣2或﹣1或0或1或2 ．
【分析】分五种情况讨论x的范围：①﹣1＜x＜﹣0.5，②﹣0.5＜x＜0，③x=0，④0＜x＜0.5，
⑤0.5＜x＜1即可得到答案．
【解答】解：①﹣1＜x＜﹣0.5时，
[x]+（x）+[x）=﹣1+0﹣1=﹣2；
②﹣0.5＜x＜0时，
[x]+（x）+[x）=﹣1+0+0=﹣1；
③x=0时，
[x]+（x）+[x）=0+0+0=0；
④0＜x＜0.5时，
[x]+（x）+[x）=0+1+0=1；
⑤0.5＜x＜1时，
[x]+（x）+[x）=0+1+1=2．
故答案为：﹣2或﹣1或0或1或2．
【点评】本题考查了学生对[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）
表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数）的理解，难度适中，解此题的关键是分类讨论思
想的应用．
18．已知m、n、p都是整数，且|m﹣n|+|p﹣m|=1，则p﹣n= ±1 ．
【分析】由于|m﹣n|+|p﹣m|=1，且m、n、p都是整数，那么只有两种情况：①|m﹣n|=1，
p﹣m=0；②m﹣n=0，|p﹣m|=1；这两种情况都可以得出p﹣n=±1；从而求解．
【解答】解：因为m，n，p都是整数，|m﹣n|+|p﹣m|=1，则有：
①|m﹣n|=1，p﹣m=0；解得p﹣n=±1；
②|p﹣m|=1，m﹣n=0；解得p﹣n=±1．
综合上述两种情况可得：p﹣n=±1．
故答案为：±1．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，根据已知条件求出p、n的关系式是解答本题的关键．
19．点A、A、A、…、A（n为正整数）都在数轴上．点A在点A的左边，且AA=1；
123n2112
点A在点A的右边，且AA=2；点A在点A的左边，且AA=3；…，点A在点A
3223433420182017
的左边，且AA=2017，若点A所表示的数为2018，则点A所表示的数为 3027 ．
2017201820181
【分析】根据题意得出规律：当n为奇数时，A﹣A=，当n为偶数时，A=A﹣，把
n1n1
n=2018代入求出即可．
【解答】解：根据题意得：
当n为奇数时，A﹣A=，当n为偶数时，A﹣A=﹣，
n1n1
2018为偶数，代入上述规律
A﹣A=﹣=﹣1009
20181
解得A=3027．
1
故答案为：3027．
【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，利用运算规律解决问题．
20．一只小球落在数轴上的某点P，第一次从 p向左跳1个单位到P，第二次从P向右跳2
0011
个单位到P，第三次从P向左跳3个单位到P，第四次从P向右跳4个单位到P…，若小球
22334
从原点出发，按以上规律跳了6次时，它落在数轴上的点P所表示的数是 3 ；若小球按以
6
上规律跳了2n次时，它落在数轴上的点P所表示的数恰好是n+2，则这只小球的初始位置点
2n
P所表示的数是 2 ．
0
【分析】根据题意，可以发现题目中每次跳跃后相对于初始点的距离，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
小球从原点出发，按以上规律跳了6次时，它落在数轴上的点P所表示的数是6÷2=3，
6
小球按以上规律跳了2n次时，它落在数轴上的点P所表示的数恰好是n+2，则这只小球的初
2n
始位置点P所表示的数是：n+2﹣（2n÷2）=2，
0
故答案为：3，2．
【点评】此题考查数字的变化规律，数轴的认识、有理数的加减，明确题意列出算式，找出其
中的变化规律是解题的关键．
21．已知a，b，c，d为有理数，且|2a+b+c+2d+1|=2a+b﹣c﹣2d﹣2，则（2a+b﹣）（2c+4d+3）
= 0 ．
【分析】利用绝对值的性质可得2c+4d=﹣3或2a+b=，延长即可解决问题．
【解答】解：∵|2a+b+c+2d+1|=2a+b﹣c﹣2d﹣2，
∴2a+b+c+2d+1=2a+b﹣c﹣2d﹣2或﹣2a﹣b﹣c﹣2d﹣1=2a+b﹣c﹣2d﹣2，
∴2c+4d=﹣3或2a+b=，
∴（2a+b﹣）（2c+4d+3）=0，
故答案为0．
【点评】本题考查绝对值、代数式求值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学
会利用整体代入的思想解决问题．
22．在数轴上，点P表示的数是a，点P′表示的数是，我们称点P′是点P的“相关点”，已
知数轴上A的相关点为A，点A的相关点为A，点A的相关点为A…，这样依次得到点
122334
A、A、A、A，…，A．若点A在数轴表示的数是，则点A在数轴上表示的数是 ﹣
1234n12016
1 ．
【分析】先根据已知求出各个数，根据求出的数得出规律，即可得出答案．
【解答】解：∵点A在数轴表示的数是，
1
∴A==2，
2
A==﹣1，
3
A==，
4
A==2，
5
A=﹣1，
6
…，
2016÷3=672，
所有点A在数轴上表示的数是﹣1，
2016
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了数轴和有理数的计算，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
23．一个点A从数轴上表示+2的点开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个
单位；第二次先向左移动3个单位，再向右移动4个单位；第三次先向左移动5个单位，再向
右移动6个单位；…．
（1）第一次移动后这个点在数轴上表示的数是 3 ；
（2）第二次移动后这个点在数轴上表示的数是 4 ；
（3）第五次移动后这个点在数轴上表示的数是 7 ；
（4）第n次移动后这个点在数轴上表示的数是 n+2 ．
【分析】（1）一点A从数轴上表示+2的点开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移
动2个单位，实际上点A最后向左移动了1个单位，则第一次后这个点表示的数为1+2=3；
（2）第二次先向左移动3个单位，再向右移动4个单位，实际上点A最后向左移动了1个单
位，则第二次后这个点表示的数为2+2=4；
（3）根据前面的规律得到第五次移动后这个点在数轴上表示的数是5+2=7；
（4）第n次移动后这个点在数轴上表示的数是n+2．
【解答】解：（1）第一次移动后这个点在数轴上表示的数是3；
（2）第二次移动后这个点在数轴上表示的数是4；
（3）第五次移动后这个点在数轴上表示的数是7；
（4）第n次移动后这个点在数轴上表示的数是n+2．
故答案为：3，4，7，n+2．
【点评】本题考查了数轴、规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的
因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
24．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），
构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于﹣，处，AP=2PB，则P站
台用类似电影的方法可称为“ 站台”．
【分析】先根据两点间的距离公式得到AB的长度，再根据AP=2PB求得AP的长度，再用﹣
加上该长度即为所求．
【解答】解：AB=﹣（﹣）=，
AP=×=，
P：﹣+=．
站台”．故P站台用类似电影的方法可称为“
故答案为：．
【点评】此题考查了数轴，关键是用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体
现了数形结合的优点．
25．四个数w、x、y、z满足x﹣2001=y+2002=z﹣2003=w+2004，那么其中最小的数是 w ，
最大的数是 z ．
【分析】根据已知等式，分别求x﹣y、x﹣z、y﹣w的值，然后用这些值与0比较大小，即可
求得z＞x＞y＞w．
【解答】解：由x﹣2001=y+2002=z﹣2003=w+2004，得
x﹣y=2001+2002=4003＞0，∴x＞y，①
x﹣z=2001﹣2003=﹣2＜0，∴z＞x，②
y﹣w=2004﹣2002=2＞0，∴y＞w，③
由①②③，得
z＞x＞y＞w；
∴四个数w、x、y、z中最小的数是w，最大的数是z；
故答案为：w、z．
【点评】本题主要考查了有理数大小的比较．两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数
比较大小，绝对值大的数反而小．
三．解答题（共15小题）
26．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，
若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的幸福点C所表示的数应该是 ﹣4或2 ；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，点C就
是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是 ﹣2或﹣1或0或1或2或3或4 （填一个
即可）；
（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P
所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多
少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？
【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解；
（2）根据幸福中心的定义即可求解；
（3）分两种情况列式：①P在B的右边；②P在A的左边讨论；可以得出结论．
【解答】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是﹣1﹣3=﹣4或﹣1+3=2；
（2）4﹣（﹣2）=6，
故C所表示的数可以是﹣2或﹣1或0或1或2或3或4；
（3）设经过x秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，依题意有
①8﹣2x﹣4+（8﹣2x+1）=6，
解得x=1.75；
②4﹣（8﹣2x）+[﹣1﹣（8﹣2x）]=6，
解得x=4.75．
故当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【点评】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系
式：路程=时间×速度，认真理解新定义．
27．在东西向的马路上有一个巡岗亭A，巡岗员甲从岗亭A出发以13km/h速度匀速来回巡逻，
如果规定向东巡逻为正，向西巡逻为负，巡逻情况记录如下：（单位：千米）
第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次
436
﹣5﹣4﹣3﹣1
（1）求第六次结束时甲的位置（在岗亭A的东边还是西边？距离多远？）
（2）在第几次结束时距岗亭A最远？距离A多远？
（3）巡逻过程中配置无线对讲机，并一直与留守在岗亭A的乙进行通话，问在甲巡逻过程中，
甲与乙的保持通话时长共多少小时？
【分析】（1）把前面6次记录相加，根据和的情况判断第六次结束时甲的位置即可；
（2）求出每次记录时距岗亭A的距离，数值最大的为最远的距离；
（3）求出所有记录的绝对值的和，再除以13计算即可得解．
【解答】解：（1）4+（﹣5）+3+（﹣4）+（﹣3）+6=1（km）．
答：在岗亭A东边1km处；
（2）第一次4km；
第二次4+（﹣5）=﹣1（km）；
第三次﹣1+3=2（km）；
第四次2+（﹣4）=﹣2（km）；
第五次﹣2+（﹣3）=﹣5（km）；
第六次﹣5+6=1（km）；
第七次1+（﹣1）=0（km）；
故在第五次记录时距岗亭A最远，距离A5km．
（3）|4|+|﹣5|+|3|+|﹣4|+|﹣3|+|6|+|﹣1|=26（km），
26÷13=2（小时）．
答：在甲巡逻过程中，甲与乙的保持通话时长共2小时．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有
相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
28．随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他
连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足
50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”．
第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天
﹣13﹣14﹣16+33+19路程（km）﹣9
0
（1）求出这7天的行驶路程中最多的一天比最少的一天多行驶多少千米？
（2）若每行驶100km需用汽油8升，每升汽油6.5元，计算小明家这7天的汽油费用共是多
少元？
【分析】（1）根据有理数的减法，可得答案；
（2）根据单价乘行驶路程，可得答案．
【解答】解（1）33﹣（﹣16）=49
答：最多的一天比最少的一天多行驶49千米；
（2）7天总共行驶的路程为：
50×7+（﹣9﹣13+0﹣14﹣16+33+19）=350（km）
汽油费用共为：
=182（元）．
【点评】本题考查了正数和负数，利用有理数的运算是解题关键．
29．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两
数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两
点之间的距离．试探索：
（1）|4﹣（﹣2）|的值．
（2）若|x﹣2|=5，求x的值是多少？
（3）同理|x﹣4|+|x+2|=6表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣2所对应的两点距离之和，
请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|=6，写出求解的过程．
【分析】（1）根据4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，可得|4﹣（﹣2）|=6．
（2）根据|x﹣2|=5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，可得x=﹣3或7．
（3）因为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，所以使得|x﹣4|+|x+2|=6成
立的整数是﹣2和4之间的所有整数（包括﹣2和4），据此求出这样的整数有哪些即可．
【解答】解：（1）∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，
∴|4﹣（﹣2）|=6．
（2）|x﹣2|=5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，
∵﹣3或7与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，
∴若|x﹣2|=5，则x=﹣3或7．
（3）∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，
∴使得|x﹣4|+|x+2|=6成立的整数是﹣2和4之间的所有整数（包括﹣2和4），
∴这样的整数是﹣2、﹣1、0、1、2、3、4．
【点评】（1）此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数
﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
（2）解答此题的关键是要明确：|x﹣a|既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与
a两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
30．阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，
如：{3，4}；{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：
只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合称为条件集合．例如；
{3，﹣2}，因为﹣2×3+4=﹣2，﹣2恰好是这个集合的元素
所以吕{3，﹣2}是条件集合：例如；（﹣2，9，8，}，因为﹣2×（﹣2）+4=8，8恰好是这个
集合的元素，所以{﹣2，9，8，}是条件集合．
（1）集合{﹣4，12}是否是条件集合？
（2）集合{，﹣，}是否是条件集合？
（3）若集合{8，n}和{m}都是条件集合．求m、n的值．
【分析】（1）依据一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，
这样的集合我们称为条件集合，即可得到结论；
（2）依据一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的
集合我们称为条件集合，即可得到结论；
（3）分情况讨论：当﹣2×8+4=n，解得：n=﹣12；当﹣2n+4=8，解得：n=﹣2；当﹣2n+4=n，
解得：n=；当﹣2m+4=m，解得：m=．
【解答】解：（1）∵﹣2×（﹣4）+4=12，
∴集合{﹣4，12}是条件集合；
（2）∵﹣2×（﹣）+4=，
∴{，，是条件集合；
（3）∵集合{8，n}和{m}都是条件集合，
∴当﹣2×8+4=n，解得：n=﹣12；
当﹣2n+4=8，解得：n=﹣2；
当﹣2n+4=n，解得：n=；
当﹣2m+4=m，解得：m=．
【点评】本题主要考查了有理数的运算，解决问题的关键是依据条件集合的定义进行计算．如
果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们
称为条件集合．
31．已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的0.5%的交易费，张先生上周星期五在股市
收盘价每股20元买进某公司的股票1000股，下表为本周交易日内，该股票每天收盘时每股的
涨跌情况：
星期星期一星期二星期三星期四星期五
每股涨跌/+2+3﹣2.5+3﹣2
元
注：①涨记作“+”，跌记作“﹣”；②表中记录的数据每天收盘价格与前一天收盘价格的变化量，
星期一的数据是与上星期五收盘价格的变化量．
（1）直接判断：本周内该股票收盘时，价格最高的是那一天？
（2）求本周星期五收盘时，该股票每股多少元？
（3）若张先生在本周的星期五以收盘价将全部股票卖出，求卖出股票应支付的交易费．
【分析】（1）根据表格中数据，可得答案；
（2）根据有理数的加法可得答案；
（3）根据卖出股票应支付的交易费计算即可．
【解答】解：（1）价格最高的是星期四；
（2）该股票每股为：20+2+3﹣2.5+3﹣2=23.5元/股；
（3）卖出股票应支付的交易费为：23.5×1000×0.5%=117.5元
【点评】本题考查了正数和负数，利用相反数表示了相反意义的量，利用了有理数的加法运
算．根据实际，解决问题．
32．在学习绝对值后，我们知道，表示a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在
数轴上的对应点与原点的距离．|5﹣3|表示5、3在数轴上对应两点之间的距离，而|x+1|=|x
﹣（﹣1）|表示x，﹣1在数轴上对应两点之间的距离；一般的，点A、B之间的距离可表示
为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 3 ；若数轴上表示x、1的距离为4，即|x﹣
1|=4，则x的值为 5或﹣3 ．
（2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣3、1，那么，点A到点B的距离与点A到
点C的距离之和可表示为 |x+3|+|x﹣1| （用含绝对值的式子表示），满足|x﹣4|+|x+1|=7
的x的值为 ﹣2或5 ；
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣4|+|x+5|是否有最小值？如果有，写出最小
值，并写出此时x的取值范围；如果没有，说明理由．
【分析】（1）根据两点间的距离公式，即可解答；
（2）根据两点间的距离公式，即可解答．
（3）x为有理数，所以要根据x﹣4与x+5的正负情况分类讨论，再去掉绝对值符号化简计算．
【解答】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：|4﹣1|=3；
∵|x﹣1|=4，
∴x=5或﹣3；
故答案为：3；5或﹣3．
（2）∵A到B的距离为|x﹣（﹣3）|，与A到C的距离为|x﹣1|，
∴A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+3|+|x﹣1|，
故答案为：|x+3|+|x﹣1|；
根据绝对值的几何含义可得，|x﹣4|+|x+1|表示数轴上x与4的距离与x与﹣1的距离之和，
若x＜﹣1，则4﹣x+（﹣x﹣1）=7，即x=﹣2；
若﹣1≤x≤4，则4﹣x+x+1=7，方程无解，舍去；
若x＞4，则x﹣4+x+1=7，即x=5，
∴满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是﹣2，5，
故答案为：﹣2或5；
（3）分情况讨论：
当x＜﹣5时，x+5＜0，x﹣4＜0，所以|x﹣4|+|x+5|=﹣（x﹣4）﹣（x+5）=﹣2x﹣1＞9；
当﹣5≤x＜4时，x+5≥0，x﹣4＜0，所以|x﹣4|+|x+5|=﹣（x﹣4）+x+5=9；
当x≥4时，x+5＞0，x﹣4≥0，所以|x﹣4|+|x+5|=（x﹣4）+（x+5）=2x+1≥9；
综上所述，所以|x﹣4|+|x+5|的最小值是9．
x的取值范围是：﹣5≤x＜4．
【点评】本题考查了数轴与绝对值的概念，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关
键．解题时注意：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
33．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应
的数为x．
（1）MN的长为；
（2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是；
（3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；
若不存在，请说明理由．
（4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分
钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的
距离相等，求t的值．
【分析】（1）MN的长为3﹣（﹣1）=4，即可解答；
（2）根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值；
（3）可分为点P在点M的左侧和点P在点N的右侧，点P在点M和点N之间三种情况计算；
（4）分别根据①当点M和点N在点P同侧时；②当点M和点N在点P异侧时，进行解答即
可．
【解答】解：（1）MN的长为3﹣（﹣1）=4．
（2）根据题意得：x﹣（﹣1）=3﹣x，
解得：x=1；
（3）①当点P在点M的左侧时．
根据题意得：﹣1﹣x+3﹣x=8．
解得：x=﹣3．
②P在点M和点N之间时，PN+PM=8，不合题意．
③点P在点N的右侧时，x﹣（﹣1）+x﹣3=8．
解得：x=5．
∴x的值是﹣3或5．
（4）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM=PN．
点P对应的数是﹣t，点M对应的数是﹣1﹣2t，点N对应的数是3﹣3t．
①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，
所以﹣1﹣2t=3﹣3t，解得t=4，符合题意．
②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点
都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远
位于点P的左侧），
故PM=﹣t﹣（﹣1﹣2t）=t+1．PN=（3﹣3t）﹣（﹣t）=3﹣2t．
所以t+1=3﹣2t，解得t=，符合题意．
综上所述，t的值为或4．
【点评】此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据M，N位置的不同进行
分类讨论得出是解题关键．
34．阅读与理解：
如图，一只甲虫在5×5的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在
如图网格中，向上（或向右） 爬行记为“+”，向下（或向左） 爬行记为“﹣”，并且第一个数
表示左右方向，第二个数表示上下方向．
例如：从A到B记为：A→B（+1，+4），从D到C记为：D→C（﹣1，+2）．
思考与应用：
（1）图中A→C（ +3 ， +4 ），B→C（ +2 ， 0 ），D→A（ ﹣4 ， ﹣2 ）
（2）若甲虫从A到P的行走路线依次为：（+3，+2）→（+1，+3）→（+1，﹣2），请在图中
标出P的位置．
（3）若甲虫的行走路线为A→（+1，+4）→（+2，0）→（+1，﹣2）→（﹣4，﹣2），请计算
该甲虫走过的总路程．
【分析】（1）根据坐标的定义，分别找出A→C的向右向上的长度，C→B向左向下的长度即
可得解；
（2）根据坐标位置的确定以及新定义，在网格图中找出点P的位置即可；
（3）根据图形把经过的路线的长度相加即可得解．
【解答】解：（1）A→C向右3个单位，向上4个单位，
所以A→C（+3，+4），
同理：B→C（+2，0），D→A（﹣4，﹣2）．
故答案是：A→C（+3，+4），B→C（+2，0），D→A（﹣4，﹣2）
（2）如图2所示．
（3）甲虫走过的总路程：
|+1|+|+4|+|+2|+|+1|+|﹣2|+|﹣4|+|﹣2|=16．
【点评】本题考查了正数和负数，坐标位置的确定，读懂题目信息，明确正数和负数的意义是
解题的关键．
35．已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，
点P、Q是数轴上两个动点；
（1）直接写出点N所对应的数；
（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是多少？
（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出
发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数
各是多少？
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）分两种情况：①点P在点M的左边；②点P在点N的右边；进行讨论即可求解；
（3）分两种情况：①点P在点Q的左边；②点P在点Q的右边；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）﹣3+4=1．
故点N所对应的数是1；
（2）（5﹣4）÷2=0.5，
①﹣3﹣0.5=﹣3.5，
②1+0.5=1.5．
故点P所对应的数是﹣3.5或1.5．
（3）①（4+2×5﹣2）÷（3﹣2）
=12÷1
=12（秒），
点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣12×2=﹣37，点Q对应的数是﹣37+2=﹣35；
②（4+2×5+2）÷（3﹣2）
=16÷1
=16（秒）；
点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣16×2=﹣45，点Q对应的数是﹣45﹣2=﹣47．
【点评】本题考查了两点间的距离和数轴．解题时，需要采用“分类讨论”的数学思想．
36．2017年国庆节放假八天，高速公路免费通行，各地风景区游人如织其中，其中闻名于世
的北京故宫，在10月1日的游客人数就已经达到了7万人，接下来的七天中，每天的游客人
数变化（单位：万人）如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
日期10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日10月8日
人数变化+0.6+0.2+0.1﹣0.2﹣0.8﹣1.6﹣0.1
（1）10月3日的人数为 7.8 万人．
（2）这八天，游客人数最多的是10月 4 日，达到 7.9 万人．游客人数最少的是10月
8 日，为 5.2 万人．
（3）这8天参观故宫的总人数约为 55 万人（结果精确到万位）；
（4）如果你们一家人打算在下一个国庆节参观故宫，请你对你们的出行日期提一个建议．
【分析】（1）根据题意计算出10月2日的人数再加上﹣0.58即可；
（2）分别计算出每天的人数，即可作出判断；
（3）根据（1）（2）把8天的人数相加即可；
（4）答案不唯一，只要合理即可．
【解答】解：（1）2日的人数为：7+0.6=7.6万人，
3日的人数为：7.6+0.2=7.8万人．
故答案为7.8；
（2）4日的人数为：7.8+0.1=7.9万人，
5日的人数为：7.9﹣0.2=7.7万人，
6日的人数为：7.7﹣0.8=6.9万人，
7日的人数为：6.9﹣1.6=5.3万人，
8日的人数为：5.3﹣0.1=5.2万人，
所以这八天，游客人数最多的是10月4日，达到7.9万人．游客人数最少的是10月8日，达
到5.2万人．
故答案为4，7.9，8，5.2；
（3）7+7.6+7.8+7.9+7.7+6.9+5.3+5.2=55.4≈55万人．
故答案为55；
（4）为了安全，尽量把参观日期向后安排．
【点评】此题考查的是正数和负数及有理数的运算，关键是正确理解表中数据的含义，正确计
算出每天的人数．
37．同学们都知道：|3﹣（﹣2）|表示3与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为3与﹣2两
数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
（1）数轴上表示x与3的两点之间的距离可以表示为 |x﹣3| ．
（2）如果|x﹣3|=5，则x= 8或﹣2 ．
（3）同理|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和，
请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣1|=3，这样的整数是 ﹣2、﹣1、0、1 ．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最
小值；如果没有，说明理由．
【分析】（1）根据距离公式即可解答；
（2）利用绝对值求解即可；
（3）利用绝对值及数轴求解即可；
（4）根据数轴及绝对值，即可解答．
【解答】解：（1）数轴上表示x与3的两点之间的距离可以表示为|x﹣3|，
故答案为：|x﹣3|；
（2）∵|x﹣3|=5，
∴x﹣3=5或x﹣3=﹣5，
解得：x=8或x=﹣2，
故答案为：8或﹣2；
（3）∵|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和，
|x+2|+|x﹣1|=3，
∴这样的整数有﹣2、﹣1、0、1，
故答案为：﹣2、﹣1、0、1；
（4）有最小值，
理由是：∵丨x+3丨+丨x﹣6丨理解为：在数轴上表示x到﹣3和6的距离之和，
∴当x在﹣3与6之间的线段上（即﹣3≤x≤6）时：
即丨x+3丨+丨x﹣6丨的值有最小值，最小值为6+3=9．
【点评】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法，
会去绝对值符号，利用数轴的特点解答．
38．数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B
两点之间的距离AB=|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 4 ．
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 |x+2| ．数轴上表示x和5的两点之间的
距离表示为 |5﹣x| ．
③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|的最小值= 4 ．
④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x﹣2|=5，则满足条件的所有整数x的是 ﹣3或﹣2或﹣1
或0或1或2 ．
⑤若x表示一个有理数，当x为 3 ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为 7 ．
【分析】①②在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|，依此即可求解；
④根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解；
③首先将原式变形为y=|x﹣1|+|x+3|，然后分别从当x≥1时，当﹣3≤x＜1时，当x＜﹣3
时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值；
④当x＜﹣3时，当﹣3≤x≤2时，当x＞2时，当x=﹣1，当x=1，当x=0去分析，根据一次
函数的增减性，即可求得答案；
⑤当x≥5时，当3≤x＜5时，当﹣2≤x＜3时，当x＜﹣2时去分析，根据一次函数的增减性，
即可求得y的最小值．
【解答】解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2=3，数轴上表示1和﹣3的两点之间
的距离是1﹣（﹣3）=4，
故答案为：3，4；
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|=|x+2|，数轴上表示x和5的两
点之间的距离表示为|5﹣x|，
故答案为：|x+2|，|5﹣x|；
③当x＜﹣3时，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x﹣x﹣3=﹣2x﹣2，
当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x+x+3=4，
当x＞1时，|x﹣1|+|x+3|=x﹣1+x+3=2x+2，
在数轴上|x﹣1|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣3及到1的距离之和，所以当﹣
3≤x≤1时，它的最小值为4，
故答案为：4；
④当x＜﹣3时，|x+3|+|x﹣2|=﹣x﹣3+2﹣x=﹣2x﹣1=5，
解得：x=﹣3，
此时不符合x＜﹣3，舍去；
当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|=x+3+2﹣x=5，
此时x=﹣3或x=﹣2或0或1或2；
当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|=x+3+x﹣2=2x+1=5，
解得：x=2，
此时不符合x＞2，舍去；
当x=0时，|x+3|+|x﹣2|=5；
当x=1时，|x+3|+|x﹣2|=5；
当x=﹣1时，|x+3|+|x﹣2|=5；
故答案为：﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；
⑤∵设y=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|，
i、当x≥5时，y=x+2+x﹣3+x﹣5=3x﹣6，
∴当x=5时，y最小为：3x﹣6=3×5﹣6=9；
ii、当3≤x＜5时，y=x+2+x﹣3+5﹣x=x+4，
∴当x=3时，y最小为7；
iii、当﹣2≤x＜3时，y=x+2+3﹣x+5﹣x=10﹣x，
∴此时y最小接近7；
iiii、当x＜﹣2时，y=﹣x﹣2+3﹣x+5﹣x=6﹣x，
∴此时y最小接近8；
∴y的最小值为7．
故答案为：3，7．
【点评】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是
解题的关键．注意分类思想的运用．
39．观察下列两个等式：3+2=3×2﹣1，4+﹣1，给出定义如下：
我们称使等式a+b=ab﹣1成立的一对有理数a，b为“椒江有理数对”，记为（a，b），如：数对
（3，2），（4，）都是“椒江有理数对”．
（1）数对（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理数对”的是 （5，） ；
（2）若（a，3）是“椒江有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“椒江有理数对”，则（﹣n，﹣m） 不是 “椒江有理数对”（填“是”、“不
是”或“不确定”）．
（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对” （6，1.4）
（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）
【分析】（1）根据“椒江有理数对”的定义即可判断；
（2）根据“椒江有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；
（3）根据“椒江有理数对”的定义即可判断；
（4）根据“椒江有理数对”的定义即可解决问题．
【解答】解：（1）﹣2+1=﹣1，﹣2×1﹣1=﹣3，
∴﹣2+1≠﹣2×1﹣1，
∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”，
∵5+=，5×﹣1=，
∴5+=5×﹣1，
∴（5，）中是“椒江有理数对”；
（2）由题意得：
a+3=3a﹣1，
解得a=2．
（3）不是．
理由：﹣n+（﹣m）=﹣n﹣m，
﹣n•（﹣m）﹣1=mn﹣1
∵（m，n）是“椒江有理数对”
∴m+n=mn﹣1
∴﹣n﹣m=﹣（mn﹣1）=﹣（﹣n）×（﹣m）+1=﹣[（﹣n）×（﹣m）﹣1]，
∴（﹣n，﹣m）不是“椒江有理数对”，
（4）（5，1.5）等．
故答案为：（5，）；不是；（5，1.5）．
【点评】本题考查有理数的混合运算、“椒江有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活
运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
40．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数
学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．
【解决问题】
解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则
．
综上所述，值为3或﹣1．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值；
（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值．
【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；
（2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判
断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．
【解答】解：（1）∵abc＜0，
∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，
则：=++=﹣1﹣1﹣1=﹣3；
②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，
则=++=﹣1+1+1=1．
（2）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且，
∴a，b，c中负数有2个，正数有1个，
∴abc＞0，
∴==1．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字
母的范围和字母的值是关键．
亲爱的读者：
1、读书破万卷，下笔如有神。20.7.247.24.202010:2310:23:28Jul-2010:23
2、敏而好学，不耻下问。二〇二〇年七月二十四日2020年7月24日星期五
春去燕归来，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在
3、读书百遍，其义自见。10:237.24.202010:237.24.202010:2310:23:287.24.202010:237.24.2020
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃
4、吾生也有涯，而知也无涯。7.24.20207.24.202010:2310:2310:23:2810:23:28
花一样美丽，感谢你的阅读。
5、书籍是前人的经验。Friday, July 24, 2020July 20Friday, July 24, 20207/24/2020
6、书籍是巨大的力量。10时23分10时23分24-Jul-207.24.2020
亲爱的读者：
1、盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。。20.7.247.24.202010:2310:23:28Jul-2010:23
春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在
3、少年易学老难成，一寸光阴不可轻。。10:237.24.202010:237.24.202010:2310:23:287.24.202010:237.24.2020
2、千里之行，始于足下。2020年7月24日星期五
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃
4、敏而好学，不耻下问。。7.24.20207.24.202010:2310:2310:23:2810:23:28
花一样美丽，感谢你的阅读。
5、海内存知已，天涯若比邻。Friday, July 24, 2020July 20Friday, July 24, 20207/24/2020
6莫愁前路无知已，天下谁人不识君。10时23分10时23分24-Jul-207.24.2020
亲爱的读者：
1、生活不相信眼泪，眼泪并不代表软弱。20.7.247.24.202010:2310:23:28Jul-2010:23
2、世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。二〇二〇年七月二十四日2020年7月24日星期五
3、成功都永远不会言弃，放弃者永远不会成功。10:237.24.202010:237.24.202010:2310:23:287.24.202010:237.24.2020
春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃
4、不要为它的结束而哭，应当为它的开始而笑。7.24.20207.24.202010:2310:2310:23:2810:23:28
5、生命的成长，需要吃饭，还需要吃苦，吃亏。Friday, July 24, 2020July 20Friday, July 24, 20207/24/2020
花一样美丽，感谢你的阅读。
6、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。10时23分10时23分24-Jul-207.24.2020
7、放眼前方，只要我们继续，收获的季节就在前方。20.7.2420.7.2420.7.24。2020年7月24日星期五二〇二〇年
七月二十四日
亲爱的读者：
1、盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。。20.7.247.24.202010:2310:23:28Jul-2010:23
春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在
3、少年易学老难成，一寸光阴不可轻。。10:237.24.202010:237.24.202010:2310:23:287.24.202010:237.24.2020
2、千里之行，始于足下。2020年7月24日星期五
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃
4、敏而好学，不耻下问。。7.24.20207.24.202010:2310:2310:23:2810:23:28
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5、海内存知已，天涯若比邻。Friday, July 24, 2020July 20Friday, July 24, 20207/24/2020
6莫愁前路无知已，天下谁人不识君。10时23分10时23分24-Jul-207.24.2020
本文发布于:2023-05-22 19:05:14，感谢您对本站的认可！
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