悬链线方程的推导

悬链线方程的推导

柔软的绳子上质量分布均匀，绳子两端悬挂在同一水平面的两点，悬挂点间距小于绳子总长，

求绳子的形状满足的曲线方程。

解：根据对称性，只考查一半绳子，图示坐标系中，A(0,b)是绳子最低点，B(x，y)是绳子上

的任意一点。分析绳子受力情况，在B点受到拉力T，在A点受到水平向左的拉力f，平衡

条件：

TcosfTsings



《1》 《2》





是单位长度绳子的质量，s是AB的长度： 《3》

s1ydx



x

0



2

θ是拉力T与水平方向的夹角，符合： 《4》

ytan





推出 《5》其中

y1ydx



1

x



g1

2





0

a

fa



1yay

2

《6》 两边对x求导，得到

边界条件： 《7》

y(0)b,y(0)0



对《6》整理得到积分得到

dydx



1y



2



x



x

arcsinhyC



1

ysinhC





1

a

a



a

代入边界条件得C=0: 《8》

y(0)0



1

ysinh







x



a

进一步积分得到 所以所 代入边界条件y(0)=b解得，

yacoshC



2

Cba

2

求悬链线方程为



x



a

x



yacosh1b





(注：题头右图中a=1，b=0.5)



a

