五年级奥数.行程 .多人多次相遇和追及问题 (C级 ).学生版

多人多次相遇与追及

知识框架

一、多人相遇追及问题

多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。

所有行程问题都是围绕“”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行

路程速度时间

程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：

路程和速度和相遇时间

；

；

路程差速度差追及时间

多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可

迎刃而解．

二、多次相遇追及问题

所有行程问题都是围绕“”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较

路程速度时间

复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．

多次相遇与全程的关系

1. 两地相向出发：

第1次相遇，共走1个全程；

第2次相遇，共走3个全程；

第3次相遇，共走5个全程；

…………， ………………；

第N次相遇，共走2N-1个全程；

注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N

米。

2. 同地同向出发：

第1次相遇，共走2个全程；

第2次相遇，共走4个全程；

第3次相遇，共走6个全程；

1

…………， ………………；

第N次相遇，共走2N个全程；

3、多人多次相遇追及的解题关键

多次相遇追及的解题关键 几个全程

多人相遇追及的解题关键 路程差

三、解多次相遇问题的工具——柳卡

柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求

数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以

及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间

是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

例题精讲

【例 1】、两地相距米，甲、乙、丙的速度分别是米/分、米/分、米/分。如果甲、乙从，

AB4A

20365

丙从地同时出发相向而行，那么，在__________分钟或________分钟后，丙与乙的距离是丙与

B

甲的距离的倍。

2

【巩固】 、两地相距336千米，有甲、乙、丙3人，甲、乙从地，丙从地同时出发相向而行，已知

ABAB

甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，丙每小时行24千米，问几个小时后，丙正好处于甲、

乙之间的中点？

2

【例 2】一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正

向北步行。14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开。14时16分迎面遇到一个向南走的学

生，12秒后离开这个学生。问：工人与学生将在何时相遇？

【巩固】 铁路货运调度站有、两个信号灯，在灯旁停靠着甲、乙、丙三列火车。它们的车长正好构成

AB

一个等差数列，其中乙车的的车长居中，最开始的时候，甲、丙两车车尾对齐，且车尾正好位于

ABBA

信号灯处，而车头则冲着信号灯的方向。乙车的车尾则位于信号灯处，车头则冲着的方

向。现在，三列火车同时出发向前行驶，10秒之后三列火车的车头恰好相遇。再过15秒，甲车

恰好超过丙车，而丙车也正好完全和乙车错开，请问：甲乙两车从车头相遇直至完全错开一共用

了几秒钟？

【例 3】甲、乙两人从相距490米的、两地同时步行出发，相向而行，丙与

AB

甲同时从出发，在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每

A

分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210米，

那么乙每分钟走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．

3

【巩固】 如图，,为的三等分点； 8点整时甲从出发匀速向行走，8点12分乙从出发匀速向

CDABABB

ABACD

行走，再过几分钟后丙也从出发匀速向行走；甲,乙在点相遇时丙恰好走到点，甲,丙

8:30相遇时乙恰好到．那么，丙出发时是8点________分．

A

4

【例 4】一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向

东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米．当甲到达西

镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇 千米．

丙

甲

乙

AFB

CED

【巩固】 甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走．甲第一次遇

5

到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙．已知甲、乙的速度比是，湖

3:2

的周长是600米，求丙的速度．

【例 5】甲、乙、丙、丁4人在河中先后从同一个地方同速同向游泳，现在甲距起点78米，乙距起点27

米，丙距起点23米，丁距起点16米．那么当甲、乙、丙、丁各自继续游泳 米时，甲距

起点的距离刚好为乙、丙、丁3人距起点的距离之和．

【巩固】 ，两地相距105千米，甲、乙两人分别骑车从，两地同时相向出发,甲速度为每小时40千

ABAB

米，出发后1小时45分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑．在他们相遇3分钟后，

甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在地追上乙．若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比

C

原速度快2千米的车速，两人同时分别从，出发相向而行，则甲、乙二人在点相遇，问丙

ABC

的车速是多少?

6

【例 6】甲、乙两人分别从、两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的，二人相遇后继续行进，甲

AB

7

2

3

到地、乙到地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那

BA

么，、两地相距 千米．

AB

【巩固】 小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次

在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离

为 千米．

【例 7】A，B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，

乙车较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到两车第三

次相遇为止，乙车共走了多少千米？

8

【巩固】 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他

们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地

点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？

【例 8】A，B两地间有条公路，甲从A地出发步行到B地，乙骑摩托车从B地出发不停顿地往返于A，B

两地之间。他们同时出发，80分后两人第一次相遇，100分后乙第一次超过甲。问：当甲到达B

地时，乙追上甲几次？

9

【巩固】 电子玩具车与在一条轨道的两端同时出发相向而行，在轨道上往返行驶。已知比的速

ABAB

度快，根据推算，第次相遇点与第次相遇点相距厘米，轨道长 厘米。

50%58

20072008

20072008

【例 9】A、 B 两地相距1000 米，甲从 A地、乙从 B 地同时出发，在 A、 B 两地间往返锻炼．乙跑步

每分钟行150米，甲步行每分钟行 60米．在 30分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距 B 地最近

(从后面追上也算作相遇)？最近距离是多少？

【巩固】 A、 B 两地相距 950 米．甲、乙两人同时由 A地出发往返锻炼半小时．甲步行，每分钟走 40 米；

乙跑步，每分钟行 150 米．则甲、乙二人第几次迎面相遇时距 B 地最近？

10

【例 10】、两地相距，甲、乙两人同时从地出发，往返、两地跑步分钟．甲跑步的

ABAAB

950m90

速度是每分钟；乙跑步的速度是每分钟．在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问

40m150m

在第几次相遇时他们离点的距离最近？

B

【巩固】 A、 B 两地相距 2400 米，甲从 A地、乙从 B 地同时出发，在 A、 B 两地间往返锻炼．甲每

分钟跑 300 米，乙每分钟跑 240 米，在 30 分钟后停止运动．甲、乙两人第几次相遇时距 A

地最近？最近距离是多少？

课堂检测

【随练1】小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地

去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小

李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？

【随练2】铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，

骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过

骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？

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【随练3】甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游，直到一方追

上另一方为止，追上者为胜。已知甲、乙的速度分别为1.0米／秒和0.8米／秒。问：（1）比

赛开始后多长时间甲追上乙？（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？

【随练4】甲、乙两车同时从同一点出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行

A

驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面

追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离点有多少米？(每一次

A

甲车追上乙车也看作一次相遇)

家庭作业

【作业1】公路上，汽车、、分别以，，的速度匀速行驶，若汽车从

ABA

C80km/h70km/h50km/h

甲站开往乙站的同时，汽车、从乙站开往甲站，并且在途中，汽车在与汽车相遇后的

BAB

C

两小时又与汽车相遇，求甲、乙两站相距多少千米？

C

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【作业2】甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米， 乙速

度是每小时4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，

在过5分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？

【作业3】两地相距432千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从地，丙从地同时出发相向而行，已

A、B

AB

知甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，丙每小时行24千米，问几个小时之后，乙正好在

甲、丙两人的中点？

【作业4】甲、乙两车同时从、两地相对亦开出，两车第一次距地32千米处相遇，相遇后两车继续

ABA

行驶，各自达到、两地后，立即沿原路返回，第二次在距地64千米处相遇，则、两地

BAAAB

间的距离是__________千米。

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【作业5】小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红

的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相

遇了多少次？

【作业6】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在

途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽

约开来的轮船？

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