三角形中的几个巧合点

三角形中的几个巧合点

三角形中有几个有趣的巧合点，它们是三角形的

内心、外心、重心、垂心和旁心等．读者能够按以下

各例的要求，用折纸的方式求出这五心，也能够用规

尺作图的方式作出五心．

例1 证明：三角形三内角平分线交于一点，此点

称为三角形的内心．

已知：△ABC中，AX，BY，CZ别离是∠A，∠B，∠

C的平分线，求证：AX，BY，CZ交于一点(图3－110)．

证 因为AX，BY是∠A，∠B的平分线，因此AX，

BY必相交于一点，设此点为I(不然的话，AX，BY必平

行，那么∠BAX+∠YBA=180°，这是不可能的)，因此I

与AB，AC边等距，I与AB，BC边等距，因此I与AC，BC

边等距，因此I必在CZ上，因此AX，BY，CZ相交于一点．

说明 假设证明几条直线共点，可先证其中两条

直线相交，再证那个交点别离在其余各条直线上，那

么这几条直线必共点于此交点．

由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相

等，因此以此交点为圆心，以此点到各边的距离为半

径作圆，此圆必与三角形三边内切，因此称此交点为

三角形内切圆圆心，简称内心．

例2 证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，

此点称为三角形的外心．

已知：△ABC中，XX′，YY′，ZZ′别离是BC，AC，

AB边的垂直平分线，求证：XX′，YY′，ZZ′相交于

一点(图3－111)．

分析 仿照例1的试探方式，先证XX′，YY′交于

一点O，再证O点必在ZZ′上即可．

证 因为XX′，YY′别离是△ABC的BC边与AC边的

中垂线，因此XX′，YY′必相交于一点，设为O(不然，

XX′∥YY′，那么∠C必等于180°，这是不可能的)．因

为OB=OC，OC=OA，因此OB=OA，因此O点必在AB的垂直

平分线ZZ′上，因此XX′，YY′，ZZ′相交于一点．

说明 由于O点与△ABC的三个极点A，B，C距离相

等，因此以O点为圆心，以OA长为半径作圆，此圆必过

A，B，C三点，因此称此圆为三角形的外接圆，O点称

为三角形的外心．

例3 证明：三角形的三条中线相交于一点，此点

称为三角形的重心．重心到极点与到对边中点的距离

之比为2∶1．

已知：△ABC中，AX，BY，CZ别离是BC，AC，AB

边上的中线，求证：AX，BY，CZ相交于一点G，而且AG∶

GX=2∶1(图3－112)．

证 设AX，BY交于一点G，作AG，BG中点D，E．由

于X，Y别离是BC，AC的中点，因此XYDE，因此，四边

形DEXY为平行四边形，因此

GD=DA=GX，GY=GE=EB，

因此

AG∶GX=2∶1，BG∶GY=2∶1．

同理，假设BY与CZ相交于一点G′，必有

BG′∶G′Y=2∶1，G′C∶G′Z′=2∶1，

因此G′与G重合．因此三角形三条中线相交于一点．

说明 什么缘故称G点为△ABC的重心呢？这能够

从力学取得说明．设△ABC为一个质量均匀的三角形薄

片，并设其重量均匀集中于A，B，C三点，若是把B，C

两点的重量集中于BC边中点X时，那么△ABC的三极点

A，B，C的集中重量作了从头分派．假设A点为1，那么

X点为2，因此在AX上的重心支撑点必在AG∶GX=2∶1

处的G点．如此一来，若是在G点支起三角形，那么△

ABC必维持平稳，因此G点为三角形的重心(图3－113)．

例4 证明：三角形三条高线交于一点，这点称为

三角形的垂心．

已知：如图3－114，△ABC中，三边上的高线别离

是AX，BY，CZ，X，Y，Z为垂足，求证：AX，BY，CZ

交于一点．

分析 要证AX，BY，CZ相交于一点，能够利用前

面的证明方式去证，也能够转化成前面几例的条件利

用已证的结论来证明．为此，能够考虑利用三角形三

边垂直平分线交于一点的现有命题来证，只须构造出

一个新三角形A′B′C′，使AX，BY，CZ恰好是△A′B′

C′的三边上的垂直平分线，那么AX，BY，CZ必然相交

于一点．

证 别离过A，B，C作对边的平行线，那么取得△

A′B′C′(图3－114)．由于四边形A′BAC、四边形

AC′BC、四边形ABCB′均为平行四边形，因此AC′

=BC=AB′．由于AX⊥BC于X，且BC∥B′C′，因此AX

⊥B′C′于A，那么AX即为B′C′之垂直平分线．同理，

BY，CZ别离为A′C′，A′B′的垂直平分线，因此AX，

BY，CZ相交于一点H(例2)．

说明 此题的证法是把此题转化为已知命题(例2)

来论证的，可见转化思想在解题中的重要性．

例5 证明：三角形两外角平分线和另一内角平分

线交于一点，此点称为三角形的旁心．

已知：BX，CY别离是△ABC的外角∠DBC和∠ECB

的平分线，AZ为∠BAC的平分线(图3－115)，求证：AZ，

BX，CY相交于一点．

分析 可仿照例1的试探方式，先证明BX，CY必交

于一点M，然后证明M点在AZ上，那么AZ，BX，CY必交

于一点．

以下请读者写出证明，并试探，什么缘故把点M

叫作旁心，一个三角形有几个旁心？

上面讲的是三角形中的五个巧合点，即为五心．下

面举两个与五心有关的例题，以扩展知识，并提快乐

趣．

例6 如图3－116．已知H是△ABC的垂心，O是外

心，OL⊥BC于L．求证：AH=2OL．

明MK=OL即可．由于OL∥AH，MK∥AH，因此OL∥MK，因

此，只需证明LK∥OM即可．由已知，这是显然的．

证法1 作OM⊥AC于M，取CH的中点K，连结MK，LK，

那么有

MK∥AH∥OL，LK∥BH∥OM，

AH=2OL．

分析2 因为O为△ABC的外心，故可作其外接圆，

为了证明AH=2OL，可证AH等于另一线段a，而a=2OL，

那么AH=2OL．为此，需添加一些辅助线，见证明2(图3

－117)．

证法2 连接BO并延长交⊙O于D，连结CD，AD，那

么CD=2OL．又CD⊥BC，AH⊥BC，因此AH∥CD．同理，

AD∥HC，因此四边形AHCD为平行四边形，因此AH=CD，

因此AH=2OL．

例7 如图3－118．设G为△ABC的重心，从各极点

及G向形外一直线l引垂线AA′，BB′，CC′，GG′(其

中A′，B′，C′，G′为垂足)．求证：AA′+BB′+CC′

=3GG′．

分析 由于图中有许多能够利用的梯形，故可考

虑利用梯形中位线定理来证明．

证 设M为AC的中点，N为BG的中点，作MM′⊥l

于M′，NN′⊥l于N′，那么由已知条件可知，MM′是

梯形AA′C′C的中位线，NN′是梯形BB′G′G的中位

线，因此

又MM′+NN′=2GG′，因此

因此AA′+BB′+CC′+GG′=4GG′，

因此AA′+BB′+CC′=3GG′．

说明 当此题中AA′，BB′，CC′，GG′不垂直

于l，但仍维持相互平行时，此题结论是不是还成立？

试作出你的猜想，并加以证明．

练习二十

1．证明本讲例5．

2．如图3－119．在△ABC中，O为外心，I为内心，

且AB＞BC＞CA．求证：

(1)∠OAI＞∠OBI；

(2)∠OAI＞∠OCI．

3．△ABC中，I是内心，过I作DE直线交AB于D，交

AC于E．求证：DE=DB+EC．

4．设G为△ABC的垂心，D，E别离为AB，AC边的中

点，若是S=1，那么S=？

△ABC△GDE

5．在△ABC中，∠A=60°，O是外心，H是垂心．求

证：

AO＝AH．