平行线知识点汇总(实用型)

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相交线和平行线知识点总结

在平面不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系：相交与平行。在初中，

我们会更加深入地研究角度的关系。角度的关系和直线的位置关系密切相关。

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相交线

一、邻补角与对顶角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的

概念及性质如下表：

图形 顶点 边的关系 大小关系

对顶角

邻补角

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相关测试：

（1）若三条直线交于一点，则共有对顶角(平角除外)( )

A.6对 B.5对 C.4对 D.3对

（2）下列各图中，与是对顶角的是( )

12

（3）直线、相交于点，

ABCDO

⑴如果，那么；

AOCBOD100

o

AOD____

⑵如果的2倍大，那么

BOC比AOC

30

o

AOC___

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o

o

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两线垂直

⑴定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，

其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作：

C

如图所示：AB⊥CD，垂足为O

O B

A

D

⑵垂线性质1：在同一平面，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

(与平行公理相比较记)

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⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最

短。

相关测试：

（1）如图，点是直线上一点，，，求的度数．

OCD

AOOBAOD2BOCBOC

B

C

A

O

D

（2）三角形ABC中，，cm ,cm,cm.那么点B到直线 AC

C90

o

AC6BC8AB10

的距离是___________，A、B两点的距离是________.

如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念

分析它们的联系与区别

⑴垂线与垂线段

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⑵两点间距离与点到直线的距离

⑶线段与距离

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三．平行线

1、平行线的概念：同一平面两条直线的位置关系有两种1.相交;2.平行

在同一平面，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥

aa

b

b

。

附：判断同一平面两直线的位置关系时，可以根据它们的的个数来确定：

公共点

①有且只有一个公共点，两直线相交；

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②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线

2、平行公理――平行线的存在性与惟一性

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

3、平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

a

b

如左图所示，∵∥，∥

b

aca

c

∴∥

b

c

注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三

条直线，才会结论，这两条直线都平行。

5、三线八角

两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、错角与同旁角。

l

如图，直线被直线所截

a,b

l

①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，

l

a,b

叫做同位角（位置相同）

2 1

3

4

6 5

7

8

a

b

②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（），叫做错角（位

l

a,b

置在且交错）

③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（），叫做同旁角。

l

a,b

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④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；错角是“Z”型；同旁角是“U”

型。

相关练习：

一、选择题:

1.在同一平面,两条不重合直线的位置关系可能是( )

A.平行或相交 B.垂直或相交; C.垂直或平行 D.平行、垂直或相交

2.下列说确的是( )

A.经过一点有一条直线与已知直线平行

B.经过一点有无数条直线与已知直线平行

C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行

D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

3.在同一平面有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

4.下列说确的有( )

①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面,两条直线的位置关系有两种;

③若线段AB与CD没有交点,则AB∥CD;④若a∥b,b∥c,则a与c不相交.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二．填空题

1.若AB∥CD,AB∥EF,则_____∥______,理由是__________________.

2.在同一平面,若两条直线相交,则公共点的个数是________;•若两条直线平行,则公共点的个

数是_________.

3.同一平面的三条直线,其交点的个数可能为________.

4.直线L同侧有A,B,C三点,若过A,B的直线L和过B,C的直线L都与L平行,则A,•B,C三点

12

________,理论根据是___________________________.

5.两条直线平行，它们的交点个数是_______.

6.平行用符号“______”表示，直线AB与CD的平行，可以记作_______.

7._______，______的两条直线叫做平行线.

8.在同一平面，两条直线的位置关系有_____和______两种.

三、解答题变式训练:

1. 已知直线a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的关系是什么?为什么?

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四．平行线的性质

1、平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，错角相等；

性质3：两直线平行，同旁角互补。

E

几何符号语言：

A 3 B

∵AB∥CD

1

4

∴∠1＝∠2（两直线平行，错角相等）

∵AB∥CD

C D

2

∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）

∵AB∥CD

F

∴∠4＋∠2＝°（两直线平行，同旁角互补）

2、两条平行线的距离

如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与

CD间的距离。

G

A

B

E

C

H

D

F

注意：直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段

GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。

相关练习：

1.命题“垂直于同一直线的两直线平行”这个命题对不对________(写对错)

2. 如图1，直线，直线与 相交．若，则．

图1 图2 图3

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3、如图2，已知则______．

4、如图3 ，已知∥，平分∠，∠＝150°，则∠＝______

ABCDBEABCCDEC

5、如图4，已知，，，则 ．

图4 图5 图6

6、如图5所示，请写出能判定∥的一个条件 ．

CEAB

7、如图6，已知，=____________

8 如图10，，分别在上，为两平行线间一点，

那么（ ）

图 10

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五、两直线平行的判定方法

方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

简称：同位角相等，两直线平行

方法二 两条直线被第三条直线所截，如果错角相等，那么这两条直线平行

简称：错角相等，两直线平行

方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁角互补，那么这两条直线平行

简称：同旁角互补，两直线平行

E

几何符号语言：

A 3 B

∵ ∠3＝∠2

1

4

∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

∵ ∠1＝∠2

C D

2

∴ AB∥CD（错角相等，两直线平行）

∵ ∠4＋∠2＝°

F

∴ AB∥CD（同旁角互补，两直线平行）

请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。平行线

的判定是写角相等，然后写平行。

注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着在的联系，常由“位置

关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法

就是根据同位角或错角“相等”或同旁角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置

关系”。

⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有

交点（不相交），那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线

平行。

相关习题

如图，，平分∠，求证∥.

AD=CDACDABDCAB

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六、平行的常见模型

模型一“铅笔”模型

点在右侧，在、 部

PEFABCD

结论1：若∥，则∠+∠+∠=3 60°；

ABCDPAEPPFC

结论2：若∠+∠+∠= 360°，则∥.

PAEPPFCABCD

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“铅笔”模型

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模型二“猪蹄”模型（模型）

M

点在左侧，在、 部

PEFABCD

结论1：若∥，则∠=∠+∠；

ABCDPAEPCFP

结论2：若∠=∠+∠，则∥.

PAEPCFPABCD

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“猪蹄”模型

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模型三“臭脚”模型

“臭脚”模型

结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠；

ABCDPAEPCFPPCFPAEP

结论2：若∠=∠-∠或∠=∠-∠，则∥.

PAEPCFPPCFPAEPABCD

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点在右侧，在、 外部

PEFABCD

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模型四“骨折”模型

点在左侧，在、 外部

PEFABCD

·

“骨折”模型

结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠；

ABCDPCFPAEPPAEPCFP

结论2：若∠=∠-∠或∠=∠-∠，则∥.

PCFPAEPPAEPCFPABCD

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