完全平方公式讲解

（1）（p+1）=（p+1）（p+1）=_______； （m+2）=_______；

（2）（p-1）=（p-1）（p-1）= p-2p+1

（m-2）=（m-2）（m-2=m-4m+4

（m+2）=（m+2）（m+2）= m+4m+4

2．学生计算

第一部分 概念导入

得到公式，分析公式

两项异号，则2ab的符号为“－”．

［例1］计算

（4）几何解释

（2）公式特征

【学习方法指导】

左边：二项式的平方

（3）公式中字母可代表的含义

积累是最伟大的力量！

（2）之间只差一个符号。

（2）（p-1）

22

=（p-1）（p-1）=________； （m-2）=_______；

22

22

22

公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式．

右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和．

算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？

___ （a-b）=_____ =_____ ___ 【2】

22

22

(a-b)=a-2ab+b=a+2ab+b

222 22

即： （1）．结论：(a+b)

推广：计算（a+b）

2

3．得到结果：（1）（p+1）=（p+1）（p+1）=p+2p+1

22

表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）＝a＋2ab＋b

222

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．

（1）（3a＋2b） （2）（mn－n）

222

因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性．

完全平方公式讲解

图1－5

它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．

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4．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。（1）

1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a的运

22

=a·a，那么（a+b） 应该写成什么样的形式呢？（a+b）

2

点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把

注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这

图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b） ②a＋2ab＋b，由于这两个代数式

222

可．

［例3］计算

［例2］计算

＝m＋2mn＋n

22

＝－（5a＋2）

2

＝－25a－20a－4

2

解：（1）（－m－n）

2

＝－（25a＋20a＋4）

2

＝－（5a＋2）（5a＋2）

（2）（－5a－2）（5a＋2）

（2）（m－n）（m－n）（m＋n）

22

（1）（x－2y）－（x－y）（x＋y）

2

＝（－m）＋2·（－m）（－n）＋（－n）

22

（1）（－m－n） （2）（－5a－2）（5a＋2）

2

方”．

平方公式进行计算．

＝－4xy＋5y

2

用完全平方公式进行计算．

＝m－2m＋n

4224

n

＝x－4xy＋4y－x＋y

2222

＝（m－n）（m－n）

2222

＝（m－n）（m＋n）（m－n）

22

＝（m）－2·m·n＋（n）

222222

＝（x－4xy＋4y）－（x－y）

2222

（2）（m－n）（m－n）（m＋n）

22

积累是最伟大的力量！

点拨：（1）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简．（2）可先利用平方差公

小结：由（2）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利

点拨：（1）可直接用完全平方公式．由于－m与－n是同号，所以公式中的2ab取“＋”．（2）中两

注意：（2）中n的指数2与公式中b的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次

22

解：（1）（x－2y）－（x－y）（x＋y）

2

解：（1）（3a＋2b）＝（3a）＋2·（3a）·（2b）＋（2b）＝9a＋12ab＋4b

22222

式将m－n与m＋n相乘，再将所得结果m－n与中间括号里的m－n相乘，可利用完全平方公式．

2222

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个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“－”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全

说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也

A．3a+2b=5ab B．（a－1）=a÷a=a D．（a=a

＝2xy

解法二：

＝x＋xy＋－x＋xy－

22

＝（x＋xy＋）－（x－xy＋）

22

解法一：（x＋）－（x－）

运算．

随堂练习

一、选择题

yy

22

44

yy

22

44

yy

22

1．下列运算中，正确的是（ ）

［例4］计算：（x＋）－（x－）

22

yy

22

积累是最伟大的力量！

22

［例5］计算：（a－2b＋1）（a＋2b－1）

a

22

－b＝（a＋b）（a－b），将此题转化为平方差公式进行计算．

点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：

22632459

－2a+1 C．a）

的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成（a＋b）（a－b）的形式，利用平方差公式进行简化

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点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同．先找出两个括号中完全相同

关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化，要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变！

A．16 B．4 C．－4 D．4或－4

A．（x－y） B．（－x－y） C．－（x+y） D．－（x－y）

C．（－x+y）=x D．（－x－y）=x

A．（x+y）=x+y B．（x－y）=x

14.已知a+=5，分别求a+，（a－）

2222

222222

222222

－2xy+y－2xy+y

三、解答题

二、填空题

8．（_____－y）=x=a

12.

某正方形边长a cm，若把这个正方形的边长减小3 cm，则面积减少了多少？

13.已知x+y=1，求x+xy+y

11.利用公式计算：196

2

5．（－x－2y）=_____．

2

11

aa

22

1

a

2

积累是最伟大的力量！

－y

7．若a－b=3，ab=2，则a+b=______．

22

11

22

的值．

22

3．下列各式计算结果为2xy－x

22

－y的是（ ）

6．若（3x+4y）=（3x－4y）+B，则B=_____．

22

9．利用完全平方公式计算：（1）2008

22

； （2）78．

2．下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（ ）

4．若等式（x－4）=x

222

－8x+m成立，则m的值是（ ）

99

2222

1

－xy+______；（_____）－6ab+_____．

416

3

10．先化简，再求值：（2x－1）（x+2）－（x－2）

22

－（x+2），其中x=－．

1

3

的值

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15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加3米，󰀀则它的面积就增加39平方米，求这个正

21.当的值

a1,b1与与与(3a2b)(3a2b)(a2b)

22

方形花坛的边长．

18.利用公式计算：99

2

－1

积累是最伟大的力量！

17．已知：a＋b＝－5，ab＝－6，求a

22

＋b．

（3）102； （4）99.

（5）；（6）.

(ab1)(ab1)

(m2np)

19.计算 （1）； （2）；

(ab1)(ab1)(2x3)(2x3)

不需要用计算器，而且很快说出了答案．你知道他是怎么做的吗？

2

2

20.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加39,这个正方形的边长是多少?

cm

2

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20092008

2

16.小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本

20092007200920092

22

8．x；y

22222222

22

2222

+2（－x）·y+y=x

－2xy+y，所以C正确；

三、

则m

2

=16，从而得m=±4，故选D．

二、

一、

答案

1．B

3．D

2．C 点拨：（x+y）=x+2xy+y=x=（－x）

，，，，……

101213325437

6．48xy 点拨：B=（3x+4y）=9x+24xy+16y

24.已知是一个完全平方式,求M的值.

4xMxy9y

23.观察下列等式：

33

1

22

；a－4b；16b

24

9

积累是最伟大的力量！

2

󰀀=󰀀9x+󰀀24xy+16y+24xy－16y=48xy．

2222

－9

22.求证：当n为整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数

(2n1)(2n1)

4．D 点拨：因为（x－4）==x

22222

－8x+16，所以若（x－4）－8x+m成立，

请用含自然数n的等式表示这种规律为：________________.

5．x+4xy+4y 点拨：（－x－2y）=[－（x+2y）]=（x+2y）=x+4xy+4y

222 2222

．

7．13 点拨：因为a－b=3，ab=2，所以a+b=（a－b）+2ab=3+2×2=9+4=13．

2222

9．解：（1）2008=（2000+8）=2000+2×2000×8+8=4000000+32000+64=4032064；

2222

（－x－y），所以D也不正确，故选C．

2222

=（x+y）=x+2xy+y

25.2005年12月1日是星期四，请问：再过2005天的后一天是星期几?

（2）78－2×80×2+2

2222

=（80－2）=80=6400－320+4=6084．

22

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2222222

，所以A不正确；（x－y－2xy+y，所以B不正确；（－x+y）

222222

－（3x－4y）－（9x－24xy+16y）

点拨：注意公式的一些变形形式，例如：a+b=（a+b）+b=（a－b）+2ab，（a+b）=（a－b）+4ab，（a－b）

所以x）=×1=．

当x=－时，原式=3×（－）－10=－1－10=－11．

解：196①

2

所以（a－）

＝（200－4）②

2

22

=（a+b）

－4ab等等．

点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值．

14.因为a+=5，所以a－2·a·=5－2=23，

解：原正方形面积：a

2

16．解：知道，做法如下：

＝200－2×200×4＋4

22

现正方形面积：（a－3）

2

＝40000－1600＋16＝38416

111

1

222

+=（a+）

aaa

a

2

答：面积减少了（6a－9） cm．

2

11

22

1

=a+－2·a·=23－2=21．

aa

a

2

即x

22

+6x+9－x=39，6x=30，x=5．

答：这个正方形花坛的边长为5米．

积累是最伟大的力量！

=2x+3x－2－x+4x－4－x

222

－4x－4=3x－10．

可得出所求．计算的关键在完全平方式的展开．

13.解：因为x+y=1，所以（x+y）

222

=1，即x+2xy+y=1．

11111

2222

+xy+y=（x+2xy+y

22222

11

33

点拨：适当引进未知数，󰀀根据题中的相等关系得到方程，解方程即可．

面积减少了a－（a－3）＝a－（a－6a＋9）＝a－a＋6a－9＝（6a－9）（cm）

2222222

说明：Ⅰ．可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算．

15.解：设这个正方形花坛的边长为x米，依题意列方程得，（x+3）－x

22

=39，󰀀

10．解：（2x－1）（x+2）－（x－2）=2x+4x－x－2－（x+4x+4）

22222

－（x+2）－4x+4）－（x

11.思路：196接近整数200，故196＝200－4，则此题可化为（200－4）

2

，利用完全平方公式计算．

20092008

2

=

2009200822009200812009200822009200812

22

2009200820092008

22

=

2222

20092007200920092(200920081)(200920081)2

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12.思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积＝边长×边长”，表示出两个正方形的面积，用“大－小”即

22222222

－2ab，a

=.

2

2

2

2

解：（5）=；

（2）= =；

公式即可．

（6）=

(m2np)

当a＋b＝－5，ab＝－6时

解：a＋b＝（a＋b）－2ab

222

= （4）99=.

(1001)

= （3）102=；

(1002)

改写为 （4）可将99，利用两数差的平方公式进行简便运算.

(1001)

改写为 （3）可将102,利用两数和的平方公式进行简便运算.

(1002)

解：（1）=；

计算，本题可将看作是一项.

20092008

2

1

==．

2

220092008

2

（2）利用加法交换律将原式变形为,然后运用平方差公式计算.

(ab)

积累是最伟大的力量！

注意：Ⅰ．不要分别求出a和b，运算繁琐．

原式＝（－5）－2×（－6）＝25＋12＝37．

2

m4mn4n2mp4npp

222

和，加上或减去这两个数乘积的2倍，在计算时不要发生：或这样的错

(ab)ab(ab)ab

18.点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案．

(ab1)(ab1)

(ab)1ab1

222

19.【点拨】（1）符合平方差公式的特征，只要将ab看成是a，1看成是b来计算.

先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算.

2

2

20. 【点拨】如果设原正方形的边长为xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解.

Ⅱ．若已知a＋b（或a－b），ab，a＋b中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者．

22

(32x)(32x)

误；3.当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,用平方差公式或完全平方公式.

2

1002100111000020019801

2



点拨：由20092007，20092009，运用完全平方公式化简即可．

2222

=（20092008－1）=（20092008+1）

(2x3)(2x3)(32x)(32x)

(3)(2x)94x

222

2

[(m2n)p](m2n)2(m2n)pp

222

2

10021002210000400410404

22



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17.点拨：同时存在a＋b，ab，a

22222

＋b的公式为完全平方公式（a＋b）＝a＋2ab＋b，将题目中所给条件分别看作整体，代入

否则不能用；2.完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方

【点拨】（5,6）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式

(ab1)(ab1)[(ab)1][(ab)1](ab)1a2abb1

222

【点评】1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互为相反数,这样才可以用平方差公式，

222222

天.

=8（-1）=-4.

=.

=，

=；

∴

即，解得 x=5.

解：

当

a1,b1与与

解：2005=

证明:=

(2n1)(2n1)

流一下.答案为:为整数).

解：根据=得: .

(2x3y)4x12xy9y

答:这个正方形的边长是5.

cm

22.【点拨】运用完全平方公式将化简，看所得的结果是否是8整数倍.

(2n1)(2n1)

解：设原正方形的边长为xcm,则

(x3)x39

M12

答:的值是±12.

M

2

积累是最伟大的力量！

又∵n为整数,∴8n也为整数且是8的倍数.

(2x3y)

2

,由完全平方公式就可以求出M.

显然2005年12月1日是星期四，再过2005天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日.

25.【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过2005天的后一天是星期几，可以想办法先求出2005是7的多少倍数还余几

x6x9x39

22

24.【点拨】已知条件是一个二次三项式,且是一个完全平方式,项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是

9a4ba4ab4b8a4ab8b

222222

21. 【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将a、b的值代入计算出结果.

(7286)(6286)772

2

4n4n14n4n18n

22

22

n(n1)2n1(n1与n

22

22

441(441)

nnnn

22

222

M12

(32)(32)(2)94(44)

ababababaabb

22222

(72863)(7286)2(7286)39



22

22

(3a2b)(3a2b)(a2b)8a4ab8b

222

2



4(1)18

2

22

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23.【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律.同学们相互研讨交

x与y

22