优选法

更新时间:2023-04-19 04:24:29 阅读：评论：0

蘑菇煲-excel条形图

2023年4月19日发(作者：搬家吉语)
优选试验设计

优选法
在生产和科学实验中，人们为了达到优质、高产、低消耗的目
的，需要对有关因素（如配方、配比、工艺操作条件等）的最佳点
进行选择，所有这些选择点的问题，都称之为优选问题。
所谓优选法就是根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，
合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳点的一类
科学方法。优选法可以解决那些试验指标与因素间不能用数学形式
表达，或虽有表达式但很复杂的那些问题。
1单因素优选法
常假定f(x)是定义区间（a,b）的单峰函数，但f(x)的表达式
是并不知道的，只有从试验中才能得出在某一点x的数值f(x)。应
00
用单因素优选法，就是用尽量少的试验次数来确定f(x)的最大值的
近似位置。这里f(x)指的是试验结果，区间（a,b）表示的是试验
因素的取值范围。
1.1来回调试方法
优选法来源于来回调试法，如图1，选取一点x做试验得
1
y=f(x),再取一点x做试验得y=f(x)，假定x>x，如果y>y,则
112222121
最大值肯定不在区间（a,x）内，因此只需考虑在（x,b）内求最大
11
值的问题。再在（x,b）内取一点x，做试验得y=f(x)，如果
1333
x>x,而y,则去掉（x,b），再在（x,x）中取一点x,……，不
32323134
断做下去，通过来回调试，范围越缩越小，总可以找f(x)的最大值。

这种方法取点是相当任意的，只要取在上次剩下的范围内就行
了；那么怎样取x,x,……，可以最快地接近客观上存在的最高点
12
呢？也就是怎样安排试验点的方法是最好的？下面介绍几种减少试
验次数的试验方法。

1.2黄金分割法（0.618法）
所谓黄金分割指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部
分对于全部之比等于另一部分对于该部分之比，这个比例就是
=0.6180339887……，它的三位有效近似值就是0.618，所以黄金分
割法又称为0.618法。
黄金分割法（如图2），就是将第一个试验点x安排在试验范
1
围内的0.618处（距左端点a），即:x1=a+(b-a)0.618……(1)得
到试验结果y=f（x）；再在x的对称点x，即：x=b-(ba)
11122
0.618=a+(b-x)=a+(b-a)0.3海盐南北湖 82……（2）
1

做一次试验，得到试验结果y=f(x)；比较结果y=f(x)及
2211
y=f(x)哪个大，如果f(x)大，就去掉（a,x）,如图2所示，在留
2212
下的（x,b）中已有了一个试验点x，然后再用以上的求对称点的
21
方法做下去，一直做到达到要求为止。
在黄金分割法中，不论是哪一步，所有相互比较的两个试验点
都在所在区间的两个黄金分割点上，即0.618和0.382处，而且这
两个点一定是相互对称的。
1.3分数法
在介绍分数法之前，引进如下数列：
F=1,F=1,Fn=F+F(n≥2)
01n-1n-2
该数列称为菲波那契数列，即为：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……
我们都知道，任何小数都可以表示为分数，则0.618也可近似
地用分数来表示，即：
分数法适用于试验点只能取整数的情况。例如在配制某清洗液
时，要优选某材料的加入量，其加入量用150ml的量杯来计算，该
量杯的量程分为15格，每格代表10ml，由于量杯是锥形的，所以

每格的高度不等，很难量出几毫升或几点几毫升，因此不便用
0.618法。这时，可将试验范围定为0~130ml，中间正好有13格，
就以8/13代替0.618。第一次试验点在处，即80ml处，第二次试
验点选在的对称点处，即50ml处，然后来回调试便可找到满意的结
果。
在使用分数法进行单因素优选时，应根据试验区间选择合适的
分数，所选择的分数不同，试验次数也不一样。如表1所示，虽然
试验范围划分的份数随分数的分母增加的很快，但相邻两分数的试
验次数只增加1。
表1 分数法试验
分数Fn/Fn+1 第一试验点位等分试验范围试验次数
2/3 2/3,1/3 3 2
3/5 3/5,2/5 5 3
5/8 5/8,3/8 8 4
8/13 8/13,5/13 13 5
13/21 13/21,8/21 21 6
21/34 21/34,13/34 34 7
34/55 34/55,21/34 55 8

有时试验范围中的份数不够分数中的分母数，例如10份，这时，
可以有两种方法来解决，一种是分析一下能否缩短试验范围，如能
缩短两份，则可用，如果不能缩短，就可用第二种方法，即添两个
数，凑足13份，应用。
在受条件限制只能做几次试验的情况下，采用分数法较好。
1.4对分法
前面介绍的几种方法都是先做两个试验，在通过比较，找出最
好点所在的倾向性来不断缩小试验范围，最后找到最佳点，但不是
所有的问题都要先做两点，有时可以只做一个试验。例如，称量质
量为20~60g某种样品时，第一次砝码的质量为40g，如果砝码偏轻，
则可判断样品的质量为40~60g，于是第二次砝码的质量为50g，如
果砝码又偏轻了，则可判断样品的质量为50~60g，接下来砝码的质
量应为55g，如此称下去，直到天平平衡为准。称量过程如图3所
示。
置份数Fn+1

这个称量过程中就使用了对分法，每个试验点的位置都在试验
区间的中点，每做一次试验，试验区间长度就缩短一半，可见对分
法不仅分法简单，而且能很快地逼近最好点。但不是所有的问题都
能用对分法，只有符合以下两个条件的时候，才能用对分法。
①要有一个标准（或具体指标），对分法每次只有一个试验，
如果没有一个标准，就无法鉴别试验结果是好是坏，在上述例子中，
天平是否平衡就是一个标准；
②要预知该因素对指标的影响规律，也就是说，能够从一个试
验的结果直接分析出该因素的值是取大了还是取小了，如果没有这
一条件就不能确定舍去哪段，保留哪段，也就无从下手做下一次试
验。对于上例，可以根据天平倾斜的方向来判断是砝码重，还是样
品重，进而可以判断样品的质量范围，即试验区间。
1.5抛物线法
不管是0.618法，还是分数法，都只是比较两个试验结果的好
坏，而不考虑试验的实际值，即目标函数值。而抛物线法是根据已
得的三个试验数据，找到这三个点的抛物线方程，然后求出该抛物
线的极大值，作为下次试验的根据。具体方法如下：
①在三个试验点x,x,x，且x，分别得试验值y,y,y,根据
123123123
Lagrange插值法可以得到一个二次函数，即：
y=y+y+y……（3）
123
此处，当x=x时，y=y（i=1，2，3）。该函数的图形是一条抛物线。
ii
②设上述二次函数在x4取得最大值，这时
x4=……（4）
③在x=x处做试验，得试验结果y。如果假定y,y,y,y中的最大
441234
值是由的左右两点，将这三点记为，此处,若在处的函数值分别为,
则根据这三点又可得到一条抛物线方程，如此继续下去，直到找到
函数的极大点（或它的充分邻近的一个点）被找到为止。

粗略地说，如果穷举法（在每个试验点上都做试验）需要做n
次试验，对于同样的效果，黄金分割法只要数量级lgn次就可以达
到。抛物线法效果更好些，只要数量级lg(lgn)次，原因就在于黄
金分割法没有较多地利用函数的性质，做了两次试验，比一比大小，
就把它丢掉了，抛物线法则对试验结果进行了数量方面的分析。
抛物线法常常用在0.618法或分数法取得一些数据的情况，这
时能收到更好的效果。此外，还建议做完了0.618法或分数法的试
验后，用最后三个数据按抛物线法求出x，并计算这个抛物线在点
4
x=x处的数值，预先估计一下在点x处的试验结果，然后将这个数
44
值与已经试得的最佳值做比较，以此作为是否在点x处再做一次试
4
验的依据。
例题：在测定某离心泵效率与流量Q之间关系曲线的试验中，
已经测得三组数据如表2所示，如何利用抛物线法尽快地找到最高
效率点？
表2 离心泵效率与流量Q试验数据
流量Q/(L/s) 8 20 32
效率/% 50 75 70
解：首先根据这三组数据，确定抛物线的极值点，即下一试验
点的位置。为了表示方便，流量用x表示，效率用y表示，于是
x=
4
==24
所以，接下来的试验应在流量为24L/s时进行。试验表明，在该处
离心泵效率=78%，该效率已经非常理想了，试验一次成功。
在抛物线法中，主要是确定抛物线方程和抛物线的最大值，这
些都可以利用Excel来求解。以例题为例，先在Excel中画出散点
图，然后选择菜单【图表】，打开【添加趋势线】对话框，在“类
型”标签中选择“多项式”类型，阶数为2，在“选项”标签中选
中“显示公式”，确定后即可得到如图4所示的抛物线和方程。然
后利用Excel中的“规划求解”工具求出该抛物线方程的最大值，
即为公式（4）中的x。
4

1.6分批试验法
在生产和科学实验中，为加速试验的进行，常常采用一批同时
做几个试验的方法，即分批试验法。分批试验法可分为分批试验法
和比例分割分批试验法两种。
1.6.1均分法
假设第一批做2n个试验（n为任意正整数），先把试验范围等
分为（2n+1）段，在2n个分点上作第一批试验，比较结果，留下较
好的点，及其左右一段。然后把这两段都等分为（n+1）段，在分点
处做第二批试验（共2n个试验），这样不断的做下去，就能找到最
佳点。如图5表明了n=2的情形。

1.6.2比例分割法
假设每一批做2n+1个试验。
第一步，把试验范围划分为2n+2段，相邻两段长度为a和b
（a>b）,这里有两种排法，第一种自左至右先排短段，后排长段；
另一种是先长后短。在（2n+1）个分点上做第一批试验，比较结果，
在好试验点左右留下一长一短两段，试验范围变成a+b。

第二步，把a分成2n+2段，相邻两段为a1,b1(a1>b1),且
a1=b1，即第一步中短的一段在第二步变成长段。这样不断的做下去，
就能找到最佳点。
图6表示成人脑筋急转弯了n=2的情形，每批做5个试验。创新发展理念

注意，这里长短段的比例不是任意的，它与每批试验次数有关。
设,则可以证明……（5）把n值代入就能算出两段的比例。
例如，当n=1时，即每批做3个试验

若实验范围为（0，1），则a=0.366,b=0.134,于是第一批试验
点为0.134，0.500，0.634或0.366，0.500，0.866；第二批试验
点由a1=b=0.134,b1=0.3660.134=0.049推出。
又如，当n=2时，即每批作五个试验，，当试验范围为（0，1）
时，a=0.264,b=0.069.故第一批试验点为0.069，0.333，0.402，
0.666，0.735或0.264，0.333，0.597，0.666，0.930；第二批试
验点由a1=b=0.069,b1=0.2640.069=0.018推出。
由上面计算可乔布斯死看出，试验范围为（0，1）时，a=。而且当
n=0时，即每次作一次试验时，，这就是黄金分割法，所以比例分
割法是黄金分割法的推广。表3为了试验范围为（0，1）时每批奇
数个试验的安排情况。
表3 试验范围为（0，1）时每批奇数个试验的安排情况
n 每批试验次数（2n+1）第一批试验点
1 0.366 3 0.134，0.500，0.634或
2 0.264 5 0.069，0.333，0.402，
0.366，0.500，0.866

3 0.207 7 0.043，0.250，0.293，
4 0.171 9 0.171，0.200，0.371，
0.666，0.735或0.264，
0.333，0.597，0.666，0.930
0.500，0.543，0.750，0.793
或0.207，0.250，0.457，
0.500，0.707，0.750，0.957
0.400，0.571，0.600，
0.771，0.800，0.971或
0.029，0.200，0.229，
0.400，0.429，0.600，
0.629，0.800，0.829

1.7逐步提高法（爬山法）
实践中往往会遇到这样的情况，即某些可变因素不允许大幅度
调整。这种情况下，用爬上罚较好。具体方法如下：
先找一个起点，在a点做试验后向该因素的减少方向找一点b,
做试验。如果好，就继日本美女动漫续减少；如果不好，就往增加的方向找一点
c，做试验，如果c点好就继续增加，这样一步一步地提高。如爬到
某点e，再增加时反而坏了，则e就是该因素的最好点。这就是单
因素问题的爬山法。
爬山法的效果和快慢与起点关系很大，起点选得好可以省好多
次试验。所以对爬山法来说试验范围的正确与否很重要。此外，每
步间隔的大小，对试验效果关系也很大。在实践中往往采取“两头
小，中间大”的办法，也就是说日记四百字，先在各个方向上用小步试探一下，
找出有利于寻找目标的方向，当方向确定后，再根据具体情况跨大
步，到快接近最好点时再改为小步。如果由于估计不正确，大步跨
过最佳点，这时可退回一步，在这一步内改用小步进行。一般来说，
越接近最佳点的时候，试验指标随因素的变化越缓慢。
1.8多峰情况
前面介绍的方法只2适用于“单峰”情况，遇到“多峰”的情
况怎么办？可以采用下述两种办法。

❶先不管它是“单峰”还是“多峰”，就用上面介绍的方法做
下去，找到一个“峰”后，如果达到生产要求，就先按它生产，以
后再找其他更高的“峰”。
❷先做一批分布得比较均匀、疏松的试验，看它是否有“多峰”
现象。如果有，则在每个可能出现“高峰”的范围内做试验，把这
些“峰”找出来。这时，第一批试验点最好依以下的比例划分：：
=0.618：0.382，如图7所示

则留下的试验区间成如图8所示的形式：

接下去便可用0.618法了。

2双因素优选法
双因素优选问题，就是要迅速找到二元函数z=f(x,y)的最大值，
及其对应的（x,y）最大值，及其对应的（x,y）点的问题，这里
x,y代表的是双因素。假定处理的是单峰问题，也就是把x,y平面
作为水平面，试验结果z看成这一点的高度，这样的图形就像一座
山，双因素优选法的几何意义是找出该山峰的最高点。如果在水平
面上画出该山峰的等高线（z值相等的点构成的曲线在x-y上的投
影），如图9所示，最里边的一圈等高线即为最佳点。

下面介绍几种常用的双因素优选法。
对开法
在直角坐标系中画出一矩形代表优选范围：a
在中线x=(a+b)/2上用单因素法找最大值，设最大值在p点。
再在中线y=(c+d)/2上用单因素法找最大值，设为Q点。比较P和
Q的结果，如果Q大，去掉x<(a+b)/2部分，否则去掉另一半。再
用同样的方法来处理余下的半个矩形，不断地去其一半，逐步地得
到所需要的结果。优选过程如图10所示。

需要指出的是，如果P，Q两点的试验结果相等（或无法辨认好
坏），这说明P和Q点位于同一条等高线上，所以可以将图上的下
半块和左半块都去掉，仅留下第一象限。所以当两点试验数据的可
分辨性十分接近时，可直接去掉试验范围的3/4。
例题：某化工厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇水溶
液萃取出来的。试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，使

分离出的磺酸最多。根据经验，乙醇水溶液的浓度变化范围为
50%~90%（体积百分比），用量变化范围为30%~70%（质量百分比）。
解：用对折法优选，如图11，先将乙醇用量固定在50%，用
0.618法，求得A点较好，即浓度为80%；而后上下对折，将浓度固
定在70%，用0.618法优选，结果B点较好，如图11（a）。比较A
点与B点的试验结果，A点比B点好，于是丢掉下半部分。在剩下
的范围内再上下对折，将浓度固定于80%，对用量进行优选，结果
还是A点最好，如图11（b）。于是A点即为所求。即乙醇水溶液
浓度为80%，用量为50%。

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