五心

三角形五心

三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。三条中线的交点是重心，三边垂直平分

线的交点是外心，三条内角平分线的交点为内心，三角形三条高线的交点为垂心。重心、外心、内心、

垂心只成长计划 有一个，但旁心有三个。

与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁

心。

重心

定理：设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO=2OD。重心坐标为三顶点坐标平均值（在平面

直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]）。三

条中线相交的点叫做重心。

外心

三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。

外心到三顶点距离相等。

过三角形各顶点的圆叫做三角形的外猕猴桃品种 接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的

内接三角形。

三角形有且只有一个外接圆。

内心

三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。

与三角形各边都相切少年的荣耀读后感 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边

距离相等。这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形有且只有一个内切圆。

垂心

三角形三边上的三条高或其延长线交于一点，称为三角形垂心。

锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外。

旁心

与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做教师寄语高中 三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁

心。

三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。旁心到三角形一

边及其他两边延长线的距离相等。

三角形有三个旁切圆，三个旁心。这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。

五心的性质

三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：

（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；

（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；

（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；

（4）三角形recruiting 的内心、旁心到三边距离相等；

（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；

（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；

（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．

（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.

下面是更为详细的性质：

垂心性质

三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性质：设△ABC的三条高为

AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足,垂心为H。

性质1垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

性质2△ABC中,有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且

AHHD=BHHE=CHHF。

性质3H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。

性质4△ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆。

性质5在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/APtanB+

AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。

性质6三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

性质7设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

性质8锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。

性质9锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)

中，以垂足三角形的周长最七年级上册历史知识点 短。

内心性质

三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，即三角形三个角平分线的交点。内心有下列优美的性

质：

性质1设I为△ABC的内一点,则I海带汤怎么做好吃 为其内心的必要不充分条件是：到△ABC三边的距离相等。

性质2设I为△ABC的内心，则∠BIC=90+1/2∠A，类似地还有两式；反之亦然。

性质3设I为△ABC内一点，AI所在直线交△ABC的外接圆于D。I为△ABC内心的充要条件是

ID=DB=DC。

性质4设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F；内切

圆半径为r，令p=(a+b+c)，则(1)S△ABC=pr；(2)r=2S△ABC/a+b+c；(3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-

b,CE=CD=p-c；(4)abcr=pAIBICI。

性质5三角形一内角平分线与其外接身份证拍照 圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若I

为△ABC的∠A平分线AD(D在△ABC的外接圆上)上的点，且DI=DB，则I为△ABC的内心。

性质6设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c读书的成语 ，∠A的平分线交BC于K,交△ABC的外接圆于D，则

。

外心性质

三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心.即三角形三边中垂线的交点。外心有如下一系列优美性

质：

性质1三角形的外心到三顶点的距离相等，反之亦然。

性质2设O为△ABC的外心，则∠BOC=2∠A，或∠BOC=360-2∠A(还有两式)。

性质3设三角形的三条边长，外接圆的半径、面积分别为a、b、c,R、S△，则R=abc/4S△。

性质4过△ABC的外心O任作一直线与边AB、AC(或延长线)分别相交于P、Q两点，则

AB/APsin2B+AC/AQsin2C=sin2A+sin2B+sin2C。

性质5锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。

重心性质

性质1设G为△ABC的重心，△ABC内的点Q在边BC、CA、AB边上的射影分别为D、E、F，则当Q

与G重合时QDQEQF最大。

性质2设G为△ABC的重心，AG、BG、CG的延长线交△ABC的三边于D、E、F,则S

△AGF

=S

△BGD

=S

△CGE

。

性质3设G为△ABC的重心，则S

△ABG

=S

△BCG

=S

△ACG

=S

△ABC

。

旁心性质

1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

2、每个三角形都有三个旁心。

3、旁心到三边的距离相等。

记忆方法

三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．

重心记忆口诀

三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，

重心分割中线段，数段鹦鹉英文 之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．

外心记忆口诀

三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．

此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．

垂心记忆口诀

三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，

直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.

内心记忆口诀

三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；

点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．

五心性质别记混，做起题来真是好。