西北工业大学研究生

西北工业大学研究生课程考试答题纸

矩阵论(M2009A)2010-01-05

一、(18分)填空：

1．设

A

为3阶实方阵，

x

1

,x

2

,x

3

为数域

R

上的线性空间

V

9

中的元素，线

性变换

T

满足

(T(x

1

),T(x

2

),T(x

3

))(x

1

,x

2

,x

3

)A

，在什么条件下，元素组

）

T(x

1

),T(x

2

),T(x

3

)

线性无关．（

x

1

,x

2

,x

3

线性无关，且

A可逆．

2．已知

P

是正交投影矩阵，且

PO

（零矩阵），则P

2

．



（1）



1



13

3.已知

A



，问矩阵幂级数



kA

k

收敛还是发散？（收敛）



8



610



k1

其原因是（



(A)

7

1r

）．8

4．设

T

为Givens矩阵，创意制作

H

为Houholder矩阵，

O

为零矩阵，问



T



O汤显祖简介

O



H



是否有可能是Houholder矩阵．（有可能）

1



323



0530

5．矩阵

A



0640



002

0



01



11

1



1



0



2





．

0



的Jordan标准形为

J

2



0



21





1



2









O



O2A





6．设

A

mn

的M-P逆为

A



，

O

为零矩阵，则







AO





(12)A

A





．

O

二、(10分)设



a

是

C

n

上的已知向量范数，向量

z(z

1

,,z

n

)

T

C

n

，对任意

向量

x(x

1

,,x

n

)

T

C

n

，定义实值函数

x

其中

x

H

z

表示复数

x

H

z

的模，证明：

1．

x

b

是

C

n

上的向量范数；

2．若取x

a

b

max{

x

H

zz

a

0zC

n

}

，

，则

x

b

x



（向量的



-范数）．

x

1

（向量的1-范数）

证1．任意

z(z

1

,,z

n

)

T

C

n

．

①

x0

：x

b

max

0

H

zz

a

max

x

H

xx

a

0

0

z

a

0

x0

：x

b

max

x

H

zz

a



②略．③设

yC

n

，则有

xy

b

max

(xy)

Hz

z

a

max

x

H

zz

a

max

y

H

zz

a

x

b

y

b

故

x

b

是

C

n

上的向量范数．

2．因为

xz

x

H

zz

1

H



xz

i1

n

ii





x

i

z

i

(maxx

i

)



z

i

x

i1

i

i1

nn



z

1

，则有

所以x

b

max{

0zC

n

}x



；设

x

k

maxx

i

x

i



x

H

e

k

x

k

x



e

k

1



x

b

max{

x

H

zz

1

0zC

n

}

x

H

e

k

ek

1

x



故x

b

x



．

1



21



2



3



，

b(t)e

t



2



，

x(0)



2



．

212

三、(15分)已知

A







12





1



4





5



1.求

e

；

At

2.用矩阵函数方法求微分方程

d

x(t)Ax(t)b(t)

满足初始条件

x(0)

的解.

dt

解1．



IA(



1)

3四季青中药

，

m(



)(



1)

2

f(



)e



t

m(



)g(



)(ab



)







t

f



(



)te[m(



)g(



)]



b



tt





abe



a(1t)e







tt





bte



bte

e

At

1



1



11



te

t



2



e

t

[It(AI)]e

t



122





1



11





1





3



2







2





32t



，

x(t)e

At





2



t



2





e

t



22t



2

2．

e

A



b(



)





















4







5









4









54t







0

0

四、(10分)用Houholder变换求矩阵

A



0



1

2

1

2

2

2

0

13

0



0





的

QR

分解．

6





4



0

1

0

0

0

0

1

0

1



0





0





0



0



1



0



0



0

0

1



，

H

0

I2uu

T





解(1)

0





，

u



0



0

2



0





11

1

1

0

H

0

A



0



0

2

1

2

2

3

0

12

4



100

0





，

A

1





216





6







220



0

22



1



1

1



，

u

1



1



，

HI2uu

T



1



2



212

(2)

1





1



3



3





1





2





1





22

4



32



H

1

A

1





012





04





0



1

令

S



H

0

，则有



H

1





0



1



1



0T

QSH

0







H

1



3

0



3

221



34



12



32



122



4



，

R



，

AQR



212



12



000



4



101

906





（

i1

）

07i1



1020



i

9

五、(10分)用Gerschgorin定理隔离矩阵

A



i



2

的特征值．（要求画图表示）

解①

A

的4个盖尔圆为

G

1

:zi2

；

G

2

:z915

；

G

3

:z7i2

；

G

4

:z203

易见

G

2

包含着

G

1

,G

3

,G

4

．

G2

G1

G4



G1



G2



G4

G3



G3

301



902





07i1



3020



1



i



13

3

1



，

BDAD



②

D



i1





1

2



G

3



：中心距为8，半径和为6

G1



G

2



：中心距为

82

，半径和为9

G1

G

2



：中心距为

130

，半径和为7

G寂寞的光棍 3



G

2



：中心距为11，半径和为10

G4

B

的4个孤立盖尔圆为



:zi4

；

G

2



:z95

；

G

3



:z7i2

；

G

4



:z205

G1

其中各含

A

的一个特征值．

1



133



1



i1030



0.3



2.7



4.5901.8

1



，

BDAD



注1：可取

D





i1



07i1



2



1



20



163



21030



1

i



0.25



2.25

1



，

BDAD



注2：可取

D



i1





1

2

401



5

901.5





3.75

07i1

2



4020

6



0



1



01201







六、(15分)已知

A

的M-P逆为

A



11111



，

b



2



．







21021







0





1



1.求矩阵

A

；

2.用广义逆矩阵方法判断线性方程组

Axb

是否有解；

3.求线性方程组

Axb

的极小范数解，或者极小范数最小二乘解

x

0

.

（要求指出所求的是哪种解）



10110



（

c1,c2

）

01201

AFG

：解1.

A







，

12





00





000

行



62



2



3



01







10110





1



1



303





F



11



,

F



4



；

G



,

G



2



14

6



521







01201





21

62









23





8416



9



63



1







26

A(A)GF

810



84



8416







963



6





，



4

2-3．

x

0

A



b



AAbAx

0

b

，

Axb

有解；







2



故

x

0

是

Axb

的极小范数解．

七、(15分)已知多项式空间

P

3

[t]

的子空间

Wspan{f

1

(t),f

2

(t),f

3

(t),f

4

(t)}

，

其中

f

1

(t)1t

3

，

f

2

(t)tt

2

，

f

3

(t)1t

2

，

f

4

(t)tt

3

．

1．求子空间

W

的一个基；

2．对于

W

中的多项式

f(t)a

0

a

1

ta

2

t

2

a

3

t

3

，定义线性变换

T[f(t)](a

0

a

1

a

2

a

3

)a

1

t(a

2

a

3

)t

2

(a

0

2a

1

2a

2

)t

3

求

W

的一个基，使

T

在该基下的矩阵为对角矩阵．

解1．子空间

W

的一个基为

f

1

(t)1t

3

，

f

2

(t)tt

2

，

f

3

(t)1t

2

．

2．计算基象组：

T(f

1

)t

2

t

3

f

1

f

3

，

T(f

2

)tt

2

f

2

，

T(f

3

)t

2

t

3

f

1

f

3



101



．

010

设

T(f

1

,f

2

,f

3

)(f

1

,f

2

,f

3

)A

，则

A







1





10



0



101





，

P



010



1

求

P

使得

P

1

AP



：











2



1





10

由

(g

1

,g

2

,g

3

)(f

1

,f

2

,f

3

)P

可得

g

1

f

1

f

3

2t

2

t

3

，

g

2

f

2

tt

2

，

g

3

f

1

f

3

t

2

t

3

T

在基

g

1

,g

2

,g

3

下的矩阵为



．

注1：选取

W

的基为

f

1

(t),f

2

(t),f

4

(t)

时，有

0



00



0



200





，







1



，

P



111



A



111





2



2





10



101



注2：选取

W

的基为

f

2

(t),f辨认的近义词

3

(t),f

4

(t)

时，有



111



0



111



，







1



，

P



200



A



000





2





012





101



注3：选取

W

的基为

f

1

(t),f

3

(t),f

4

(t)

时，有

1



11



0



111



，







1



，

P



111



A



111





01



2



10





0



0

八、(7分)设线性空间

V

4

的一个基为

x

1

,x

2

,x

3

,x

4

，线性变换

T

在该基下的矩阵



AB

为



，其中

A,B,C

都是2阶方阵，

O

是2阶零矩阵，证明：





OC



1．子空间

V

1

span{x

1

,x

2

}

是

T

的不变子空间；

2．若

BO

，则子空间

V

2

span{x

3

,x

4

}

不是

T

的不变子空间．

a

证1．记

A

11



a

21

a

12





AB

，由可得

T(x,x,x,x)(x,x,x,x)

12341234





a

22





OC

T(x

1

)a

11

x

1

a

21

x

2

V

1

，

T(x

2

)a

12

x

1

a

22

x

2

V

1

任意

xV

1

，存在

k

1

,k

2

使得

xk

1

x

1

k

2

x

2

，于是有

T(x)k

1

T(x

1

)k

2

淘宝和天猫的区别 T(x

2

)V

1

故

V

1

span{x

1

,x

2

}

是

T

的不变子空间．

b

2．记

B

11



b

21

b

12



c11

，

C



cb

22





21

c

12

，不妨设

b

11

0

，因为



c

22

x

3

V

2

，

T(x

3

)b

11

x

1

b

21

x

2

c

11

x

3

c

21

x

4

V

2

（反证法）

所以

V

2

span{x

3

,x

4

}

不是

T

的不变子空间．