斜渐近线

现代经济信息

渐近线的定义及求解方法总结

高云峰长春大学旅游学院基础部

摘要：本文对三种渐近线的定义和求解方法进行了总结，并通过几个例题对怎样求解渐近线进行了说明，指出了一些注意事项，给出了一些解题技巧。

关键词：水平渐近线；垂直渐近线；斜渐近线

中图分类号：O151.1文献识别码：A文章编号：1001-828X(2019)031-0466-01

渐近线是高等数学的重要概念，求解渐近线是大学生学习高等

数学必须掌握的基本解题技能，也是考研数学的基本要求。渐近线

和零点、极值点、拐欢声笑语的反义词 点等确定了函数的基本形态，函数这些问题的求解对我们描绘函数图像确定了基础。

时要从x=

x

0的左右俩个方向考虑，求水平渐近线和斜渐近线时要

从x

→-

和x

→+俩个方向考虑；

(2)如果函数f(x)当x

→-

时求解出存在水平渐近线，那么这个方向就一定不存在斜渐近线，就不用求解第三步了。

一、渐近线的定义

定义1如果曲线y=f(x)上一动点延曲线无限远离原点时，该动

点与直线L的距离趋于0，则称直线L为曲线y=f(x)的渐近线

[1]。

渐近线共三种，分别为垂直渐近线(也称铅直渐近线)、水平渐近线、斜渐近线，下面分别给出它们的定义。

1.垂直渐近线：如果渐近线是平行于y轴的或y轴，则称此渐近线为手工创意小制作 垂直渐近线；

2.水平渐近线：如果渐近线是平行于x轴的或x轴，则称此渐近线为垂直渐近线；

3.斜渐近线：如果渐近线既不是垂直渐近线，也不是水平渐近线，则称此渐近线为斜渐近线。

三、注意事项及例题解析

例1求函数f(x)跟单员 =

的渐近线。

解：容易看出函数有两个间断点，炒土豆丝图片 分别为x=1和x=2，求函数

f(x)当x

→2

时的极限，如果有

垂直渐近线x=2。

例2(2005年考研数学一真题)求曲线y=

解：先求函数

=

≠

0，且

斜渐近线y=

当x→

的斜渐近线方程。

=

=送礼的学问 -，则函数有

f(x)=

=，则函数有

时的极限，如果有

=

[

f

(

x小平故居

)

-kx]=

。

例3(2014年考研数学一真题)下列曲线有渐近线的是()

A韭菜怎么种植 、y=x+sinxB、y=

x

2+sinxC、y=x+sinx

D、y=

x

2+sinx

解：A、B选项没有间断点，C、D选制定旅游计划 项有间断点，但

f

(

x

)

≠

，故四个选项中没有垂直渐近线；分别对四个选项求解

f

(

x

)都不存在，故四个选项中没有水平渐近线；下面分别对四个

选项求解项中，

，B选项与D选项此极限不存在，A选项与C选

，而其中A选项

[

f

(

x

)-

kx

]不存在，C选

二、渐近线曹操之死 求解方法

上面我们给出了三种渐近线的定义，为学生解题方便，我们对渐近线求解方法进行总结，大致分为三个步骤。

(1)首先找到函数f(x)的全部间断点，如果在间断点x=

x

0

有

f

(

x

)=

，则函数有垂直渐近线x=

x

0；

(2)求函数f(x)当x

→

时的极限，如果有

水平渐近线y=a；

(3)求函数

当x→

时的极限，如果有

=

k≠

0，且

f

(

x

)=

a，则函数有

项

[

f

(

x

)-

kx

]=0=

b

，故函数有斜渐近线y=kx+b=x。此题答案为C

选项。

参考文献：

[1]龚德恩,范培华.微积分[M].北京:高等教育出版社,2008:139-140.

[

f

(

x

)

-kx

]=b，则函数有斜渐近线y=kx+b。

注：(1)求解以上三种渐近线都要求单侧极限，求垂直渐近线

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