正三角形

利用正（余）弦定理判断三角形形状

判定三角形形状通常有两种途径：

一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：

a2RsinA

，

abc2abcosC

等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的元宵节菜谱 三角等式所体

现的内角关系.如：sinA＝工作面试自我介绍 sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A+B＝

2

2

2南京明孝陵



等；2

ab

2

c

2

a2

,cosA

二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如

sinA

等，通过

2R2b梦见鞭炮 c

代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.

例：在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a,b,c，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且

2cosAsinB=sinC，试判断△ABC的形状.

思路一：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和

边巧妙地结合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系.

方法一：由正弦定理得

sinCcsinCc

，



，∵2cosAsinB=sinC，

cosA

sinBb

2sinB2b

b

2

c

2

a2

由余弦定理的推论得

cosA

2bc

b

2

c

2

a

2

c

2222



∴，化简得

bcac

，∴a=b；

2bc2b

又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab，∴

(ab)c3ab

，

化简得

4bc3b

，∴b=c，∴a=b=c，即△ABC是等边三角形.

方法二：∵A+B+C=，∴sinC=sin(A+B)，又2cosAsinB=sinC，

∴2cosAsinB=sin(A+B)，∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin(A-B)=0，

∵A,B∈(0,)，∴A-B∈(-,)，∴A=B，

222

又∵(量小非君子无毒不丈夫 a+b+c)(a+b-c)=3ab，∴

(ab)c3ab

，即

a香菇怎么做 bcab

，

2

2

2

2

222

a2

b

2

c

2

ab1



由余弦定理的推论得

cosC

2ab2ab2

又C∈(0,)，

C

3

，又A=B，∴△ABC是等边三角形.

规律总结：应用正弦定理进行判断或证明的方法：

①判断三角形的形状实质是判断三角形的三边或三角具有怎样的关系；

②利用正弦定理化边为角或化角为边，以实现边角的统一，便于寻找三边或三角具有的

关系；

③判断三角形的形状的常见结果有等腰三角形、等边三角形、直角三角形或等腰直角三

角形.

针对性练习：

1.在△ABC中，若atanB=btanA，试判断△ABC的形状.

【解析】法一：由正弦定理及已知，得sinA

2

2

2

sinBsinA2

=sinB，

cosAcosB



.2

即sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B.

∵0<2A,2B<2，2A+2B<2；∴2A=2B或2A=-2B.即A=B或A+B=

所以，三角形ABC是等腰三角形或直角三角形.

法二：在得到sin2A=sin2B后，也可以化为sin2A-sin2B=0，

∴2cos(A+B)sin(A-B)=0，∴cos(A+B)=0或sin(A-B)=0.

∵0

即A+B=



或A-B=0，2



或A=B.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.2

2.在△ABC中，若B＝6女人心情 0，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状.

【解析】方法一：由正弦独墅湖教堂 定理，得2sinB=sinA+sinC.

∵B＝60，∴A+C＝120,即A＝120－C，

代入上式，得2sin60=sin(120-C)+sinC展开，整理得：

∴sin(C+30)=1,∴C+30=90，

∴C＝60，故A＝60，∴△ABC为正三角形.

方法二：由余弦定理，得

b

2

a

2

c

2

2accosB

，

∵B=60,

b

2

ac

ac2

，

()a

2

c

2

2accos60



，

22

整理，得

(ac)0

，∴a=c.从而a＝b＝c，∴△ABC为正三角形.