笛沙

样本平均数的方差的推导：

假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本

1

,,

n

xx

，则有

22(),

i

ixX

ExX

即每一个样本单位都是与总体同分布的。

在此基础上，

证明样本平均数以总体平均数为期望值。



12

12

12

()()

1

()

1

()()()

1

()

n

n

n

xxx

ExE

n

Exxx

n

ExExEx

n

XXXX

n











接着，测试缘分 再以此为基础，推导样本平均数的方差。

在此，需要注意方差的计算公式为：

22(())

X

EXEX

以下需要反复使用这一定义：

22

2

12

2

12

2

2

12

2

222

12

2

222

12

2

(())

()

1

(())

1

()()()

1

()()()()()

1

()()()wps文档加密 ()()

1

x

n

n

n

nij

ij

nij

ij

ExEx

xxx

EX

n

ExxxnX

n

ExXxXxX

n

ExXxXxXxXxX

n

ExXExXEx显微镜观察 XExXxX

n















































2

2

2

n

nn





在证明中，一个关键的步骤是()()0

ij

ij

ExXxX



，其原

因在工资计算 于这一项事实上是

i

x与

j

x的协方差。由于任意两个样本都是

相互独立的，因此其协方差均为0。

如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差

小于0。此时样本均值的方差为2

2

1

X

x

Nn

nN











样本方差的期望：

证明了样本平均数的方差公小黄鸡图片 式后，我们可以来分析一下样本

方差的情况。

先构造一个统计量为

2

1

()

n

i

i

xx

S

n





食字开头的成语





，我们来求它的期望。

根据方差的简捷计算千钟 公式：2

2

2

X

X

X

n钩藤的功效





，可得

222

11

()()()

ii

ESExnxExnEx

nn











其中，同样运用简捷计算公式，可以得到：

22222()(())

i

ixiX

ExExX；

2

2222()(())X

x

ExExX

n





原式化为

2

222

2

222

2

1风光摄影

()()()

()()

1

X

X

X

X

X

ESnXnX

nn

XX

n

n

n



























等式的两端同除以右侧的系数项，得到

2()

1X

n

ES

n







令

22

11

()()

111

nn

ii

ii

xxxx

nn

SS

nnnn













则有2()

X

ES