篮球打气

理想气体的变质量问题的处理方法

对理想气体变质量问题，可根据不同情况用克拉珀龙方程、理想气体状态方程和气体

实验定律进行解答。

方法一：化变质量为恒质量——等效的方法

在充气、抽气的问题中可以假设把充进或抽出的气体包含在气体变化的始末状态中，即

用等效法把变质量问题转化为恒定质量的问题。

方法二：应用密度方程

一定质量的气体，若体积发生变化，气体的密度也随之变化，由于气体密度

m

V

，

故将气体体积

m

V





代入状态方程并化简得：

22

2

11

1

T

p

T

p





，这就是气体状态发生变化

时的密度关系方程．

此方程是由质量不变的条件推导出来的，但也适用于同一种气体的变质量问题；当温度

不变或压强不变时，由上式可以得到：

2

2

1

1



pp



和

2211

TT，江西鹰潭龙虎山 这便是玻意耳定律的密度

方程和盖吕萨克定律的密度方程．

方法三:应用克拉珀龙方程

其方程为nR

T

PV

。这个方程有4个变量：p是指理想气体的压强，V为理想气体的

体积，n表示气体物质的量，而T则表示理想气体的热力学温度；还有一个常量：R为理想

气体常数，R=8.31J/mol.K=0.082atm.L/mol.K。

方法四:应用理想气体分态式方程

若理想气体在状态变化过程中，质量为m的气体分成两个不同状态的部分

21

mm、，或

由若干个不同状态的部分

21

mm、的同种气体的混合，则应用克拉珀龙方程R

M

m

T

PV

易

推出：

1

2

'

2

'

2

'

1

'

1

'

1

2

22

1

11

T

VP

T

VP

T

VP

T

VP



上式表示在总质量不变的前提下，同种气体进行分、合变态过程中各参量之间的关系，

可谓之“分态式”状态方程。

1.打气问题

向球、轮胎中打气是一个典型的变质量气体问题。只要选择球内原有气体和即将打入的

气体的整体作为研究对象，就可把打气过程中的变质量问题转化为气体总质量不变的状态变

化问题。类似的问题还有将一个大容器里的气体分装到多个小容器中等，处理的方法也类似。

例1．一个篮球的容积是2.5L，用打气筒给篮球打气时，每次把510Pa的空气打进去

3125cm。如果在打气前篮球里的空气压强也是510Pa，那么打30次以后篮球内的空气压强

是多少Pa？（设在打气过程中气体教后反思 温吉林市北山公园 度不变）

解析：由于每打一次气，总是把V体积，相等质量、压强为

0

p的空气压到容积为

0

V

的容器中，所以打

n

次气后，共打入压强为

0

p的气体的总体积为nV，因为打入的nV体

积的气体与原先容器里空气的状态相同，故以这两部分气体的整体为研究对象早晨图片 ．取打气前为

初状态：压强为

0

p、体积为

0

VnV；打气后容器中气体的状态为末状态：压强为

n

p、

体积为

0

V．

令

2

V为篮球的体积,

1

V为n次所充气体的体积及篮球的体积之和

则

1

2.5300.125VLL

由于整个过程中气体质量不变、温度不变，可用玻意耳定律求解。

1122

pVpV

5

5

11

2

2

10(2.5300.125)

Pa2.510Pa

2.5

pV

p

V





变式1：一个篮球的容积是2.5L，用打气筒给篮球打气时，每次把510Pa的空气打进去

3125cm。如果在打气前篮球里的空气压强也是510Pa，那么打30次以后篮球内的空气压强

是多少Pa？（设在打气过程中气体温度不变）

变式

2

.

（

2019

全国理综

I

卷

33

）热等静压设备广泛用于材料加工中。该设备工作时，先在室

温下把惰性气体用压缩机压入到一个预抽真空的炉腔中，然后炉腔升温，利用高温高气压环

境对放入炉腔中的材料加工处理，改善其性能。一台热等静压设备的炉腔中某次放入固体材

料后剩余的容积为

0.13m3，炉腔抽真空后，在室温下用压缩机将

10

瓶氩气压入到炉腔中。

已知每瓶氩气的容积为

3.210-2m3，使用前瓶中气体压强为

1.5107Pa

，使用后瓶中剩余气体

压强为

2.0106Pa

；室温温度为

27℃

。氩气可视为理想气体。

（

i

）求压入氩气后炉腔中气体在室温下的压强；

（

ii

）将压入氩气后的炉腔加热到

1227℃

，求此时炉腔中气体的压强。

【解题思路】（i）设初始时每瓶气体的体积为V

0

，压强为p

0

；使用后气瓶中剩余气体的压

强为p

1

。假设体积为V

0

、压强为p

0

的气体压强变为p

1

时，其体积膨胀为V

1

。由玻意耳定律

p

0

V

0

=p

1

V

1

①

被压入进炉腔的气体在室温和p

1

条件下的体积为

10

VVV



②

设10瓶气体压入完成后炉腔中气体的压强为p

2

，体积为V

2

。由玻意耳定律

p

2

V

2

=10p

1

V

③

联立①②③式并代入题给数据得

p

2

=32107Pa④

图1

（ii）设加热前炉腔的温度为T

0

，加热后炉腔温度为T

1

，气体压强为p

3

，由查理定律

3

1

10

p

p

TT

⑤

联立④⑤式并代入题给数据得

p

3

=1.6108Pa⑥

2.抽气中的变质量问题

用打气筒对容器抽气的的过程中，对每一次抽气而言，气体质量发生变化，其解决方法同充

气问题类似：假设把每次抽出的气体包含在气体变化的始末状态中，即用等效法把变质量问

题转化为恒定质量的问题。

例2.用容积为V的活塞式抽气机对容积为

0

V的容器中的气体抽气，如图1所示。设

容器中原来气体压强为

0

p，抽气过程中气体温度不变．求抽气机的活塞抽动

n

次后，容器

中剩余气体的压强

n

p为多大？

解析：如图是活塞抽气机示意图，当活塞下压，阀门a关闭，b打开，抽气机气缸中V

体积的气体排出．活塞第二每周工作汇报模板 次上提（即抽第二次气），容器中气体压强降为P

2

．根据玻意耳

定律得

第一次抽气

0010

()pvpvv0

10

0

v

pp

vv





第二次抽气

1020

()pvpvv2

0

20

0

()

v

pp

vv





以此类推，第

n

次抽气容器中气体压强降为0

0

0

()n

n

v

pp

vv





[拓展].某容积为20L的氧气瓶里装有30atm的氧气，现把氧气分装到容积为5L的小

钢瓶中，使每个小钢瓶中氧气的压强为4atm，如每个小钢瓶中原有氧气压强为1atm。问最

多能分装多少瓶？（设分装过程中无漏气，且温度不变）

解析：设最多能分装N个小钢瓶，并选取氧气瓶中的氧气和N个小钢瓶中的氧气整体

为研究对象。

按题设，分装前后温度T不变。

分装前整体的状态

分装后整体的状态：

由此有分类式：

代入数据解得：

，取34瓶

说明：分装后，氧气瓶中剩余氧气的压强应大于或等于小钢瓶中氧气应达到的压强

，即，但通常取。千万不能认为，因为通常情况下不可能将

氧气瓶中的氧气全部灌入小钢瓶中。

例3.开口的玻璃瓶内装有空气，当温度自0C升高到100C时，瓶内恰好失去质量为1g的

空气，求瓶内原有空气质量多少克？

解析：瓶子开口，瓶内外压强相等，大气压认为是不变的，所以瓶内的空气变化可认为

是等压变化．设瓶内空气在0C时密度为

1

，在100C时密度为

1

，瓶内原来空气质量

为

m

，加热后失去空气质量为m，由于对同一气体来说，m，故有

mm

m





2

1





①

根据盖吕萨克定律密度方程：TT

211

②

由①②式，可得：

2

21

2731

3.73

373273

Tm

mgg

TT









变式3.（2016全国理综甲）一氧气瓶的容积为0.08m3，开始时瓶中氧气的压强为20个大

气压。某实验室每天消耗1个大气压的氧气0.36m3。当氧气瓶中的压强降低到2个大气压

时，需重新充气。若氧气的温度保持不变，求这瓶氧气重新充气前可供该实验室使用多少天.。

【名师解析】设氧气开始时的压强为

p

1，体积为

V1；压强变为

p2（

2

个大气压）时，体积

为

V

2；

根据玻意耳定律得

p

1V1=p2V2

重新充气前，用去氧气在压强

p

2下的体积为

V3=V2-V1，

设用去的氧气在压强

p

0（

1

个大气压）下的体积为

V0，则有

p2V3=p0V0

设实验室每天用去的氧气在压强

p

0（

1

个大气压）下的体积为△

V

，则氧气可用的天数为

N=V0/

△

V

联立解得：

N=4

天。

变式

3.

中医拔罐的物理原理是利用玻璃罐内外的气压差使罐吸附在人体穴位上，进而治疗某

些疾病。常见拔罐有两种，如图所示，左侧为火罐，下端开口；右侧为抽气拔罐，下端开口，

上端留有抽气阀门。使用火罐时，先加热罐中气体，然后迅速按到皮肤上，自然降温后火罐

内部气压低于外部大气压，使火罐紧紧吸附在皮肤上。抽气拔罐是先把罐体按在皮肤上，再

通过抽气降低罐内气体压强。某次使用火罐时，罐内气体初始压强与外部大气压相同，温度

为

450K

，最终降到

300K

，因皮肤凸起，内部气体体积变为罐容积的

20

21

。若换用抽气拔罐，

抽气后罐内剩余气体体积变为抽气拔罐容积的

20

21

，罐内气压与火罐降温后的内部气压相同。

罐内气体均可视为理想气体，忽略抽气过程中气体温度的变化。求应抽出气体的质量与抽气

前罐内气体质量的比值。

解析：

设火罐内气体初始状态参量分别为

p

1、

T

1、

V

1，温度降低后状态参量分别为

p

2、

T

2、

V

2，罐

的容积为

V

0，由题意知

p

1=

p

0、

T

1=450K

、

V

1=

V

2、

T

2=300K

、

V

2=20

V

0/21①

由理想气体状态方程得

20

00

12

20

21

pV

pV

TT





②

代入数据得

p

2=0.7

p

0③

对于抽气罐，设初态气体状态参量分别为

p

3、

V

3，末态气体状态参量分别为

p

4、

V

4，罐的

容积为

0

V



，由题意知

p

3=

p

0、

V

3=

0

V



、

p

4=

p

2④

由玻意耳定律得

2004

VVpp



⑤

联立

②⑤

式，代入数据得

40

10

7

VV



⑥

设抽出的气体的体积为

V

，由题意知

40

20

21

VVV



⑦

故应抽出气体的质量与抽气前罐内气体质量的比值为

4

mV

mV

⑧

联立

②⑤⑦⑧

式，代入数据得

1

3

m

m



⑨

例4.如图所示，两个充有空气的容器A、B，以装有活塞栓的细管相连通，容器A浸在温

度为

Ct23

1

的恒温箱中，而容器B浸在

Ct27

2

的恒温箱中，彼此由活塞栓隔开。容器A

的容积为

LV1

1



，气体压强为

atmp1

1



；容器B的容积为

LV2

2



，气体压强为

atmp3

2



，

求活塞栓打开后，气体的稳定压强是多少？

解析：设活塞栓打开前为初状态，打开后稳定的状态为末状态，活塞栓打开前后两个容

器中的气体总质量没有变化，且是同种气体，只不过是两容器中的气体有所迁移流动，故可

用分态式求解。

将两容器中的气体看成整体，由分态式可得：

因末状态为两部分气体混合后的平衡态，设压强为p”，则，代入有关的

数据得：

因此，活塞栓打开后，气体的稳定压强为2.25atm。

变式4.如图4所示的容器A与B由毛细管C连接，

3

BA

VV,开始时，A、

B都充有温度为

0

T,压强为

0

p的空气。现使A的温度保持

0

T不变，对B加

热，使B内气体压强变为

0

2p，毛细管不传热，且体积不计，求B中的气体

的温度。

解析：对B中气体加热时，B中气体体积、压强、温度都要发生变化，

将有一部分气体从B中进入A中，进入A中的气体温度又变为

0

T，虽然A中

气体温度不变，但由于质量发生变化，压强也随着变化（p增大）,这样A、B两容器中的

气体质量都发生了变化，似乎无法用气态方程或实验定律来解，那么能否通过巧妙的选取研

究对象及一些中间参量，把变质量问题转化为定质量问题处理呢？

图4

加热后平衡时两部分气体压强相等，均为

0

2p，因此，可先以A、B中的气体作为研

究对象（一定质量），假设保持温度

0

T不变，压强由

0

p增至

0

2p，体积由（

AB

VV）变为

V；再以此状态时体积为（

A

VV）的气体为研究对象，压强保持

0

2p不变，温度由

0

T升到

T,体积由（

A

VV）变为3

BA

VV,应用气体定律就可以求出T来。

先以AB中气体为研究对象

初状态

0

p，

0

T,4

ABA

VVV末状态

0

2p，T,V

由波义耳定律

00

42

A

pVpV①

再以B中剩余气体为研究对象

初状态2

0

p，

0

T,

A

VV末状态

0

2p，T,3

BA

VV

由盖吕萨克定律得

0

3

AA

VVV

TT



②由①②得

0

3TT

变式5.（10分）（2020高考全国理综I）甲、乙两个储气罐储存有同种气体（可视为理想

气体）。甲罐的容积为V，罐中气体的压强为p；乙罐的容积为2V，罐中气体的压强为

1

2

p。

现通过连接两罐的细管把甲罐中的部分气体调配到乙罐中去，两罐中气体温度相同且在调配

过程中保持不变，调配后两罐中气体的压强相等。求调配后

（i）两罐中气体的压强；

（ii）甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比。

【名师解析】：

（i）假设乙罐中的元宵节的传说 气体被压缩到压强为p，其体积变为V

1

，由玻意耳定律有

1

1

(2)=

2

pVpV①

现两罐气体压强均为p，总体积为(V+V

1

)。设调配后两罐中气体的压强为p′，由玻意耳

定律有

p（V+V

1

）=p′（V+2V）②

联立①②式可得

2

3

pp



③

（ⅱ）若调配后甲罐中的气体再被压缩到原来的压强p时，体积为V

2

，由玻意耳定律

p′V=pV

2

④

设调配后甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比为k，由密度的定义有

2

V

k

V

⑤

联立③④⑤式可得

2

3

k⑥