质数和合数的概念

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质数与合数的基本概念

知识点拨

1.质数与合数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、

43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；

除了2其余的质数都是奇冯本彦 数；

除了2和5，其余的质数个位数字只能是1、3、7或9

考点：（1）值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点

（2）除了2和5，其余质数个位数字只能是1、3、7或9

2.判断一个数是否为质数的方法

根据定义如果能够找到一个小于p的质数q（均为整数），使得q能够整除p，

那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这

样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数

K2，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的，那么

p就为质数。

例如：149很接近144=12x12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11

整除，所以149是质数。

例题精讲

例1：

下面是主试委员会第六届“华杯赛”写的一首诗：

美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；

杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；

九天九霄志凌云，九七共庆手相握；

聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌；

请你将56个字第1行左边第一字逐字编为1-56号，再将号码中的质数由小到大

找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话。

例2：（2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练）

炎黄骄子，菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学流光溢彩造句 家，

华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖。我们知道正整数

中有无穷多个质数（素数），陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：

对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数（素数）的数组。

例如，k=3时，3、5、7是间隔为2的3个质数；5、11、17是间隔为6的3个

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质数：而，，是间隔为12的3个质数（由小到大排列，

只写一组3个质数即可）

例3：（2003年“祖冲之杯”邀请赛）

大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出的值在3.1415926和

3.1415927之间，成为世界上第一个把的值精确到7位小数的人。现代人利用

计算机已经将的值计算到了小数点后的515亿位以上。这些数排列既无序又无

规律。但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314

不是质数，在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中恰有一

个是质数，是哪个？

例4：（2004年全国小学奥林匹克）

自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质

数，这样的自然数有多少个？

例5：

两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少

例6：

如果a，b均为质数，且3a+7b=41,则a+b=。

例7：

A,B,C为3个小于20的质数，A+B+C=30,求这三个质数。

例8：

已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？

例9：

小晶迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数。同时，她感到这个

号码很容易记住，因为它的形式为abba,其中a≠b，而且ab和ba都是质数（a

和b是两个数字）。具有这种形式的数共有多少个？

例10：（“祖冲之杯”小学数学邀请赛）

九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑。

如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，

这秕老人刚好平均分乘余下的大巴，那么有多少个老人？原有多少辆大巴？

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例11：（俄罗斯数学奥林匹克）

万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同，如果个位数字等于前两个数字的

和，那么这个数是几？

例12：（第五届“华杯赛”口试第15题）

图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格

中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中。

甲填“和数”□5□8□12□„□„□„„„„□„

质数列②③⑤⑦○11○13„„○89○97

乙填“积数”□6□15□35□„□„□„□„

问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同？为什么？

例13：（全国小学数学奥林匹克）

从1~9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数。排好后可以

从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的

数是多少？

例14：（保良局亚洲区城市小学数学邀请赛）

用L表示所有被3除余1的全体正整数。如果L中的数（1不算）除1及它本身

以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L—质数”，问：第8个“L—质数”

是什么？

例15：9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请

列举和最小的一组。

例16：（我爱数学少年数学夏令营）

用0，1，2，„„，9这10个数字组成6个质数，每个阅读方法 数字至多用1次，每个质

数都不大于500，那么共在多少种不同的组成6个质数的方法，请将所有方法列

出来。

例17：

从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12，这样的数有几组？

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例18：

用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并

且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数。

例19：

有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任

意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数

都写出来。

例20：

某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内，你能找出几个这样的质数？

把它们写出来。

例21：

7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g。已知它们的和是偶数，那

么d是多少？

例22：

从20以内的质数中先出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，

并且使得相对两个面的数的和都相等，将这样的三个木块掷在地上，向上的三个

面的三个数之和可能有多少种不同的值？

例23：

将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A

最小是几？

A=（）付款申请单 +（）=（）+（）=（月亮的诗歌 ）+（）=（）+（）

例24：

4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油，每瓶和其他煮大虾 各瓶分别合称一次，记录

千克如下：8，9，10，11，12，13。已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和

均为质数，求最重的两瓶内有多少油？

例25：

将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多

少？

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例26：

将50拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是

多少？

例27：

将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出

的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？

例28：

如果一个数不能表示为三个不同合数的和，我们称这样的数为“状元数”，最大

的“状元数”是几？

100以内质数记忆法

100以内的质数共有25个，这些质数我们经常用到，可以用下面的两种办法记住它们。

一、规律记忆法

首先记住2和3，而2和3两个质数的乘积为6。100以内的质数，一般都在6的倍数前、

后的位置上。如5、7、11、13、19、23、29、31、37、41、43……只有25、35、49、55、

65、77、85、91、95这几个6的倍数前后位置上的数不是质数，而这几个数都是5或7

的倍数。由此可知：100以内6的倍数前、后位置上的两个数，只要不是5或7的倍数，

就一定是质数。根据这个特点可以记住100以内的质数。

二、分类记忆法

我们可以把100以内的质数分为五类记忆。

第一类：20以内的质数，共8个：2、3、5、7、11、13、17、19。

第二类：个位数字是3或9，十位数字相差3的质数，共6个：23、29、53、59、83、89。

第三类：个位数字是1或7，十位数字相差3的质数，共4个：31、37、61、67。

第四类：个位数字是1、3或7，十位数字相差3的质数，共5个：41、43、47、71、73。

第五类：还有2个持数是79和97