欢乐大世界

2022年高考数学模拟试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数

z

满足

(3)1izi

，则

z

的虚部为（）

A

．

i

B

．

i

C

．

–1D

．

1

2．

a

为正实数，

i

为虚数单位，

2

ai

i





，则

a=

（）

A

．

2B

．3C

．2D

．

1

3．已知角

a

的终边经过点4,30Pmmm

，则2sincosaa的值是

()

A

．

1

或1B

．

2

5

或

2

5

C

．

1

或

2

5

D

．1或

2

5

4．已知集合

A0,1,2

，

B=(2)0xxx

,

则

A∩B=

A

．1

B

．0,1

C

．1,2

D

．0,1,2

5．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A

．

27B

．28C

．29D

．30

6．若函数

()sin2fxx

的图象向右平移

6



个单位长度得到函数

()gx

的图象，若函数

()gx

在区间

[0,]a

上单调递增，

则

a

的最大值为（）．

A

．

2



B

．

3



C

．

5

12



D

．

7

12



7．如红棉袄 图所示，已知双曲线

22

22

:1(0,0)

xy

Cab

ab



的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称

点为

B

，满足120AFB，且

||2||BFAF

，则双曲线C的离心率是（）

.

A

．

3

3

B

．

7

2

C

．3D

．7

8．函数32fxxxx

的图象在点1,1f

处的切线为l，则l在

y

轴上的截距为（）

A

．1胃出血最佳治疗方法 B

．1C

．2

D

．2

9．若函数()xfxe的图象上两点M，N关于直线

yx

的对称点在

()2gxax

的图象上，则

a

的取值范围是

（）

A

．

,

2

e









B

．

(,)e

C

．

0,

2

e







D

．

(0,)e

10．记递增数列

{}

n

a

的前

n

项和为

n

S

.

若

1

1a

，

9

9a

，且对

{}

n

a

中的任意两项

i

a

与

j

a

（

19ij

），其和

ij

aa

，

或其积

ij

aa

，或其商

j

i

a

a

仍是该数列中的项，则（）

A

．

59

3,36aS

B

．

59

3,36aS

C

．

69

3,36aS

D

．

69

3,36aS

11．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）

A

．

2

对

B

．

3

对

C

．

4

对

D

．

5

对

12．已知曲线24xy，动点P在直线

3y

上，过点P作曲线的两条切线

12

,ll

，切点分别为

,AB

，则直线AB截圆

22650xyy所得弦长为（）

A

．3B

．

2C

．

4D

．23

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设数列

{}

n

a

的前

n

项和为

n

S

，且对任意正整数

n

，都有

01

0110

12

n

n

a

nS







，则

1

a

___

14．曲线

11

lnfx

xx



在点1,1f

处的切线方程是

__________.

15．已知向量a，b满足

||2a

，||3b，且已知向量a，b的夹角为60，

()()0acbc

，则

||c

的最小值是

__

．

16．三个小朋友之间送礼物，约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），则三人都收到

礼物的概率为

______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区，如图，已知两个购物广场的

占地都呈正方形，它们的面积分别为

13

公顷和

8

公顷；美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形，分别记它们的面积

为

1

S

公顷和

2

S

公顷；由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形，分别记它们的面积为

3

S

公

顷和

4

S

公顷

.

（

1

）设BAC，用关于的函数

()S

表示

1234

SSSS

，并求

()S

在区间

(0,)

上的最大值的近似值（精确

到

0.001

公顷）；

（

2

）如果

1234

52SSSS

，并且

12

SS

，试分别求出

1

S

、

2

S

、

3

S

、

4

S

的值

.

18．（12分）在直角坐标系

xOy

中，以坐标原点为极点，

x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知

1

C

：2220xyy，

2

C：36xy，

3

C

：00kxyk

.

（

1

）求

1

C

与

2

C的极坐标方程

（

2

）若

1

C

与

3

C

交于点

A

，

2

C与

3

C

交于点

B

，

OAOB

，求的最大值

.

19．（12分）已知数列

{}

n

a

满足：2

1

6

nn

xx





，*nN，且对任意的*nN都有

211

2n

x



,

（Ⅰ）证明：对任意*nN，都有

121

3

2n

x



；

（Ⅱ）证明：对任意*nN，都有

1

222

nn

xx





；

（Ⅲ）证明：

1

2x

.

20．（12分）己知函数()2cosxfxexx.

（

1

）当

(,0)x

时，求证：

()0fx

；

（

2

）若函数

()()1(1)gxfxnx

，求证：函数

()gx

存在极小值

.

21．（12分）如图，在三棱柱

111

ABCABC

中，ACBC，

1

ABBB

，

1

ACBCBB

，D为AB的中点，且

1

CDDA

.

（

1

）求证：

1

BB

平面ABC；

（

2

）求锐二面角

11

CDAC

的余弦值

.

22．（10分）在ABC中，角

,,ABC

所对的边分别是

,,abc

，且25sin2cosacBbC.

（

1

）求tanB；

（

2

）若5,3ac，求b.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

C

【解析】

利用复数的四则运算可得2zi，即可得答案

.

【详解】

∵

(3)1izi

，∴

1

31

i

zi

i



，

∴2zi，∴复数

z

的虚部为1.

故选：

C.

【点睛】

本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题

.

2．

B

【解析】

2||21230,3

ai

aaaa

i





，选

B.

3．

B

【解析】

根据三角函数的定义求得

sin,cosaa

后可得结论．

【详解】

由题意得点P与原点间的距离22435rmmm．

①当0m时，5rm，

∴

3344

sin,cos

5555

mm

aa

mm





，

∴

342

2sincos2

555

aa

．

②当0m时，5rm，

∴

3344

sin,cos

5555

mm

aa

mm







，

∴

342

2sincos2

555

aa









．

综上可得2sincosaa的值是

2

5

或

2

5



．

故选

B

．

【点睛】

利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标

x

，纵坐标

y

，

该点到原点的距离

r

，然后再根据三角函数的定义求解即可．

4．

A

【解析】

先解

A

、

B

集合，再取交集。

【详解】

2002xxx

,

所以

B

集合与

A

集合的交集为1

，故选

A

【点睛】

一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。

5．

C

【解析】

作出三棱锥的实物图PACD，然后补成直四棱锥PABCD，且底面为矩形，可得知三棱锥PACD的外接球和

直四棱锥PABCD的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD的外接圆直径AC，利用公式222RPBAC

可计算出外接球的直径2R，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积

.

【详解】

三棱锥PACD的实物图如下图所示：

将其补成直四棱锥PABCD，PB底面ABCD，

可知四边形ABCD为矩形，且

3AB

，4BC.

矩形ABCD的外接圆直径225AC=AB+BC=

，且2PB.

所以，三棱锥PACD外接球的直径为22229RPBAC，

因此，该三棱锥的外接球的表面积为2

24229RR.

故选：

C.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型

进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题

.

6．

C

【解析】

由题意利用函数

sin()yAx

的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出

a

的最大值．

【详解】

解：把函数

()sin2fxx

的图象向右平移

6



个单位长度得到函数

()sin(2)

3

gxx





的图象，

若函数

()gx

在区间

[0

，

]a

上单调递增，

在区间

[0

，

]a

上，

2[

33

x





，

2]

3

a





，

则当

a

最大时，

2

32

a





，求得

5

12

a





，

故选：

C

．

【点睛】

本题主要考查函数

sin()yAx

的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．

7．

C

【解析】

易得

||2AFa

，

||4BFa

，又

1

()

2

FOFBFA

，平方计算即可得到答案

.

【详解】

设双曲线

C

的左焦点为

E

，易得AEBF为平行四边形，

所以

||||||||2BFAFBFBEa

，又

||2||BFAF

，

故

||2AFa

，

||4BFa

，

1

()

2

FOFBFA

，

所以222

1

(41624)

4

caaaa

，即223ca，

故离心率为3e.

故选：

C.

【点睛】

本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立

,,abc

的方程或不等关系，是一道中档题

.

8．

A

【解析】

求出函数在1x处的导数后可得曲线在1,1f

处的切线方程，从而可求切线的纵截距

.

【详解】

2321fxxx





，故12f





，

所以曲线yfx

在1,1f

处的切线方程为：21121yxfx

.

令0x，则

1y

，故切线的纵截距为1.

故选：

A.

【点睛】

本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与

y

轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题

属于基础题

.

9．

D

【解析】

由题可知，可转化为曲线

()2gxax

与

lnyx

有两个公共点，可转化为方程2lnaxx有两解，构造函数

2ln

()

x

hx

x





，利用导数研究函数单调性，分析即得解

【详解】

函数()xfxe的图象上两点M，N关于直线

yx

的对称点在

lnyx

上，

即曲线

()2gxax

与

lnyx

有两个公共点，

即方程2lnaxx有两解，

即

2lnx

a

x





有两解，

令

2ln

()

x

hx

x





，

则

2

1ln

()

x

hx

x







，

则当

1

0x

e



时，

()0hx





；当

1

x

e



时，

()0hx





，

故

1

x

e



时

()hx

取得极大值

1

he

e









，也即为最大值，

当0x时，

()hx

；当

x

时，

()0hx

，

所以0ae满足条件．

故选：

D

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题

.

10书包里的故事作文 ．

D

【解析】

由题意可得9

5

5

a

a

a



，从而得到

5

3a

，再由

5

3a

就可以得出其它各项的值，进而判断出

9

S的范围．

【详解】

解：

ij

aa

，或其积

ij

aa

，或其商

j

i

a

a

仍是该数列中的项，

29

aa

或者

29

aa

或者9

2

a

a

是该数列中的项，

又数列

{}

n

a

是递增数列，

1239

aaaa

，

299

aaa

，

299

aaa

，只有9

2

a

a

是该数列中的项，

同理可以得到

9

3

a

a

，9

4

a

a

，

..

，9

8

a

a

也是该数列中的项，且有999

19

872

aaa

aa

aaa



，

9

5

5

a

a

a



，

5

3a

或

5

3a

（舍

)

，

6

3a

，

根据

1

1a

，

5

3a

，

9

9a

，

同理易得

1

4

2

3a

，

1

2

3

3a

，

3

4

4

3a

，

5

4

6

3a

，

3

2

7

3a

，

7

4

8

3a

，

9

4

9129

1

4

13

36

13

Saaa







，

故选：

D

．

【点睛】

本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．

11．

C

【解析】

画出该几何体的直观图PABCD，易证平面PAD平面ABCD，平面PCD平面PAD，平面PAB平面PAD，

平面PAB平面PCD，从而可选出答案．

【详解】

该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD平面ABCD，

作

PO

⊥

AD

于

O

，则有

PO

⊥平面

ABCD

，

PO

⊥

CD

，

又

AD

⊥

CD

，所以，

CD

⊥平面

PAD

，

所以平面PCD平面PAD，

同理可证：平面PAB平面PAD，

由三视图可知：

PO

＝

AO

＝

OD

，所以，

AP

⊥

PD

，又

AP

⊥

CD

，

所以，

AP

⊥平面

PCD

，所以，平面PAB平面PCD，

所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有

4

对．

【点睛】

本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．

12．

C

【解析】

设

22

12

12

,,,,(,3)

44

xx

AxBxPt









，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P点坐标代入切线

方程，抽象出直线AB方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解

.

【详解】

圆22650xyy可化为22(3)4xy.

设

22

12

12

,,,,(,3)

44

xx

AxBxPt









，

则

12

,ll

的斜率分别为12

12

,

22

xx

kk，

所以

12

,ll

的方程为2

11

11

:

24

xx

lyxx，即1

12

x

yxy

，

2

22

22

:

24

xx

lyxx，即2

22

x

yxy，

由于

12

,ll

都过点

(,3)Pt

，所以

1

1

2

2

3

2

3

2

x

ty

x

ty



















，

即

1122

,,,AxyBxy

都在直线

3

2

x

ty

上，

所以直线AB的方程为

3

2

x

ty

，恒过定点

(0,3)

，

即直线AB过圆心

(0,3)

，

则直线AB截圆22650xyy所得弦长为

4.

故选

:C.

【点睛】

本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题

.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1

【解析】

利用行列式定义，得到

n

a

与

n

S

的关系，赋值1n，即可求出结果。

【详解】

由

01

11

01

011(2)10

2

12

12

n

nnn

n

n

a

aaSn

nS

n

nS











，令1n，

得

11

(2)10aa

，解得

1

1a

。

【点睛】

本题主要考查行列式定义的应用。

14．

230xy

【解析】

利用导数的几何意义计算即可

.

【详解】

由已知，'

2

11

fx

xx



，所以'12fqq公告 

，又

(1)1f

，

所以切线方程为

12(1)yx

，即

230xy

.

故答案为：

230xy

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道容易题

.

15．

197

2



【解析】

求

||c

的最小值可以转化为求以

AB

为直径的圆到点

O

的最小距离，由此即可得到本题答案

.

【详解】

如图所示，设,,OAaOBbOCc，

由题，得

,||2,||3,,,23cos603

3

AOBOAOBCAacCBbcab



，

又()()0acbc，所以CACB，则点

C

在以

AB

为直径的圆上，

取

AB

的中点为

M

，则

1

()

2

OMOAOB

，

设嘴唇红润 以

AB

为直径的圆与线段

OM

的交点为

E

，则

||c

的最小值是||OE，

因为

22

2

11119

||()24239

4222

OMOAOBOAOAOBOB，

又22

1

2cos60492237

2

ABOAOBOAOB，

所以

||c

的最小值是

1197

||

22

OEOMMEOMAB



.

故答案为：

197

2



【点睛】

本题主要考查向量的综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力，体现

了数形结合的数学思想

.

16．

1

2

【解析】

基本事件总数328n，三人都收到礼物包含的基本事件个数2214m．由此能求出三人都收到礼物的概率．

【详解】

三个小朋友之间准备送礼物，

约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），

基本事件总数328n，

三人都收到礼物包含的基本事件个数2214m．

则三人都收到礼物的概率

41

82

m

p

n

．

故答案为：

1

2

．

【点睛】

本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题

.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（

1

）

1234

42226sinSSSS，最大值52.198公顷；（

2

）

17

、

25

、

5

、

5.

【解析】

（

1

）你的名字动漫 由余弦定理求出三角形

ABC

的边长

BC

，进而可以求出

1

S

，

2

S

，由面积公式求出

3

S

，

4

S

，即可求出

()S

，

并求出最值；（

2

）由（

1

）知，

12

42SS

，

34

SS

，即可求出

3

S

、

4

S

，再算出

sin,cos

，代入（

1

）中表达式

求出

1

S

，

2

S

。

【详解】

（

1

）由余弦定理得，2BC1382138cos21426cos，

所以，

1

21426cosS，同理可得

2

21426cos)=21426cosS（

又

34

1

138sin26sin

2

SS

，

所以

1234

()==42226sinSSSSS，

故

()S

在区间

(0,)

上的最大值为42226，近似值为52.198。

（

2

）由（

1

）知，

12

42SS

，

34

SS

，所以

34

=5SS

，进而

5

sin

26



，

由

12

SS

知，cos0，

1

cos

26



，

12

S=21417,21425S

故

1

S

、

2

S

、

3

S、

4

S

的值分别是

17

、

25

、

5

、

5

。

【点睛】

本题主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函数平方关系的应用，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力。

18．（

1

）

1

C

的极坐标方程为

2sin

；

2

C的极坐标方程为：3cossin6（

2

）

1

2

【解析】

（

1

）根据

cos

sin

x

y















，代入即可转化

.

（

2

）由

3

C

：00kxyk

，可得



，代入

1

C

与

2

C

的极坐标方程求出

,OAOB

，从而可得

22sin23sincos

6

OA

OB









，再利用二倍角公式、辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解

.

【详解】

（

1

）

1

C

：2220xyy，22sin，

1

C

的极坐标方程为

2sin

2

C

：36xy，3cossin6，

2

C

的极坐标方程为：3cossin6，

（

2

）

3

C

：00kxyk

，则



（



为锐角），

2sinOA

，

6

sin3cos

OB







，

22sin23sincos

6

OA

OB









2sin1

3sin2cos211

6

662

















，当

3



时取等号

.

【点睛】

本题考查了极坐标与直角坐标的互化、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题

.

19．（

1

）见解析（

2

）见解析（

3

）见解析

【解析】

分析：

(1)

用反证法证明，注意应用题中所给的条件，有效利用，再者就是注意应用反证法证题的步骤；

(2)

将式子进行相应的代换，结合不等式的性质证得结果；

(3)

结合题中的条件，应用反证法求得结果

.

详解：证明：（Ⅰ）证明：采用反证法，若不成立，则

若

3

n

x

,

则2

1

63

nn

xx





,

与任意的*nN都有

211

2n

x



矛盾；

若

211

2n

x



,

则有

211211

22n

x



,

则

2

2

1

211211

66,

22nn

xx















2

2

21

211211

66,

22nn

xx















与任意的*nN都有

211

2n

x



矛盾；

故对任意*nN，都有

121

3

2n

x



成立；

（Ⅱ）由2

1

6

nn

xx





得2

1

+26+2=+22

nnnn

xxxx



（）（）

，

则

1

+2+22

nnn

xxx





，由（Ⅰ）知

0

n

x

，

22

n

x

，

即对任意*nN，都有

1

222

nn

xx





；

.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得：

2

111

2222222n

nnn

xxxx





，

由（Ⅰ）知，

31

n

x

，

∴

1

21

n

x





，

∴

1

221nx

，即

1

1

2

2n

x

，

若

1

2x

，则

1

20x

,

取

2

1

1

log1

2

n

x













时，有

1

1

2

2n

x

，与

1

1

2

2n

x

矛盾

.

则

1

2x

.

得证

.

点睛：该题考查的是有关命题的证明问题，在证题的过程中，注意对题中的条件的等价转化，注意对式子的等价变形，

以及证题的思路，要掌握证明问题的方法，尤其是反证法的证题思路以及证明步骤

.

20．（

1

）证明见解析（

2

）证明见解析

【解析】

（

1

）求导得()2sinxfxex



，由01xee，且

sin10x

，得到

()0fx





，再利用函数

()fx

在

(,0)

上

单调递减论证

.

（

2

）根据题意()2cosln(1),1xgxexxxx，求导，令

1

()()sin2

1

xhxgxex

x







，易知

(0)0h

；

2

1

()cos

(1)

xhxex

x







，易知当

0,

2

x











时，

()0hx





，

()()(0)0hxgxg





；当

(1,0)x

时，函数()hx单调递增，而

(0)1h





，又

9

10

99

cos1000

1010

he









，由零点存在定理得

0

9

,0

10

x









，

使得

0

0hx





，

0

,0xx

，使得

()0hx





，有

()()(0)0



hxgxg

从而得证

.

【详解】

（

1

）依题意，()2sinxfxex



，

因为01xee，且

sin10x

，故

()0fx





，

故函数

()fx

在

(,0)

上单调递减，

故

()(0)0fxf

.

（

2

）依题意，()2cosln(1),1xgxexxxx，

令

1

()()sin2

1

xhxgxex

x



简朴的近义词 



，则

(0)0h

；

而

2

1

()cos

(1)

xhxex

x







，可知当

0,

2

x











时，

()0hx





，

故函数

()hx

在

0,

2









上单调递增，故当

0,

2

x











时，

()()(0)0hxgxg





；

当

(1,0)x

时，函数()hx单调递增，而

(0)1h





，

又

9

10

99

cos1000

1010

he









，故

0

9

,0

10

x









，使得

0

0hx





，

故

0

,0xx

，使得

()0hx





，即函数

()hx

单调递增，即

()gx



单调递增；

故当

0

,0xx

时，

()(0)0gxg





，

故函数

()gx

在

0

,0x

上单调递减，在

0,

2









上单调递增，

故当0x时，函数

()gx

有极小值

(0)0g

.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的性质，还考查推理论证能力以及函数与方程思想，属于难题

.

21．（

1

）证明见解析；（

2

）

15

5

.

【解析】

（

1

）证明CDAB后可得CD平面

11

BBAA

，从而得

1

CDBB

，结合已知得线面垂直；

（

2

）以C为坐标原点，以CB为

x

轴，

1

CC

为

y

轴，CA为

z

建立空间直角坐标系，设

1

2CC

，写出各点坐标，求

出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值．

【详解】

（

1

）证明：因为ACBC，D为BC中点，

所以CDAB，又

1

CDDA

，

1

ABADD

，

所以CD平面

11

AABB

，又

1

BB

平面

11

AABB

，

所以

1

CDBB

，又

1

BBAB

，

ABCDD

，

所以

1

BB

平面ABC.

（

2

）由已知及（

1

）可知CB，

1

CC

，CA两两垂直，所以以C为坐标原点，以CB为

x

轴，

1

CC

为

y

轴，CA为

z

建

立空间直角坐标系，设

1

2CC

，则

0,0,0C

，2,0,0B

，0,0,2A

，

1

0,2,0C

，

1

0,2,2A

，1,0,1D

.

设平面

1

DCA

的法向量

1111

,,nxyz，则

1

11

0

0

nCD

nCA















，即

11

11

0

220

xz

yz











，令

1

1z

，则

1

1,1,1n；

设平面

11

DCA

的法向量

2222

,,nxyz，则

21

211

0

0

nCD

nCA















，即

222

2

20

20

xyz

z











，令

2

1y

，则

2

2,1,0n，

所以

12

12

12

31

s,

5

35

c

5

o

nn

nn

nn









.

故锐二面角

11

CDAC

的余弦值为

15

5

.

【点睛】

本题考查证明线面垂直，解题时注意线面垂直与线线垂直的相互转化．考查求二面角，求空间角一般是建立空间直

角坐标系，用向量法易得结论．

22．（

1

）

25

tan

5

B（

2

）2b

【解析】

（

1

）根据正弦定理到2cos5sinBB，得到答案

.

（

2

）计算

5

cos

3

B，再利用余弦定理计算得到答案

.

【详解】

（

1

）由25sin2cosacBbC，可得2sin5sinsin2sincosACBBC

2sin()5sinsin2sincosCBCBBC,2sincos5sinsinCBCB

因为sin0C，所以2cos5sinBB，所以

25

tan

5

B.

（

2

）2cos5sin0BB，又因为22sincos1BB，所以

5

cos

3

B.

因为2222cosbacacB，所以2

5

592534

3

b，即2b.

【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力

.