数学建模论文

数学建模大赛论文范文

一、问题重述

在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞

行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一

架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域

内的其它飞机小学五年级数学应用题 发生相撞。如果发生相撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机的

飞行方向角，以避免碰撞。现假设条件如下：

(1)不相撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；(2)飞机飞行方向角调整的

幅度不应超过30度；(3)所有飞机的飞行速度均为每小时800公里；

(4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；

(5)最多需考虑6架飞机；

(6)不必考虑飞机离开此区域后的情况。

请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行

计算（方向角误差不超过0.0打醋买布 1度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。

设该区域4个顶点的坐标为（0，0），（160，0），（160，160），（0，160）。记

录数据为：

注：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。

二、问题分析

此问题很容易想到以飞机调整的飞行租房协议怎么写 角度平方和作为目标函数，而以每两架飞机之间

的最小距离不超过8km，各飞机飞行角度调整的值不超过30为约束条件。如此得出的是

一个非线性模型，在计算上可能会复杂些，但一目了然。

三、符号说明

t表示表示时间；

；xi,yi分别表示第i架飞机的横纵坐标（问题中已给出）；i表示第i架飞机

的飞行方向角（问题中已给出）

dij(t)表示t时刻第i架飞机与第j架飞机间的距离；

。v表示飞机的飞行高度（v800）

四、模型的建立

由题意可知，目标函数是

6

fi2

i1

约束条件为

Dijmindij264和i

t0

6

,i,j1,2,,6,ij

其中

dij(t)(xixjvt(cos(ii)cos(jj)))

2

2

(yiyjvt(sin(ii)sin(jj)))2

利用微积分的知识可求出Dij，由

2d(dij)

dt

这里

a

0t

b

a(xixj)(cos(ii)cos(jj))

(yiyj)(sin(ii)sin(jj))

bv[(cos(ii)cos(jj))2

(sini(i

2

))])sin(jj

将t代入即可求出Dij。于是本问题的一个数学模型为

minf

ts..

引入记号：

Diji

i1

6

2

i

64

6

i,j1,,6,ij

1,,6，g(g1,,g15)T，（g是由64Dij按

i,j1,2,,6,ij构

成的向量，在下面的程序中计算），则模型变为

T

minfT

tg0s..vlbvub

TT

其中vlb1,1,1,1,1,1，vub1,1,1,1,1,1。

66

五、模型的求解

调用Matlab命令fminco水的故事 n求解，先写两个M函数airfun.m和airfunco.m如下：

M函数airfun.m

functionf=airfun(delta)f=delta*delta';

M函数airfunco.m

function[c,ceq]=airfunco(delta)

x0=[150];y0=psy [140,85,155,50,150,0];alpha0=[243236220.5

15923052]*pi/180;v=800;co=cos(alpha0+d赴宴者 elta);si=sin(alpha0+delta);fori=2:6

forj=1:i-1

t(i,jensuing )=(x0(i)-x0(j))*(co(i)-co(j));t(i,j)=t(i,j)+(y0(i)-y0(j))*(si(i)-

si(j));t(i,j)=-t(i,j)/v;

t(i,j)=t(i,j)/((co(i)-co(j))^2+(si(i)-si(j))^2);ift(i,j)

d(i,j)=(x0(i)-x0(j)+v*t(i,j)*(co(i)-co(j)))^2;d(i,j)=d(i,j)+(y0(i)-

y0(数学日记三年级 怀孕可以吃秋葵吗 j)+v*t(i,j)*(si(i)-si(j)))^2;endendend

c=64-[d(2,1),d(3,1:2),d(4,1:3),d(5,1:4),d(6,1:5)];ceq=[];

在Matlab命令窗口计算如下：>>deltaini=zeros(1,6);

>>vlb=-pi*ones(1,6)/6;vub=pi*ones(1,6)/6;>>

options=optimt('LargeScale','off');

>>

[dt,fval]=fmincon(@airfun,deltaini,[],[],[],[],vlb,vub,@airfunco,options);>>

d1=dt*180/pi,fval=d1*d1'd1=

0.00000.00002.0683-0.4896-0.00551.5611

fval=

6.9547

六、模型的检验及推广（略）