吴家龙

薄壁圆柱壳的高阶模态振动特性研究

王宇;罗忠;李昌;刘健

【摘要】采用解析法研究了不同边界条件下薄壁圆柱壳的高阶模态振动特性.首先

基于Love壳体理论,在简支-简支、固支-固支和固支-自由三种边界条件下,通过伽

辽金法建立了动力学模型,对模态特性进行求解,得到了高阶固有频率和三维模态振

型,并通过文献和有限元法进行了比较.算例结果表明,两端简支边界条件下采用解析

法得到的固有频率误差值不超过2％,当周向波数较小时固有频率先减小后增加,在

高阶时的固有频率逐渐升高,当轴向半波数增加时固有频率明显增大,通过解析法、

文献和有限元法得到的三维模态振型相吻合.

【期刊名称】《动力学与控制学报》

【年(卷),期】2016(014)002

【总页数】7页(P131-137)

【关键词】薄壁圆柱壳;边界条件;高阶固有频率;三维模态振型

【作者】王宇;罗忠;李昌;刘健

【作者单位】辽宁科技大学机械工程学院,鞍山114051;东北大学机械工程学院,沈

阳110819;辽宁科技大学机械工程学院,鞍山114051;辽宁科技大学机械工程学院,

鞍山114051

【正文语种】中文

2014-12-04收到第1稿，2014-12-27收到修改稿.

*国家自然科学基金资助项目（51105187）、辽宁科技大学青年基金资助项目

（2014QN13）

薄壁圆柱壳是指壁厚与其它最小特征尺寸之比在1/80和1/5之间的壳体［1］.薄

壁圆柱壳构件在航空航天和造船等领域中应用广泛，例如航空发动机的机匣、鼓筒

和卫星外壳等，在外界复杂工况下的振动行为复杂，可能会产生高阶共振、失稳和

损伤等故障，对薄壁圆柱壳构件的高阶振动特性进行深入研究，具有重要的应用价

值.

目前，关于薄壁圆柱壳构件低阶固有特性的研究较多，而许多薄壁壳体的振动疲劳

问题中，主要是高阶模态所对应的共振引起的，国外学者的研究成果如下：

RongongJA和TomlinsonGR［2］针对带阻尼层的薄壁圆环，对其高节径

（即周向波数）的振动特性进行了研究.WangC和LaiJCS［3］采用波动方法

预测了有限长圆柱壳的固有频率，但没有考虑相应的模态振型.El-KaabaziN和

KennedyD［4］基于Donnell、Timoshenko和Flgge理论，采用Wittrick-

Williams方法研究了变厚度圆柱壳的固有特性，而对高阶模态特性并不太清楚.

El-MouslyM［5］通过对三种壳体理论方程，仅对固有频率进行了求解.我国学者

对圆柱壳类结构的低阶固有特性进行了许多研究，但是对高阶固有频率和三维模态

振型的研究较少［6～9］.陈正翔和陈维衡［10］对圆柱壳中较高阶周向模态振动

波的频散特性进行了研究，得到了自由振动波随频率变化的规律.韩清凯、王宇和

李学军［11］对圆柱壳的高阶固有频率进行了求解，但是没有考虑模态振型的特

性［11］.李晖［12］等利用实验方法对约束态圆柱壳的模态振型进行了测试，得

到了部分低阶模态振型.陈丽华［13］等用哈密顿原理和Rayleigh-Ritz方法研究

了简支、自由和固定边界条件下三阶剪切变形板的固有频率和振型.

针对薄壁圆柱壳构件，基于Love薄壳理论，在简支-简支、固支-固支和固支-自

由三种边界条件下，采用怎么识别假钞 解析法对高阶模态特性进行了求解，通过算例分析得到了

其高阶固有频率和三维模态振型，并通过相关文献和有限元法对振动特性进行了比

较.

1.1力学模型

如图1所示为薄壁圆柱壳模型.

在柱坐标系Oxz中，坐标原点O为端面圆心，纵向x轴与轴线重合，径向z轴

在端面径向上，切向为端面上偏离z轴初始位置的偏转角，u、v和w表示中面

上任意一点在轴向、切向和径向的位移，L、H和R分别表示薄壁圆柱壳的长度、

厚度与中面半径.

1.2模态特性求解

薄壳理论假定应力与应变服从Hooke′s定律，各点的振动位移比厚度H小得多，

基于Love壳体理论［14］采用位移u（x，，t）、v（x，，t）和w（x，，t）

表示的动力学平衡方程为

式中，‘’表示位移对时间的求导，为材料密度，L算子的表达式为

式中，Lij（i，j=1，2，3）表示微分算子，具体表达式为

选取振动位移解的形式为

式中，m表示轴向半波数，n表示周向波数，Umn、Vmn和Wmn为振型幅值

系数，Tmn（t）为模态坐标，轴向振型函数km（x）（k=u，v，w）表示为

式中，1、1和i（i=1，猪和狗相配婚姻如何 2，3，4）的数值由边界条件确定，具体表达式如下：

（1）简支-简支边界条件

（2）固支-固支边界条件

（3）固支-自由边界条件

周向振型函数kn（）（k=借方发生额 u，v，w）表示为

将式（2）代入式（1），进行Galerkin离散得

对式（8）进行积分运算，得到固有频率特征方程为

式中，cij（i，j=1，2，3）的具体表达式为

式中，

通过式（10）求解固有频率，然后利用振型函数式（2）可得到三种边界条件下对

应的三维模态振型.

利用解析法、有限元法和文献［15］，在简支-简支、固定-固定和固定-自由三种

边界条件下，求解薄壁圆柱壳的m=1～3和n=1～25阶固有频率和三维模态

振型，其材料参数和几何参数如表1所示.利用有限元程序ANSYS进行求解时，

取三维高阶实体单元SOLID186，采用VROATA命令从截面绕轴旋转生成圆柱壳

模型，通过从相邻面扫掠体的方法生成网格，共计3420个单元，19530个节点.

（1）简支-简支边界条件

在简支-简支边界条件下，采用解析法、文献和有限元法得到的各阶固有频率随轴

向半波数和周向波数变化的关系如图2所示.由图2（a）可知，通过三种方法求得

的固有频率随着周向波数的变化趋势相同，当周向波数较小时，固有频率先减小后

增大，当m=1，n=7时的固有频率达到最小值2404Hz，当周向波数继续增大

时的固有频率逐渐升高；同时，随着轴向半波数的增加固有频率也随之增加，在高

阶m=3，n=25时的固有频率达到最大值.由图2（b）可知，通过解析法与文献

和有限元法的固有频率误差比较可知，在m=1～3，n=1～25范围内，固有频

率的最大误差值均小于2%，通过文献求得的固有频率值稍大于解析法求得的结果，

而通过有限元法求得的固有频率值略小于解析法的频率值，这是因为有限元法是一

种近似方法，其模态分析只能针对线性结构，文献得到的结果是基于经验公式，而

解析法的位移解是基于梁函数的假设，导致了三种方法计算误差的宽带密码怎么改 存在.

薄壁圆柱壳的三维模态振型如表2所示，由解析法和有限元法得到的三维模态振

型相互吻合，在圆周方向上表现为均匀的花瓣形状，例如在固有频率最低的第（1，

7）阶三维模态振型表现为周向波数为7的花瓣形状；由于两端简支的边界条件对

上下两侧边界上节点的限制作用相同，引起壳体中部的振动幅度最大；最低阶模态

也是构件最容易发生共振的一阶模态，并且在低阶固有频率的振动模态以周向振动

为主.

（2）固支-固支边界条件

在固支-固支边界条件下，薄壁圆柱壳的固有频率变化曲线如图3所示，三维模态

振型如表3所示.可以看出，低阶固有频率先减小后增加，当m=1，n=7时的固

有频率最小值为3146Hz，高阶固有频率值随着周向波数的增加而逐渐升高；另外，

随着轴向半波数的增大，固有频率值也随之增大；薄壁圆柱壳构件的三维模态振型

在低阶时以周向模态振动为主，在高阶时出现轴向模态和周向模态的组合振型.这

是因为两端固支的边界条件对壳体的作用，限制了边界上各节点的全部自由度，引

起中部出思想素质 现最大振动位移.

（3）固支-自由边界条件

在固支-自由（即悬臂）边界条件下固有频率随周向波数和轴向半波数的关系曲线

如图4所示，三维模态振型图如表4所示.可以看出，利用解析法求得的固有频率

和简支-简支和固支-固支两种边界条件所求得的结果变化趋势相似，在低阶处的固

有频率值先减小后增大，最小值出现在第（1，6）阶，对应的固有频率为

1668Hz，在高阶时的固有频率随着周向波数的增加而逐渐升高；同时，随着轴向

半波数的增大固有频率明显增加；如表4所示，固支-自由边界条件下的三维模态

振型主要表现为自由端周向节点的振动，即悬臂端的振动位移最大，这是因为下端

是固定的，对于圆柱壳有较强的约束作用，而对于上部约束影响较小，引起固有频

率和模态振型发生相应变化；同时，固有频率最低的（1，6）阶对应的三维模态

振型表现为周向波数为6的花瓣形状，是构件在服役过程中容易发生共振和产生

故障的一阶模态，应当采取减振措施对振动进行预防和控制.

在简支-简支、固支-固支和固支-自由三种边界条件下，给出了求解薄壁圆柱壳高

阶模态特性的解析法，利用文献和有限元法对结果进行了比较，算例结果表明：求

得的固有频率值和文献与有限元法得到的结果变化趋势相同，固有频率的误差绝对

值在2%以内；当周向波数较小时的固有频率先减小后增加，在高阶时的固有频率

逐渐升高，当轴向半波数增加时固有频率依次增大，在简支-简支和固支-固支边界

条件下的最低阶固有频率发生在第（1，7）阶，而固支-自由边界条件下的最低阶

固有频率发生在（1，6）阶，最低阶模态也是构件在服役过程中最容易发生共振

的一阶模态；同时，通过解析法和有限元法得到的三维模态振型吻合，主要表现为

周向节点的振动，并且在低阶时以周向花瓣形状的振动模态为主，在高阶时出现轴

向模态和周向模态的组合振型.

【相关文献】

1吴家龙.弹性力学.北京：高等教育出版社，2001（g：

HigherEducationPress，2001（inChine））

2RongongJA，ssionofringvibrationmodesofhighnodal

aterialsandStructures，

1996，5（5）：672～684

3WangC，tionofnaturalfrequenciesoffinitelengthcircularcylindrical

dAcoustics，2000，59（4）：385～400

4El-KaabaziN，ationofnaturalfrequenciesandvibrationmodesof

variaers&

Structures，2012，104-105（4）：4～12

entalnaturalfrequenciesofthincylindricalshells：acomparative

lofSoundandVibration，2003，264（5）：1167～1186

6李国臣，李永强.薄壁圆柱壳固有频率的计算.机械科学与技术，2010，9（9）：1226～1229

（LiGC，atingnaturalfrequenciesofthincircularcylindricalshells.

MechanicalScienceandTechnology，2010，9（9）：1226～1229（inChine））

7杜长城，李映辉.功能梯度薄壁圆柱壳的自由振动.动力学与控制学报，2010，8（3）：219～

223（DuCC，l

ofDynamicsandControl，2010，8（3）：219～223（inChine））

8张爱国，李文达，杜敬涛等.不同边界条件正交各向异性圆柱壳结构固有振动分析.哈尔滨工程大

学学报，2014，（4）：420～425（ZhangAG，LiWD，DuJT，lvibration

analysisoftheorthotropiccylindricalshellstructurewithvariousboundaryconditions.

JournalofHarbinEngineeringUniversity，2014，（4）：420～425（inChine））

9杨毅，魏光涛，阎桂荣.圆柱壳自由振动特性分析方法研究.应用力学学报，2011，28（1）：

59～63，110（YangY，WeiGT，earchofvibrationanalysismethodsfor

eJournalofAppliedMechanics，2011，28（1）：59～63，110（in

Chine））

10陈正翔，陈维衡.圆柱壳中较高阶结构振动波的传播特性.华中理工大学学报，1997，（11）：

93～95（ChenZX，sioncharacteristicsofhigherorderstructural

lofHuazhongUniversityofScienceand

Technology，1997，（11）：93～95（inChine））

11韩清凯，王宇，李学军.旋转薄壁圆柱壳的高节径振动特性以及篦齿结构的影响.中国科学：物理

学、力学、天文学，2013，43（4）：436～458（HanQK，WangY，dal

diametervibrationcharacteristicsofrotatingshella你叫什么名字英语 ndtheeffectsofitsalingteeth.

ScientiaSinicaPhysica，Mechanica&Astronomica，2013，43（4）：436～458（in

Chine））

12李晖，孙伟，许卓等.基于激光旋转扫描的约束态薄壁圆柱壳模态振型测试新方法.振动与冲击，

2014，33（16）：155～159（LiH，SunW，XuZ，mentalmethodoflar

rotatlof

VibrationandShock，2014，33（16）：155～159（inChine））

13陈丽华，孙玥，张伟.三阶剪切变形板的振动特性研究.动力学与控制学报，2014，12（1）：

50～55（ChenLH，SunY，nvibrationcharacteristicofthirdorder

lofDynamicsandControl，2014，12（1）：

50～55（inChine））

ss，2004

15洪杰，郭宝亭，朱梓根.高速转动壳体行波振动实验研究.航空动力学，1998，13（4）：390～

394（HongJ，GuoBT，mentalinvestigationontravellingwavevibration

lofAerospacePower，1998，13（4）：390～394（in

Chine））

Received04December2014，revid27December2014.

*TheprojectsupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina（51105187）

andRearchFundforYoungTeachersofUniversityofScienceandTechnologyLiaoning

（2014QN13）