分组分解法

初中数学因式分解-分组分解法

3分组分解

整式axbybxay--+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应

用公式，这样的式子需要分组分解.

3．1三步曲

我们用上面的整式来说明如何分组分解.

例1分解因式：axbybxay--+.

解axbybxay--+

=()()axbxayby-+-［分为两组］

=()()xabyab-+-［“提”］

=()()xyab+-［再“提”］

一般地，分组分解大致分为三步：

1．将原式的项适当分组；

2．对每一组进行适当分组；

3．将经过处理后的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行

分解.

一位高明的棋手，在下棋时，决不会只看一步，同样，在进行分

组时，不仅要看到第二步，而且要看到三步.

一个整式的项有许多种分组的方法，初学者往往需要经过尝试才

能找到适当的分组方法，但是只要努力实践，多加练习，就会成为有

经验，多加练习，就会成为有经验的“行家”.

3．2殊途同归

分组的方法并不是唯一的，对于上面的整式axbybxay--+，也

可以采用下面的做法：axbybxay--+

=()()axayaxby+-+

=()()axybxy+-+

=()()xyab+-.

两种做法的效果是一样的，殊途同归！可以说，一种是按照x与y

来分组（含x的项在一组，含y的项在另一组）；另一种是按a与b

来分组.

例2分解因式：221xaxxaxa+++--.

解法一按字母x的幂来分组.

221xaxxaxa+++--

=()()()221xaxxaxa+++-+

=()()()2111xaxaa+++-+

=()()211axx++-

解法二按字母a的幂来分组.

221xaxxaxa+++--

=()()221axaxaxx+-++-

=()()2211axxxx+-++-

=()()

211axx++-.

3．3平均分配

在例2中，原式的6项是平均分配的，或都要分成三组，每组两

项；优美词句摘抄大全 或者分成两组，每组三项.

如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必

须平均分配.例3分解因式：3254222xxxxx--++-.

解6项可以分成三组，每组两项.我们把幂次相近的项放在一起，

即

3254222xxxxx--++-

=()()()5432222xxxxx-+---

=()()()42222xxxxxx-+---

=()()

4221xxx-+-.

本例也可以将6项分为两组，每组三项，即将系数为1的放在一

组，系数为－2的放在另一组，详细过程请读者自己完成.

例4分解因式：2222acbdadbc+--.

解2222acbdadbc+--

整式axbybxay--+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应

用公式，这样的式子需要分组分解.

3.4瞄准公式

如果在第二步或第三步中需要应用乘法公式，那么各组中的项数

不一定相等，应当根据

公式的特点来确定。

例5分解因式：-1-2x-x2+y2.

解：-1-2x-x2+y2

=y2-（x2+2x+1）

=y2-（x+1）2[应用公式（4）]

=（y+x+1）（y+x-1）[应用公式（1）]

本例是瞄准公式（1）与（4）来分组的。

例6分解因式：ax3+x+a+1.

解根据a的幂来分组是可以行得通的，恰好能用上公式（2），并

为下一步提公因式奠好基础。

ax3+x+a+1

=（ax3+a）+（x+1）

=a（x+1）（x2-x+1）+（x+1）[应用公式（2）]

=（x+1）（ax2-ax+a+1）[提公因式]

例7分解因式：x4+x3+2x2+x+1.

解x4+x3+2x2+x+1

=（x4+2x2+1）+（x3+x）

=（x2+1）2+x（x2+1）[公式（4）及提公因式]

=（x2+1）（x2+x+1）[提公因式]

这次是瞄准公式（4）来分组的。

3.5从零开始

如果分组分得不恰当，因式分解无法进行下去，那么就应当回到

分组前的状况，从零开始，考虑新的分组。

例8分解因式：x3+x2-y3-y2.

解如果把有x的项集在一起，有y的项集在一起，那么

x3+x2-y3-y2

=（x3+x2）-（y3+y2）

=x2（x+1）-y2（y+1）

虽然每一组都有公因式可提，但是两组之间却无公因式可提，也

没有公式可以利用，分解无法进行下去。这时，必须从零开始，重新

分组。

这一次将次数相同的项放在一起，我们有

x3+x2-y3-y2

=（x3-y3）+（x2-y2）

=（x-y）（x2+xy+y2）+(x-yram什么意思 )(x+y)[应用公式（1）、（3）]

=（x-y）（x2+xy+y2+x+y）[提公因式]

例9分解因式：ab（c2-d2）-（a2-b2）cd.

解此式无法直接进行分解，必须先用乘法分配律将原式变为四项，

再进行分组。

ab（c2-d2）-（a2-b2）cd

=abc2-abd2-a2cd+b2cd

=（爱国敬业诚信友善 abc2-a2cd）+（b2cd-abd2）

=ac（bc-ad）+bd（bc-ad）

习题3将以下各式分解因式：

-ay+bx+cy-cx-by

2.x4+x3+x2+1

3.a(1-b+b2)-1+b-b2

4.4x(a2+x2)-a2-x2

2+bxy-axy-y2

6.a2b3-abc2d+ab2cd-c3d2

7.32ac2+15cx2-48ax2-10c3

8.2(x2-3ab)+x(4a-3b)

9.x3-x+y3-y

10.x3+y3+x2+2xy+y2

1羽毛球如何扣杀 1.4a2-b2+c2-9d2+4ac+6bd

12.a(1-b)2-1+2b-b2

13.x(x+z)-y(y+z)

14.x3+bx2+ax+ab

3+bcx2+a礼仪手抄报 dx+bd

16.a4+a3b-ab3-b4

17.a4-a3b-ab3+b4

18.a2b2-a2-b2+1

19.x2y2-x2z2-y2z2+z4

20.x2y2z2-x2z-y2z扇子功 +1

21.x4+x3y+xz3+yz3

22.(a+b)2+(a+c)2-(c+d)2-(b+d)2

(y3+b3)+by(bx2+a2y)

24.(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3+a3+b3+c3

【答案】

1.(x-y)(a+b-c)

2.(x+1)(x3+x-1)

3.(1-b+b2)(a-1)

4.(a2+x2)(4x-1)

5.(bx-y)(ax+y)

6.(ab+cd)(ab2-c2d)

7.(2c2-3x2)(16a-5c)

8.(x+2a)(2x-3b)

9.(x+y)(x2-xy+y2-1)

10.(x+y)(x2-xy+y2+x+y)

11.(2a+c+b-3d)(2a+c-b+3d)

12.(1-b)2(a-1)

13.(x-y)(x+y+z)

14.(x+b)(x2+a)

15.(ax+b)(cx2+d)

16.(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)

17.(a-b)2(a2+ab+b2)

18.(a+1)(a-1)(b+1)(b-1)

19.(x+z)(x-z)(y+z)(y-z)

20.(y2z-1)(x2z-1)

21.(x+y)(x+z)(x2-xz+z2)

22.2(a+b+c+d)(a-d)

23.(b2x+ay2)(xy+ab)

24.3(a+b+c)(a2+b2+c2)

重组分解法

将原来的式子展开，然后重新分组进行因式分解

【例1】分解因式：22()4ababc-+-

【巩固】分解因式：()()xxsun什么意思 zyyz+-+

【巩固】分解因式：(1)(2)6xxx---

【例2】(泰安中考题)因式分解：2(2)(3)4xxx+++-=．

【例3】分解因式：222(1)()abxxab+++

【巩固】分解因式：222222()()axbyaybxcxcy++-++

【例4】分解因式：43221xxxx++++