渐近线公式

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双曲线渐近线方程

百科名片

双曲线渐近线方程

双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际

中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。双曲线的主要特点：

无限接近，但不可以相交。分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐

近线。是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。

渐近线特点：无限接近，但不可以相交。分为铅直渐近

线、水平渐近线和斜渐近线。

当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条

直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐

近线。

需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线

反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。

根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、

垂直渐近线、斜渐近线。

y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，

y=0为其渐近线方程

当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是

y=[+(-)b/a]x

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当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是

y=[+(-)a/b]x

双曲线的简单几何性质

1.双曲线x^2/a^2-y^2/b^2＝1的简单几何性质

(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.

(2)对称性：双曲线的对称性及椭圆完全相同，关于x轴、

y轴及原点中心对称.

(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段

为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.及椭圆不同.

(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝b/ax，或令

双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2＝1中的1为零即得渐近

线方程.

(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开

阔.

(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐

近线方程为y＝b/ax,离心率e＝c/a=√2(7)共轭双曲线：

方程-＝1及-＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线

和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.

注重：

1.及双曲线-＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为-

＝(≠0且为待定常数)

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2.及椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为

-＝1(＜a2,其中b2-＞0时为椭圆，b2＜＜a2时为

双曲线)

2.双曲线的第二定义

平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c

的距离之比等于常数e＝c/a(c＞a＞0)的点的轨迹是双曲

线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦

参数)p＝，及椭圆相同.

3.焦半径(-＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在

双曲线-＝1名英语怎么说 的右支上时，｜pF1｜＝ex0a王维世称什么 ,｜pF2｜＝

ex0-a;

P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a｜PF2｜＝ex1-a.

本节学习要求：

学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭

圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲

线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质

列表对比，便于把握.

双曲线的几何性质及代数中的方程、平面几何的知识联

系密切；直线及双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一

元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题及直

线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.

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通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学

态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证

唯物主义世界观教育.

双曲线的渐近线教案

教学目的

(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双

曲线的渐近线来画双曲线的图形．

(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线语文书三年级下册 求双曲

线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和

解决问题的能力．

教学过程

一、揭示课题

师：给出双曲西班牙足球队 线的方程，我们能把双曲线画出来

吗？

生(众)：能画出来．

师：能画得比较精确点吗？

(学生默然．)

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其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸

展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问

题．如曲线

我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知

道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越

的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越

来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它

的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双

曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向

如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨

论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．

(板书课题：双曲线的渐近线．)

二、讲述定义

师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和

顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a

是怎样得出来的？

直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲

线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象

限的情况．

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设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则

考察一下y变化的范围：

因为x2－a2＜x2，所以

这个不等式意味着什么？

(稍停，学生思考．)

平面区域．

之间(含x轴部分)暑假实践报告 ．这样，我们就进一步缩小了双曲

线所在区域的范围．

为此，我们考虑下列问题：

经过A2、A1作y轴的平行线x＝a，经过B2、B1

作x轴的平行线y＝b，

以看出，双曲线

的各支向外延伸时，及这两条直线逐渐接近．

下面，我们来证明这个事实．

双曲线在第一象限内的方程可写成

设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线

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上及M有相同横坐标的点，则

设|MQ|是点M到直线

的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|

逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近

于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON

的下方逐渐接近于射线ON．

在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两

条直线

叫做双曲线的渐近线．

现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程

是怎样的？由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴

在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，

自然，前者

这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的

问题，从而可比较精确地画出双

手画出比较精确的双曲线．

[提出问题，解决问题，善始善终．]

三、初步练习

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(根据由双曲线求出它的渐近线方程及由渐近线

求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生

练习．)

1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的

一般式)，并画出双曲线：

(1)4x2－y2＝4；(2)4x2－y2＝－4．

2．已知双曲线的渐近线方程为x2y＝0，且双

曲线过点：

求双曲线方程并画出双曲线．

(练习毕，由学生回答，教师总结．)

解题的主要步骤：

第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求

得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．

第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准

方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一

个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b

的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，

写出双曲线方程．

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师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练

习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由

渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正

向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的

难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，

而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方

程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较

困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决

逆向问题的能力．

[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知

识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]

四、建立法则

师：仔细分析一下上述练习的结果：

双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2xy＝

0．

双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2xy

＝0．

双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x2y＝

0．

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双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x2y

＝0．

可以发现，双曲线及其渐近线的方程之间似乎存

在某种规律．

(启发学生讨论、归纳．)

生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常

数项改为零，就得到渐近线方程．

生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y

的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方

程．

生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么

渐近线方程就相同，及常数项无关．

生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程

的二次项就相同，常数可以不同．

生戊：应该说二次项系数成比例．

师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，

还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，

把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？

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把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？

点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．

就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线微信励志网名 也可

看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，

b2x2－a2y2＝0，

即bxay＝0；

b2y2－a2x2＝0，

即byax＝0．

所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐

近线方程．这具有一般性吗？也就是说对任意双曲线

A2x2－B2y2＝C(C≠0)

它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0？回答是肯

定的．

分情况证明一下：

C＞0，A2x2－B2y2＝C，

故渐近线方程为

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也可以化成AxBy＝0，

即A2x2－B2y2＝0．

其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近

线方程为

AxBy＝0

的双曲线方程是什么？可以证明是：A2x2－B2y2＝

C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴

上．因此，我们得到下列法则：

(1)双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是

A2x2－B2y2＝0；

(2)渐近线方程是AxBy＝0的双曲线方程是

A2x2－B2y2＝C

(C≠0的待定常数)．

现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？

生：因为渐近线方程是x2y＝0，所以双曲线方

程为

x2－4y2＝C．

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∴双曲线方程为x2－4y2＝4．

∴双曲线方程为x2－4y2＝－4．

[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生

得到解题能力的培养．]

五、巩固应用

师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法

则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．

2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之

积是个常数．

(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)

师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．

由双曲线求渐近线：

由渐近线求双曲线：

二是直接运用法则．

练习2的解法如下：

六、布置作业

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课本练习；略．

教案说明

(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出

渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线

所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，

也是顺应怎么练习普通话 认识的需要，为了对双曲线作深入的研

究．我认为这些做法都是比较自然的．

(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双

曲线及其渐近线的互求的方法．

本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．

(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，

也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提

高观察能力、归纳总结能力的一种训练．