数学史概论

数学史研究之微积分的发展

这学期，我选修了数学史这门课程，听了一个学期下来，随着老师的精心讲解，我

对数学又有了重新的认识，以前只是学习、做题，数学题倒是做了不少，可是真要说对

数学的认识，还有很大的差距，甚至连概念都数不清楚，所以，想要学好数学，对数学

史的研究必不可少。数学史，顾名思义，分开来理解，数学与历史，他的研究对象涉及

到数学以及历史，所以和传统的数学研究方法又不同，他着重于研究过去历史上的数学

方法，数到历史，他又为我们展现了数学的一个发展过程，带我们走过了几千年的数学

历史，从简单到复杂，逐步为我们剖析，使我们对数学的发展过程有了大概的了解，作

为一个当代大学生，我想大家都有必要了解这些，数学在当今社会已变得越来越重要以

及普遍，几乎涉及到每个方面，所以学好数学对每一个人的思维锻炼有很大好处。

谈到高等数学，大学生能应该都知道，这是大学必修的基础学科。而其中微积分又

是重中之重，贯穿整个高等数学，以及其他理工课程。学好微积分，对深入学习一些课

程很重要。微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在18世纪，微积分进一步

深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产

生，从而形成了“分析”这样一个在观念上和方法上都具有鲜明特点的数学领域。在数

学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过度的重要时期。

微积分学的触角几乎遍至当今科学的各个角落,是当代科学大厦的重要石,微积分的

发展过程是数学家集体智慧的结晶。微积分的发展大致可分为以下4个阶段:早期萌芽,

酝酿时期,创建期,发展完善期。

一：早起萌芽

微积分，顾名思义，涉及到微分与积分，他们的发展是独立的，接下来我想大家分

别介绍。

1．积分学

积分学的思想萌芽可以追溯到古代,因为面积与体积的计算自古以来一直是数学家

们感兴趣的课题,这里介绍几位具有突出贡献的数学家以及他们的学术理论,他们的理论

代表着数学研究的思想、精神和方法。

古希腊数学家欧多克斯(约公元前410-前347年)发展安提丰的“穷竭法”为“设给

定两个不相等的量,如果以较大的量减去比它的一半大的量,再以所得量减去比这个量的

一半大的量,继续重复这一过程,必有某个量将小于给定的较小的量”。欧多克斯的穷竭

法可看作微积分的第一步,但没有明确地用极限概念,也回避了“无穷小”概念,并证明

了“棱椎体积是同等同高的棱柱体积的三分之一”。古希腊数学家阿基米德(公元前287

-前212)在《处理力学问题的方法》一文中阐明了“平衡法”,即“将需要求积的量(面

积、体积等)分成许多微小单元(如微小线段、薄片等),再用另一组微小单元来进行比较,

而后一组小单元的总和是可以计算的,但它要借助于海洋性贫血 杠杆的平衡原理来计算”。实质上

“平衡法”是一种原始的“积分法”。阿基米德用“平衡法”证明了球体积公式:球体

积=

4

3

3R,且等于外切圆柱体积的

2

3

。

中国数学家刘徽(生于公元263年),发明了“割圆术”———“割之弥细,所失弥少,

割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,并求得圆周率≈3.14。

祖暅(5世纪-6世纪),解决了刘徽绞尽脑汁未果的求球体积问题,祖用的方法是祖氏

定理“幂势既同,则积不容异”和“岀入相补原理”,祖暅的球体积公式为V球=

1

6

3D(D为球的直径)。

2．微分学

与积分学相比,微分学的起源则要晚得多,早期应用微分学思想是静止的,不是动态

的,与现代微积分相差甚远。

二：酝酿时期

15,16世纪在欧洲文艺复兴的高潮中,数学的发展与科学的革命紧密结合在一起,提

出了以下亟待解决的问题:

(1)如何确定非匀速运动物体的速度与加速度及瞬时变化率问题。

(2)望远镜的设计需要确定透镜曲面上任意一点的法线,求任意曲线切线的连续变化

问题。

(3)确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、

极小值问题。

(4)行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等。

为解决科学发展所带来的一系列问题,17世纪上半叶被人们遗忘千年的微积分重又

成为重点研究对象,几乎所有的科学大师都竭力寻求这些问题的解决方法,有代表性的成

果有以下几个方面:

1．开普勒与旋转体体积

德国天文学家、数学家开普勒(1571-1630)在1615年发表的《测量酒桶的新立体几

何》中,采用“用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积”。例

如,他认为球的体积是无数个小圆锥的体积的和,这些圆锥的顶点在球心日本签证要求 ,底面则是球的

一部分;他又把圆锥面看作极薄的圆盘之和,并由此计算出它的体积,然后得出球体体积

为:球的半径乘以球面面积的三分之一(V=R42R

1

3

)。

2．卡瓦列里不可分量原理

意大利数学家卡瓦列里(1598-1647)在《用新方法促进的连续不可分量的几何学》

中发展了系统的不可分量方法:“两个等高的立体,如果它们的平行于底面且离开底面有

相等距离的截面望洞庭湖赠张丞相 面积之比为定值,那么这两个立体的体积之间也有同样的比”(当比为1:

1时,就是祖原理,只不过相差1000多年),并于1639年利用平面上不可分量原理建立了等

价于积分

a

1

0

1

n

n

a

xdx

n







的基本结果,使早期积分突破体积计算的现实原型而向一般

算法过渡。

3．沃利斯“无穷算术”

英国数学家沃利斯(1616-1703)是牛顿和莱布尼茨之前将分析方法引入微积分贡

献最大的数学家,并在《无穷算术》中用“分析”的途径发展积分法,并获得许多重要成

果,比如将幂函数积分公式

a

1

0

1

n

n

a

xdx

n







推及到分数幂





1

0

1p+q

a

pq

pqpqq

aq

xdxa

pq







,不过沃利斯仅对q=1的特例给出了证明。

4．笛卡尔“圆法”

法国数学家笛卡尔(1596-1650)在《几何学》中提到了用代数方法求切线的方法

———“圆法”。笛卡尔的代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响,牛顿

就是以笛卡尔的“圆法”为起跑点而踏上研究微积分的道路的。

5．费马求极大值与极小值的方法

法国业余数学家费马(1601-1665)在给梅森的一封信中提出了求极大值与极小值

的代数的方法。按费马的方法,设函数f(x)在点a处取值,用a+e代替原来的未知量a,

并使f(a+e)与f(a)逼近,消去公共项后,用e除两边再令e消失,即

0

()()

0

a

faefa

e













,此方程求得的a就是f(x)的极值点。

6．巴罗微分三角

英国数学家巴罗(1630-1677)在《几何讲义》中应用“微分三角形”给出了求曲线

切线的方法,这对于他的学生牛顿完成微积分理论起到了重要作用。

三：微积分学的创建

微积分学是由牛顿与莱布尼茨分别独立创建的。

1.牛顿的“流数术”

英国数学家牛顿(1642-1727)于1665年11月发明“正流数术”(微分法),1666年5

月建立“反流数术”(积分法)。1666年10月,牛顿将前两年的工作总结为《流数简论》,

明确了现代微积分的基本方法,是历史上第1篇系统的微积分文献。牛顿将自古希腊以来

的求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法)———正、反流数术(流数就是

微商),并证明了二者的互逆关系,将这两类运算进一步统一成整体,这是他超越前人的功

绩,也正是在这样的定义下,我们说牛顿发明了微积分。应用微积分理论,牛顿在1687-

1693年里相继发表了《运用无限多项方程的分析猪的网名 》(《分析学》)、《流数术与无穷级数》

(《流数法》)、《曲线求积术》(《求积术》)。在这些文献中他改变了自己对无限小

量的依赖,提出了极限方法的先导“首末比方法”,第1次引进流数记号,一次流数x,y,z,

二次流数

x



,y



,z



等。

2.莱布尼茨

德国数学家莱布尼茨(1646-1716)是从巴罗的“微分三角形”切入微积分研究工

作的,他在研究“微分三角形”时认识到:“求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标

的差值在变成无限小时之比;求曲线的面积则依赖于无限小区间上的纵坐标之和”。早

在1666年,莱布尼茨在《组合艺术》一书中讨论过数列问题并求得许多重要结论。1972年

开始,莱布尼茨将他对数列研究的结果与微积分运算结合起来,1675年10月29日的一份手

稿中,他决定用sum拉长的s,∫表示积分,1676年11月,莱布尼茨已经能够给出幂函数的

微分与积分公式:1eedxexdx与

1

1

e

e

x

xdx

e







(其中不一定是正整数)。1677年,

莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理

()()()

b

a

fxdxFbFa)。

3．优先权之争

瑞士数学家德丢勒于1699年在一本小册子中提出:“牛顿是微积分的第一发明人”

“莱布尼茨是微积分的第二发明人”。从而引发了牛顿与莱布尼茨“发明微积分”优先

权的争论,这场争论被称为“科学史上最不幸的一章”,并导致了英国与欧洲国家在数学

发展上的分道扬镳。事实上,牛顿与莱布尼茨是相互独立的发明微积分的。

四：微积分的完善时期

牛顿与莱布尼茨的微积分还只能说是姗姗学步的孩童时期,还很不完善对勾怎么打出来 ,历经众多数

学大家的发展才有了今天的面貌,主要代表人物有:瑞士数学家欧拉(1707———1783)在

1748年出版的《无限小分析引论》以及随后发表的《微分学》和《积分学》中同时引进

了一批标准的符号,如:f(x)—函数符号,—求和符号,e—自然对数底,i—虚

数号等等,对分析表达的规范化起了重要作用。法国数学家柯西(1789-1851)在《分析

教程》和《无限小计算教程概论》中,以严格化为目标,对微积分的基本概念如变量、函

数、极限、连续性、导数、微分等给出了明确的定义,并在此基础上重建关于元宵节的手抄报 和拓展了微积

分的一些重要事实与定理,如证明连续函数的积分(作为和式的极限)的存在性、证明级

数Sn收敛的判别准则、中值定理等,柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键辩论赛题目 的一

步。但由于实数系的不明确,微积分还不够完善,逻辑上仍存在着一些问题,这导致了19

世纪后半叶数学史上着名的“分析算术化”运动。德国数学家维尔斯特拉斯(1815-

1897)认为实数系是解决极限与连续等概念的关键,从而成为全部分析的本源。要使分析

严格化,必须使实数系严格化,最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为

整数(有理数),这样分析的所有概念便可由整数导出,使以往的漏洞和缺陷都能得以填

补。这就是“分析算术化”纲领。维尔斯特拉斯和他的学生们为实现这一纲领付出了艰

苦的努力并获得了很大的成功。现代的-语言就是由他创造的,也为他博

得了“现代分析之父”的称号。

微积分学至此基本发展完善。

以上是我对微积分学的发展的一个描述，相信通过这篇论文，我已经对微积分有了

更深了解，对我的数学知识得到了更大的补充，对数学史上的成就也有了更深的了解，

学好数学很重要。

参考文献：

1．《数学史概论》李文林高等教育出版社

2．《微积分发展概论》（美）卡尔.B.波耶复旦大学出版社