两点间的距离公式

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第1页

3.3直线的交点坐标与距离

公式

3.3.2两点间的距离

【教材导读】

一、情景导入

已知平面上点A（1,3），你能求出A点与

原点之间的距离吗？若已知平面上任意两

点的坐标，又该如何求得这两点之间的距

离？

二、教材导读

1.两点间距离公式的推导

已知平面上点A（1,3），

在平面直角坐标系中建立直

角三角形，

由勾股定理可求得A点

与原点O之间的距离：

223110d

那么已知平面上任意两点

),(

111

yxP，),(

222

yxP，是否能用相同方

法求得

21

PP的距离呢？

阅读教材P

104

内容，掌握应用几何方

法推导出两点间距离公式的过程.

2.两点间的距离公式

平面上两点),(

111

yxP，),(

222

yxP

间的距离公式：

2

12

2

1221

)()(yyxxPP

由公式可知，原点)0,0(O与任一点

),(yxP的距离22yxOP；

3.在梦绕魂牵 《平面向量》一章中我们通过向量的模

也得到了两点间的距离公式：平面上两点

),(

111

yxP，),(

222

yxP，则：

（1）

122121

(,)PPxxyy

（2）22

122121

||()()PPxxyy

注意比较两种情形下推证方法.

4.沙尔定理:设A、B是

x

轴上任意一条有

向线段，O是原点，OA=

1

x

，OB=

2

x

，那么

有ABOBOA：

21

(,0),ABxx

12

(,0),BAxx于是

21

||||ABxx

显然，在直角坐标系内，与坐标轴平行的

直线上的有向线段也符合沙尔定理.

由此我们理解两点间距离公式的特例：

（1）当

21

PP

y轴时，

21

yy，

1221

xxPP；

（2）当

21

PPx

轴时，

21

xx，

1221

yyPP.

请完成自主评价1

【课堂点金】

一、重难点突破

1.熟悉两点间距离公式

例1．在直线

20xy

上求一点P，使它到

点

(5,8)M

的距离为５，并求直线PM的方

程.

【解析】利用两点间的距离公式建立关系.

∵点P在直线

20xy

上，

∴可设

(,2)Paa

，

根据两点的距离公式得：

222

25)82()5(aaPM

即0644252aa

解得

32

2

5

aa或

，∴

3264

(2,4)(,)

55

P或

．

∴直线PM的方程为

8585

6432

4825

85

55

yxyx







或，

即4340247640xyxy或

【评析】通过运算熟练掌握两点间距离公式.

【变式1】求与A（32，10），B（42，0），

B

A

O

y

x

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第2页

C（0，0）等距离点的坐标.

【解析】

2.两点间距离公式的应用

例2.以点A（1，3），B（－2，8），C（7，5）

为顶点的ABC是

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

【解析】方法一（综合法）：根据两点的距

离公式及余弦定理可以判断三角形的形状.

只需判断最大角，由余弦定理，：

∴

为钝角.

故ABC为钝角三角形，选C.

方法二（向量法）：由题意：

(3,5),(6,2)ABAC,故

(3,5)(6,2)181080ABAC

为钝角,ABC为钝角三角形，

选C.

【变式2】已知两点5cos,5sin,M

4cos,4sinN，求的最大值.

【解析】

例3．等腰直角三角形ABC的直角顶点C

和顶点B都在直

线2x+y–6=0上，

顶点A的坐标是

(1,–1)，求边AB,

AC所在的直线方

程.

【解析】从确定直

线AB,AC的条件入手，直线AC满足:经过

点A且垂直于直线2x+y–6=0,直线AB满足:

经过点A且与直线2x+y–6=0成

4



角，（或

|AB|等于点A到直线2x+y–6=0的距离的

2倍）

解法1（从距离入手）AC垂直于直线

2x+y–6=0，设直线AC的方程为x-2y+c=0,

把A(1,–1)代入得c=-3,故直线AC的方程为

x-2y-3=0,

10||5

5

5

||ABAC，设B(x,y),

则

22(1)(1)10

260

xy

xy

















，

解得)2,2(B或)2,4(B，所以直线AB的方

程为043yx或023yx

解法2（从角度入手）:直线AC的斜率为

2

1

，

由点斜式并化简得，直线AC的方程为

x-2y-3=0.

考虑直线AB,AC的夹角为

4



，设直线AB,

AC的方向向量分别为

),1(),1,2(knm

则

2

2

)1(5

|2|

|,cos|

2









k

k

nm，解得

B

A

P

O

y

x

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第3页

3k或

3

1

k，所以直线AB的方程为

043yx或023yx

【评析】求直线方程的一般步骤:(1)寻找所

求直线的满足的两个条件；(2)将条件转化,

使转化后的条件更利于列出方程组；(3)列

方程组求解.

【变式3】过点P（2，1）作直线l分别交

x,y轴于A,B两点，求|PA|||PB|取得最小值

时直线l的方程.

【解析】

【评析】设直线方程要从条件和结论两方面

考虑，为更好表示|PA|||PB|和|OA|||OB|,本题

用点斜式设出方程或用设倾斜角的补角最

简便.

二、教材挖掘

1.利用向量的模推导两点间的距离公式：

若向量),(yxa，则22yxa.

若已知平面上两点),(

111

yxP，),(

222

yxP，

则向量，),(

121221

yyxxPP

2

12

2

1221

)()(yyxxPP

即：平面上两点),(

111

yxP，),(

222

yxP的

距离公式为

2

12

2

1221

)()(yyxxPP.

【例3】在logo介绍 平面直角坐标系xOy中，已知点

(1,2),(2,3),(2,1)ABC，求以线段

,ABAC为邻边的平行四边形两条对角线

的长.

【解析】方法一:

由题设知

(3,5),(1,1)ABAC

，则

(2,6),(4,4).ABACABAC

∴

||210,||AC

故所求的两条对角线的长分别为42、

210.

方法二:设该平行四边形的第四个顶点为D，

两条对角线的交点为E，则:

E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，

所以D（1，4）.

故所求的两条对角线的长分别为

BC=42、AD=210.

【评析】体会向量是解决几何问题的一种工

具，使用向量解决问题有时能使问题简单化.

2.坐标法

教材P

105

例4巧克力曲奇饼干 揭示了解析几何最基本的

方法——坐标法（或称解析法），即将几何

问题转化为坐标平面儿儿童睡前故事 内的代数问题求解.坐

标法既是解析几何学的基本方法，更是代数

与几何紧密结合的桥梁.这里要注意两点：

（1）如何根据图形恰当建立坐标系？要注

意图形的对称性、是否有垂直关系或定值线

段等，恰当建系可以简化运算.

（2）坐标法的基本步骤:

第一步：建立坐标系，用

坐标表示有关的量.

第三步：把代数运算结果

“翻译”成几何关系.

第二步：进行有关代数运

算.

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第4页

例4.求证：平行四边形的两条扁豆炒肉 对角线的平方

和等于各边平方的和。

【解析】这是教材P

105

例4，我们另证如下，

旨在帮助大家理解建

系方法及解析法：

证明：以平行四边形

ABCD对角线BD所

在直线为x轴，BD中

点O为原点建立平面直角坐标系，设A（b,

c），D（a,0），则B（－a,0）

可得222||()ABabc

∴22222||||2()ABADabc

∴2222|||||||ABADCDBC

2224abc



2222

222

|||4||4||

4

ACBDAOOD

abc





因此，

ACBDABADCDBC222222

【评析】要理解上述解决问题的基本步骤，

对每一步要细究之：

(1)常见建系方法有三：定值线段法（条件中

有定值线段）、定角法（条件中有定角）、垂

线法（条件中有垂直关系）.

（2）解析几何的运算是数学学习的拦路虎，

需认真对待.

三、总结提升

1.本课知识结构框图

2.拓展性知识

（1）直线上两点间的距离公式：设

A、B是斜率为k的直线

l上的两点，求证：

2

12

||1||ABkxx

【解析】由直线AB的斜率为k，可设直线

AB的方程为ykxb，由于直线经过A

和B，

故

1122

,ykxbykxb，从而

22

1212

22

1212

||()()

()()

ABxxyy

xxkxbkxb小老鼠的漫长一夜





222

1212

(1)()1||kxxkxx

【评析】（1）本题结论揭示了利用直线斜率

等元素进行刻画直线上两点间的距离，请大

家记住这一结论，在后续学习中大大的有

用！

（2）这一结论的几何意义如下：如图，斜

率为k的直线l有两点A和B

，分别过

点A作y

轴垂线、

过B作x

轴垂线，两垂线交于点C,设直线l的倾斜角

为



.在Rt△ABC中，

21

||||ACxx

||cosAB

或

21

||||||cos()ACxxAB

||cosAB，故21

||

||

|cos|

xx

AB





.

事实上，2211tank

直角三角形

勾股定理

两点间的

距离公式

用代数方法

解决几何问题





l

O

C

B

A

y

x



-





l

O

C

B

A

y

x

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第5页

222

22

2

sincossin

1

coscos

11

|cos|

cos















（2）两相交直线的夹角

定义两相交直线

12

,ll所组成的不大

于900的角



为直线

12

,ll所成角（也称直

线

12

,ll的夹角）.易知00(0,90].

设直线

12

,ll

的方向向量分别为,ab小品招聘 ，那么

cos|cos,|

||||









ab

ab

ab

.

我们可以利用这一关系求解两相交

直线的夹角大小（参见例3解法2）.

3.问鼎高考

已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，

0）距离的比为2，点N到直线PM的距离

为1．求直线PN的方程．

【解析】设点P的坐标为),(yx，由题设有

2

PN

PM

，即

2222)1(2)1(yxyx，

整理得：

01622xyx①

因为点N到PM的距离为1，2MN，

所以∠PMN＝30，

直线PM的斜率为

3

3

，

直线PM的方程为

)1(

3

3

xy②

将②式代入①式整理得0142xx．

解得

32,32

21

xx

．

代入②式得点P的坐标为

)31,32(

或

)31,32(

；

)31,32(

或

)31,32(

．

直线PN的方程为：

1xy或1xy．

【自主评价】

【自主评价1】

1．已知

(2,1),(2,5)AB

，则|AB|等于（）

A.4B.10C.6D.213

【自主评价2】

一、选择题

1．已知点

(2,1),(,3)ABa

且5AB，则

a的值为（）.

A.1B.－5C.1或－5D.－1或5

2．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB

的中点M的坐标是

(3,4)

，则AB的长为

（）

A.10B.5C.8D.6

3．已知

(1,2),(0,4)AB

，点C在x轴上，

且BCAC，则点C的坐标为（）

A.

11

(,0)

2



B.

11

(0,)

2



C.

11

(0,)

2

D.

11

(,0)

2

4．过点)1,4(aA和)1,5(bB的直线与直

线3xy垂直，则AB的值为（）

A.6B.2C.2D.不能确定

5.若都在直线

3yxk上，点(,)Tac在直线

10xy上，则=（）

A．2()acB．2C．

1

2

D．

3

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第6页

二、填空题

6．已知

(7,8),(10,4),(2,4)ABC

，则BC边

上的中线AM的长为.

7.已知点P的纵坐标是1，点P与点

)5,1(N间的距离等于54，则点P的坐

标为

8.已知正△ABC的两个顶点A（2，0），B（4，

2），则顶点C的坐标为_______________.

三、解答题

9.(1)已知点

(1,2),(3,4),(5,0)ABC

，判断

ABC的形状．

(2)已知点A(2,-3),若点P在直线

07yx上,求线段AP的最小值.

【解析】

.

10.已知：ABC中，AO是BC边上的中线.

用解析法证明：

ABACAOOC22222

.

证明：

【自主评价3】

讨论直线l:y=kx－1与二次函数C:y=

x2的图象的位置关系,并在l与C相交时,

求交点间的距离(用k表示).

【评析】l与C相交时，|AB|也可以使用《拓

展性知识》并结合韦达定理求解：

2

12

22

1212

22

42

||1||

1()4

14

34

ABkxx

kxxxx

kk

kk



人教版 





此解法更具一般性，需仔细体会之.