炳叔

第2讲等差数列及其前n项和

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．(2014苏北四市二模)记S

n

为等差数列{a

n

}的前n项和，若

S

3

3

－

S

2

2

＝1，则其公

差d＝________.

解析由

S

3

3

－

S

2

2

＝1，得

a

1

＋a

2

＋a

3

3

－

a

1

＋a

2

2

＝1，

即a

1

＋d－













a

1

＋

d

2

＝1，∴d＝2.

答案2

2．(2014肇庆二模)在等差数列{a

n

}中，a

15

＝33，a

25

＝66，则a

35

＝________.

解析a

25

－a

15

＝10d＝66－33＝33，∴a

35

＝a

25

＋10d＝66＋33＝99.

答案99

3．设S

n

为等差数列{a

n

}的前n项和，S

2

＝S

6

，a

4

＝1，则a

5

＝________.

解析由题意知











2a

1

＋d＝6a

1

＋

65

2

d，

a

1

＋3d＝1，

解得







a

1

＝7，

d＝－2，

∴a

5

＝a

4

＋d＝1＋(－2)＝－1.

答案－1

4．(2014天津卷数学日记二年级 梦见自己被人杀了 改编)设{a

n

}是首项为a

1

，公差为－1的等差数列，S

n

为其前n

项和．若S

1

，S

2

，S

4

成等比数列，则a

1

＝________.

解析由题意知S

1

＝a

1

，S

2

＝2a

1

－1，S

4

＝4a

1

－6，因为S

1

，S

2

，S

4

成等比数

列，所以S2

2

＝S

1

S

4

，

即(2a

1

－1)2＝a

1

(4a

1

－6)，解得a

1

＝－

1

2

.

答案－

1

2

5．(2015石家庄模拟)已知等差数列{a

n

}，且3(a

3

＋a

5

)＋2(a

7

＋a

10

＋a

13

)＝48，则

数列{a

n

}的前13项之和为________有关挫折的作文 ．

解析因为{a

n

}是等差数列，所以3(a

3

＋a

5

)＋2(a

7

＋a

10

＋a

13

)＝6a

4

＋6a

10

＝48，

所以a

4

＋a

10

＝8，其前13项的和为

13a

1

＋a

13



2

＝

13a

4

＋a

10



2

＝

138

2

＝52.

答案52

6．(2015广州综合测试)设S

n

是等差数列{a

n

}的前n项和，公差中国神话传说 d≠0，若S

11

＝

132，a

3

＋a

k

＝24，则正整数k的值为________．

解析依题意得S

11

＝

11a

1

＋a

11



2

＝11a

6

＝132，a

6

＝12，于是有a

3

＋a

k

＝24＝

2a

6

，因此3＋k＝26＝12，k＝9.

答案9

7．(2014武汉调研)已知数列{a

n

}满足a

n＋1

＝a

n

－

5

7

，且a

1

＝5，设{a

n

}的前n项和

为S

n

，则使得S

n

取得最大值的序号n的值为________．

解析由题意可知数列{a

n

}是首祝贺图片 项为5，公差为－

5

7

的等差数列，所以a

n

＝5

－

5

7

(n－1)＝

40－5n

7

，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是

负数项，所以S

n

取得最大值时，n＝7或8.

答案7或8

8．已知等差数列{a

n

}中，S

3

＝9，S

6

＝36，则a

7

＋a

8

＋a

9

＝________.

解析∵{a

n

}为等差数列，

∴S

3

，S

6

－S

3

，S

9

－S

6

成等差数列，

∴2(S

6

－S

3

)＝S

3

＋(S

9

－S

6

)，

∴a

7

＋a

8

＋a

9

＝S

9

－S

6

＝2(S

6

－S

3

)－S

3

＝2(36－9)－9＝45.

答案45

二、解答题

9．设数列{a

n

}的前n项和为S

n

，a

1

＝1，a

n

＝

S

n

n

＋2(n－1)(n∈N*)．求证：数列{a

n

}

为等差数列，并求a

n

与S

n

.

证明由a

n

＝

S

n

n

＋2(n－1)，得S

n

＝na

n

－2n(n－1)(n∈N*)．

当n≥2时，a

n

＝S

n

－S

n－1

＝na

n

－(n－1)a

n－1

－4(n－1)，

即a

n

－a

n－1

＝4，

故数列{a

n

}是以1为首项，4为公差的等差数列．

于是，a

n

＝4n－3，S

n

＝

a

1

＋a

n

n

2

＝2n2－n(n∈N*)．

10．已知等差数列{a

n

}的公差d＝1，前n项和为S

n

.

(1)若1，a

1

，a

3

成等比数列，求a

1

；

(2)若S

5

＞a

1

a

9

，求a

1

的取值范围．

解(1)因为数列{a

n

}的公差d＝1，且1，a

1

，a

3

成等比数列，所以a2

1

＝1(a

1

＋2)，即a2

1

－a

1

－2＝0，解得a

1

＝－1或2.

(2)因为数列{a

n

}的公差d＝1，且S

5

＞a

1

a

9

，所以5a

1

＋10＞a2

1

＋8a

1

，即a2

1

＋

3a

1

－10＜0，解得－5＜a

1

＜2.

故a

1

的取值范围是(－5,2)．

能力提升题组

(建议用时：25分钟)

1．(2015东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书

中有一道这样的题目：把100个面包给5个人，使每人所得成等差数列，且

使较大的三份之和的

1

7

是较小的两份之和，则最小的一份为_______难忘战友 _．

解析依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a－2m，a－m，

a，a＋m，a＋2m，则有







5a＝100，

a＋a＋m＋a＋2m＝7a－2m＋a－m，

解得a＝20，m＝

11a

24

，a－2m＝

a

12

＝

5

3

，即其中最小一份为

5

3

.

答案

5

3

2．(2014苏北四市调研)已知S

n

是等差数列{a

n

}的前n项和，若S

7

＝7，S

15

＝75，

则数列











S

n

n

的前20项和为________．

解析记等差数列{a

n

}的公差为d，则有

S

n

n

＝a

1

＋

n－1

2

d，







a

1

＋3d＝1，

a

1

＋7d＝5，

由此

解得a

1

＝－2，d＝1，

S

n

n

＝

n－5

2

，故

S

n＋1

n＋1

－

S

n

n

＝

1

2

，则数列











S

n

n

是等差数列，所

以数列











S

n

n

的前20项和等于

20













－2＋

15

2

2

＝55.

答案55

3．(2014陕西卷)已知f(x)＝

x

1＋x

，x≥0，若f

1

(x)＝f(x)，f

n＋1

(x)＝f(f

n

(x))，n∈N＋

，

则f

2014

(x)的表达式为________．

解析由已知易知f

n

(x)＞0，∵f

n＋1

(x)＝f(f

n

(x))＝

f

n

x

1＋f

n

x

，∴

1

f

n＋1

x

＝

1＋f

n

x

f

n

x

＝

1

f

n

x

＋1⇒

1

f

n＋1

x

－

1

f

n

x

＝1，∴



















1

f

n

x

是以

1

f

1

x

＝

1＋x

x

为首项，1为公差的等差

数列．

∴

1

f

n

x

＝

1＋x

x

＋(n－1)1＝

1＋nx

x

，

∴f

n

(x)＝

x

1＋nx

，∴f

2014

(x)＝

x

1＋2014x

.

答案

x

1＋2014x

4．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为S

n

，且S

k

＝110.

(1)求a及k的值；

(2)设数列{b

n

}的通项b

n

＝

S

n

n

，证明数列{b

n

}是等差数列，并求其前n项和T

n

.

解(1)设该等差数列为{a

n

}，则a

1

＝a，a

2

＝4，a

3

＝3a，

由已知有a＋3a＝8，得a

1

＝a＝2，公差d＝4－2＝2，

所以S

k

＝ka

1

＋

kk－1

2

d＝2k＋

kk－1

2

2＝k2＋k.

由S

k

＝110，得k2＋k－110＝0，

解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.

(2)由(1)得S

n

＝

n2＋2n

2

＝n(n＋1)，则b

n

＝

S

n

n

＝n＋1，

故b

n＋1

－b

n

＝(n＋2)－(n＋1)＝1，

即数列{b

n

}是首项为2，公差为1的等差数列，

所以T

n

＝

n2＋n＋1

2

＝

nn＋3

2

.