一次函数知识点

-

.z.

一次函数知识点总结

❖变量和函数

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量*和y，并且对于*的每一个确定的值，

y都有唯一确定的值与其对应，则我们就把*称为自变量，把y称为因变量，y是*的函数。

例如：y=*，当*=1时，y有两个对应值，所以y=*不是函数关系。对于不同的自变

量*的取值，y的值可以一样，例如，函数：y=|*|，当*=1时，y的对应值都是1

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数取值范围的方法：

〔1〕关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

〔2〕关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

〔3〕关系式本来的近义词 含有二次根式时，被开方数大于等于零；

〔4〕关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

〔5〕实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义

❖函数的表示方法

1、三种表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数

之间的对应规律。

公式法：即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间

的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

2、列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值〔即应变

量的对应值〕

3、公式法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。一般情况下，

等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。用函数解析式表示函数关系的

方法就是公式法。

4、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，

则坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

5、描点法画函数图形的一般步骤〔通常选五点法〕

第一步：列表〔根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值〕；

第二步：描点〔在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描

出表格中数值对应的各点〕；

第三步：连线〔按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来〕。

❖一次函数性质、图像

1、一次函数及性质

一般地，形如y=k*＋b(k,b是常数，k≠0)，则y叫做*的一次函数.当b=0时，y=k*＋b即

y=k*，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式y=k*+b(k不为零)①k不为零②*指数为1③b取任意实数

-

.z.

k(称为斜率)表示直线y=k*+b〔k≠0〕的倾斜程度，b称为截距

一次函数y=k*+b的图象是经过〔0，b〕和〔-

k

b

，0〕两点的一条直线，我们称它为直

线y=k*+b,它可以看作由直线y=k*平移|b|个单位长度得到.

〔1〕解析式：y=k*+b(k、b是常数，k



0)必过点：〔0，b〕和〔-

k

b

，0〕

〔3〕走向：依据k、b的值分类判断，见以下图

〔4〕增减性：k>0，y随*的增大而增大；k<0，y随*增大而减小.

〔5〕倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于*轴.

〔6〕图像的平移：当b>0时，将直线y=k*的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=k*的图象向下平移b个单位.

〔上加下减，左加右减〕

〔7〕b的正、负决定直线与y轴交点的位置

①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；

②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数

2、正比例函数性质：

一般地，形如y=k*(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式y=k*(k不为零)①k不为零②*指数为1③b取零

(1)解析式：y=k*〔k是常数，k≠0〕必过点：〔0，0〕、〔1，k〕

(2)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限

(3)增减性：k>0，y随*的增大而增大；k<0，y随*增大而减小

(4)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近*轴

3、一次函数y=k*＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出冬凌草片 一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直

线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取

它与两坐标轴的交点：〔0，b〕，.即横坐标或纵坐标为0的点.

b>0b<0b=0

k>0

经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限

图象从左到右上升，y随*的增大而增大

k<0

经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限

-

.z.

图象从左到右下降，y随*的增大而减小

4、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=k*＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=k*平移|b|个单位长度而

得到〔当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移,〕.上加下减，左加右减

5、直线y=k

1

*+b

1

与y=k

2

*+b

2

的位置关系

〔1〕两直线平行：k

1

=k

2

且b

1



b

2

〔2〕两直线相交：k

1



k

2

〔3〕两直线重合：k

1

=k

2

且b

1

=b

2

〔4〕两直线垂直：即k1﹒k2=-1

〔5〕两直线交于y轴上同一点:b

1

=b

2

❖用待定系数法确定一次函数解析式

1、一般步骤(一设二代三解四复原)：

〔1〕根据条件写出含有待定系数的函数关系式；

〔2〕将*、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数

为未知数的方程；

〔3〕解方程得出未知系数的值；

〔4〕将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

2、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为a*+b=0〔a，b为常数，a≠0〕的形式，所以解一元一

次方程可以转化为：当*个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当

于直线y=a*+b确定它与*轴的交点的横坐标的值.

3、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为a*+b>0或a*+b<0〔a，b为常数，a≠0〕的形

式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大〔小〕于0时，求自变量的取值范围.

4、一次函数与二元一次方程组

〔1〕以二元一次方程a*+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=

b

c

x

b

a

的图象

一样.

〔2〕二元一次方程组











222

111

cybxa

cybxa

的解可以看作是两个一次函数y=

1

1

1

1

b

c

x

b

a

和

y=

2

2

2

2

b

c

x

b

a

的图象交点.

5、关于点的距离的问题

方法：点到*轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示；

任意两点

(,),(,)

AABB

AxyBxy的距离为22()()

ABAB

xxyy；

假设AB∥*轴，则(,0),(,0)

AB

AxBx的距离为

AB

xx；

假设AB∥y轴，则(0,),(0,)

AB

AyBy的距离为

AB

yy；

点

(,)

AA

Axy到原点之间的距离为22

AA

xy

6、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积

-

.z.

一次函数y=k*＋b的图象与两条坐标轴的交点：与y轴的交点〔0，b〕，与*轴的交点〔

k

b

，

0〕.

直线〔b≠0〕与两坐标轴围成的三角形面积为s=

k

b

b

k

b

22

12



7、对称性：假设直线与直线ykxb关于

〔1〕*轴对称，则直线l的解析式为bkxy

〔2〕y轴对称，则直线l的解析式为bkxy

〔3〕直线y＝*对称，则直线l的解析式为

k

b

x

k

y

1

〔4〕直线yx对称，则直线l的解析式为y

k

x

b

k



1

〔5〕原点对称，则直线l的解析式为

bkxy

根底篇

一、填空题

1、在匀速运动公式vts中,

v

表示速度,t表示时间,

s

表示在时间t内所走的路程,则变量是

________,常量是_______.在圆的周长公式C=2r中，变量是________，常量是_________.

2、以下函数〔1〕y=*(2)y=2*-1(3)y=

1

*

(4)y=2-1-3*(5)y=*2-1中，是一次函数的有

〔〕〔A〕4个〔B〕3个〔C〕2个〔D〕1个

3、以下函数中，自变量*的取值范围是*≥2的是〔〕

A．y=2xB．y=

1

2x

C．y=24xD．y=2x2x

4、函数

5yx

中自变量*的取值范围是___________.

5、函数2

2

1

xy，当11x时，y的取值范围是〔〕

A.

2

3

2

5

yB.

2

5

2

3

yC.

2

5

2

3

yD.

2

5

2

3

y

6、正比例函数(35)ymx，当m时，y随*的增大而增大.

7、假设23yxb是正比例函数，则b的值是〔〕

A.0B.

2

3

C.

2

3

D.

3

2



8、假设关于*的函数1(1)mynx是一次函数，则m=，n=.

9、当k_____________时，2323ykxx是一次函数；

-

.z.

10、假设函数1)1(2kxky

是正比例函数，则k的值为_______.

11、32)12(mxmy

是正比例函数，且y随*的增大而减小，则m的值为_______.

12、当m=_______时，函数54)3(12xxmym是一次函数.

13、2y-3与3*+1成正比例，且*=2,y=12,则函数解析式为_______.

14、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，则所付款y元与买鲜鸡蛋个数*〔个〕之间的函数关系式是

_______.

15、平行四边形相邻的两边长为*、y，周长是30，则y与*的函数关系式是_______.

16、*商店出售货物时，要在进价的根底上增加一定的利润，下表表达了其数量*〔个〕与售

价y〔元〕的对应关系，根据表中提供的信息可知y与*之间的关系式是_______________。

数量*〔个〕12345

售价y〔元〕8+0.216+0.424+0.632+0.840+1.0

二、选择题

1、下面哪个点在函数y=

1

2

*+1的图象上〔〕

A．〔2，1〕B．〔-2，1〕C．〔2，0〕D．〔-2，0〕

2、以下函数中，y是*的正比例函数的是〔〕

A．y=2*-1B．y=

3

x

C．y=2*2D．y=-2*+1

3、一次函数y=-5*+3的图象经过的象限是〔〕

A．一、二、三B．二、三、四

C．一、二、四D．一、三、四

4、假设一次函数y=〔3-k〕*-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是〔〕

A．k>3B．0

5、一次函数的图象与直线y=-*+1平行，且过点〔8，2〕，则此一次函数的解析式为()

A．y=-*-2B．y=-*-6C．y=-*+10D．y=-*-1

6、汽车开场行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y〔升〕与

行驶时间t〔时〕的函数关系用图象表示应为以下图中的〔〕

7、李教师骑自行车上班，最初以*一速度匀速行进，•中途由于自行车发生故障，停下修车

耽误了几分钟，为了按时到校，李教师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课

堂上，李教师请学生画出他行进的路程y•〔千米〕与行进时间t〔小时〕的函数图象的示意

图，同学们画出的图象如下图，你认为正确的选项是〔〕

8、一次函数y=k*+b的图象经过点〔2，-1〕和〔0，3〕，•则这个一次函数的解析式为〔〕

A．y=-2*+3B．y=-3*+2C．y=3*-2D．y=

1

2

*-3

9、一次函数y=k*+b满足kb>0且ｙ随ｘ的增大而减小，则此函数的图象不经过〔〕

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

10、一次函数y=a*+b，假设a+b=1，则它的图象必经过点〔〕

A、(-1,-1)B、(-1,1)C、(1,-1)D、(1,1)

三、解答题

1、直线经过〔1,2〕、〔-3,4〕两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。

-

.z.

2、一次函数

〔1〕当m取何值时，y随*的增大而减小？

〔2〕当m取何值时，函数的图象过原点？

3．根据以下条件，确定函数关系式：〔1〕y与*成正比，且当*=9时，y=16；

〔2〕y=k*+b的图象经过点〔3，2〕和点〔-2，1〕．

4、y+2与*-1成正比例，且*=3时y=4。(1)求y与*之间的函数关系式；

(2)当y=1时，求*的值。

5、一次函数y=k*＋b的自变量的取值范围是－3≤*≤6，

相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。

6、假设一次函数y=k*+b的自变量*的取值范围是-2≤*≤6，

相应的函数值的范围是-11≤y≤9，求此函数的解析式。

7、y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与*也成正比例。

8、一农民带了假设干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按

市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数〔含备用零钱〕

的关系如下图，结合图象答复以下问题：

〔1〕农民自带的零钱是多少？

〔2〕降价前他每千克土豆出售的价格是多少？

〔3〕降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，

这时他手中的钱〔含备用零钱〕是26元，

问他一共带了多少千克土豆？

9、如下图的折线ABC•表示从甲地向乙地打长途所需的费y〔元〕与通话时

间t〔分钟〕之间的函数关系的图象〔1〕写出y与t•之间的函数关系式．〔2〕通

话2分钟应付通话费多少元？通话7分钟呢？

10、*种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开场工作后，•油箱中的余油量y〔L〕与工作

时间*〔h〕之间为一次函数关系，如下图．

〔1〕求y与*的函数解析式．

〔2〕一箱油可供拖位机工作几小时？

提高篇

一、填空题

1、假设解方程*+2=3*-2得*=2，则当*_________时直线

y=*+•2•上的点在直线y=3*-2上相应点的上方．

2、一次函数y=-*+a与y=*+b的图象相交于点〔m，8〕，则a+b=_________．

3、假设一次函数y=k*+b交于y•轴的负半轴，•且y•的值随*•的增大而减少，•则k____0，

b______0．〔填">〞、"<〞或"＝〞〕

4、直线y=*-3与y=2*+2的交点为〔-5，-8〕，则方程组

30

220

xy

xy











的解是________．

5、直线

ykx4

与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为。

6、假设直线l与直线yx21关于y轴对称，则直线l的解析式为____________.

-

.z.

7、当m时，函数y=(m－2)32mx

+5是一次函数，此时函数解析式为。

8、直线y=3*+b与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则函数的解析式为.

9、一次函数ykxb的图象过点(,1)m和(1,)m两点，且1m，则k，b的取值范围

是.

10、b为时，直线2yxb与直线34yx的交点在

x

轴上.

二、选择题

1、点〔－4，y

1

〕，〔2，y

2

〕都在直线y=－

1

2

*+2上，则y

1

、y

2

大小关系是()

A.y

1

>y

2

B.y

1

=y

2

C.y

1

2

D.不能比拟

2、假设直线y=3*－1与y=*－k的交点在第四象限，则k的取值范围是〔〕．

A.k<

1

3

B.

1

3

1D.k>1或k<

1

3

3、假设直线y=3*+6与坐标轴围成的三角形的面积为S，则S等于〔〕．

A．6B．12C．3D．24

4、一次函数

2yxa

与

yxb

的图像都经过

(2,0)A

，且与

y

轴分弧焊 别交于点B，

c

，

则

ABC

的面积为〔〕23的因数

A．4B．5C．6D．7

5、三峡工程在2003年6月1日至2003年6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至

135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，则以下图象中，能正确反映这10天

水位h〔米〕随时间t〔天〕变化的是：〔〕

6、甲、乙二人在如下图的斜坡AB上作往返跑训练．：甲上山的速度是a米/分，下山的速度

是b米/分，〔a

1

2

a米/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同

时从点A出发，时间为t〔分〕，离开点A的路程为S〔米〕，•则下面图象中，大致表示甲、

乙二人从点A出发后的时间t吃什么排湿气效果好 〔分〕与离开点A的路程S〔米〕•之间的函数关系的是〔〕

7、汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，则汽车距成都

的路程s〔千米〕与行驶时间t〔小时〕的函数关系用图象表示为()

ABCD

三、解答题

1、直线m经过两点〔1,6〕、〔-3，-2〕，它和*轴、y轴的交点是B、A，直线n过点〔2，-2〕，

且与y轴交点的纵坐标是-3，它和*轴、y轴的交点是D、C；

〔1〕分别写出两条直线解析式，并画草图；

〔2〕计算四边形ABCD的面积；

〔3〕假设直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积。

2、*工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，方案利用

这两种原料生产A、B两种产品，共50件。生产一件A种产品

需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生

24

200

0

400

t/h

S/km

24

200

0

400

t/h

S/km

24

200

0

400

t/h

S/km

24

200

0

400

t/h

S/km

O

x

y

-3

4

6

-2

F

E

D

C

B

A

-

.z.

产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

(1)要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案"请你设计出来；

(2)生产A、B两种产品获总利润是y(元)，其中一种的生产件数是*，试写出y与*之间的

函数关系同的成语 式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大"最大利润是多少"

3、有两条直线baxy

1

，ccxy5

2

，学生甲解出它们的交点坐标为〔3，－2〕，学

生乙因把c抄错了而解出它们的交点坐标为)

4

1

,

4

3

(，求这两条直线解析式

4、如下图，正比例函数xy

2

1

和一次函数

bxy

，它们的图像都经过点P〔a，1〕，

且一次函数图像与y轴交于Q点。〔1〕求a、b的值；〔2〕求△PQO的面积。

5、:一次函数的图象与正比例函数Y=－

3

2

*平行，且通过点(0,4),(1)求一次函数的解析式.(2)

假设点M(－8,m)和N(n,5)在一次函数的图象上，求m，n的值

6、甲乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，

A地需70吨水泥，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和运费如下表〔表中运费栏"

元/〔吨、千米〕〞表示每吨水泥运送1千米所需人民币〕

路程/千米运费〔元/吨、千米〕

甲库乙库甲库乙库

A地20151212

B地2520108

〔1〕设甲库运往A地水泥

x

吨，求总运费y〔元〕关于

x

〔吨〕的函数关系式，画出它的

图象〔草图〕.

〔2〕当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？

7、假设一次函数y=k*+b的自变量*的取值范围是-2≤*≤6，相应的函数值的范围是-11≤y

≤9，求此函数的解析式

中考篇

一、选择题

1、〔四川宜宾〕如图是甲、乙两车在*时段速度随时间变化的图象，以下结论

错误的选项是〔〕

A．乙前4秒行驶的路程为48米

B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒

C．两车到第3秒时行驶的路程相等

D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度

2、〔黑龙江龙东3分〕如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同

一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形

不重合局部的面积为s〔阴影局部〕，则s与t的大致图象为〔〕

-

.z.

A．B．C．D．

3、〔湖北黄石3分〕如下图，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反

映容器内水的体积y与容器内水深*间的函数关系的图象可能是〔〕

A．B．C．D．

4、〔湖北荆门3分〕如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形

的边上沿A→B→C的方向运动到点C停顿，设点P的运动路程为*〔cm〕，在以下图象中，

能表示△ADP的面积y〔cm2〕关于*〔cm〕的函数关系的图象是〔〕

A．B．C．D．

5、〔内蒙古包头3分〕如图，直线y=*+4与*轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D

分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为〔〕

A．〔﹣3，0〕B．〔﹣6，0〕C．〔﹣，0〕D．〔﹣，0〕

6、〔3分〕一次函数y=k*+5和y=k′*+7，假设k＞0且k′＜0，则这两个一次函数的图

象的交点在〔〕

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

7、〔湖北武汉3分〕将函数y＝2*＋b〔b为常数〕的图象位于*轴下方的局部沿*轴翻折至

其上方后，所得的折线是函数y＝|2*＋b|〔b为常数〕的图象．假设该图象在直线y＝2下

方的点的横坐标*满足0＜*＜3，则b的取值范围为_________．

-

.z.

8、〔四川眉山3分〕假设函数y=〔m﹣1〕*|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第二、

四象限．

9、〔重庆市B卷4分〕为增强学生体质，*中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一

次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终

点；所跑的路程S〔米〕与所用的时间t〔秒〕之间的函数图象如下图，则她们第一次相遇

的时间是起跑后的第120秒．

10、〔6分〕如图，过点A〔2，0〕的两条直线l

1

，l

2

分别交y轴于点B，C，其中点B在

原点上方，点C在原点下方，AB=．

〔1〕求点B的坐标；

〔2〕假设△ABC的面积为4，求直线l

2

的解析式．

11、〔2016四川泸州〕如图，一次函数y=k*+b〔k＜0〕与反比例函数y=的图

象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，点A〔4，1〕

〔1〕求反比例函数的解析式；

〔2〕连接OB〔O是坐标原点〕，假设△BOC的面积为3，求该一次函数的解

析式．

12、〔湖北荆门12分〕A城有*种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部

运往C，D两乡，调运任务承包给*运输公司．C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，

从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运

送农机苏州安全教育 的费用分别为150元/台和240元/台．

〔1〕设A城运往C乡该农机*台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于*的函数关系

式，并写出自变量*的取值范围；

〔2〕现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方

案？将这些方案设计出来；

〔3〕现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元〔a≤200〕作为

优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？

13、(广西南宁〕在南宁市地铁1号线*段工程建立中，甲队单独完成这项工程需要150天，

甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的．

〔1〕求乙队单独完成这项工程需要多少天？

-

.z.

〔2〕为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲

队的工作效率是乙队的m倍〔1≤m≤2〕，假设两队合作40天完成剩余的工程，请写出a

关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？