自然数定义

数学知识常识2：

自然数

用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码（0，）1，2，3，4，„„所表示

的数（有争议）。表示物体个数的数叫自然数，自然数由1（0，有争议）开始，一个接一

个，组成一个无穷的集体。

概述

自然数从0开始还是从1开始饱受争议。从数论上来讲，自然数从1开始，在集合论中，

自然数从0开始。我国中小学教材中自然数是从0开始，《新华字典》中自然数是从1开始。

可以指正整数或非负整数，在数论通常用前者，而集合论和计算机科学则多数使用后者。[1]

数学术语

自然数集是全体非负整数组成的集合，常用N来表示。自然数有无穷无尽的个数。

【拼音】zrnsh

【英译】naturalnumber[2]

一般概念

自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。

注：整数包括自然数，所以自然数一定是整数，且一定是非负整数。

但相减和

自然数的基本要求

相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不总是成立的。用

以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码，1，2，3，4，„„所表示的数。表

示物体个数的数叫自然数，自然数一个接一个，组成一个无穷集体。自然数集有加法和乘法

运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结

果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认

识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了

自然数的两种等价的理论枣自然数的慈祥的反义词 序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性

质得到严格的论述。

（序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给

出自然数的如下定义）自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作

1。②N中每一个元素都能在N中找到一个元素作为它的后继者。③1是0的后继者。④0

不是任何元素的后继者。⑤不同元素有不同的后继者。⑥（归纳公理）N的任一子集M，

如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N。

基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立

一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数。这样，所有单元素集{x}，

{y}，{a}，{b}等具有同一基数，记作1。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，

它们的基数相同，记作2，等等。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出

定义，并且两种理论下的运算是一致的。

自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最

早出现的数，自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或

排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。

自然数是整数（自然数包括正整数和零），但整数不全是自然数，例如：-是

整数而不是自然数。自然数是无限的。

全体非负整数组成的集合称为非负整数集，即自然数集。）

在数物体的时候，数出的1.2.3.4.5.6.7.8.9„„叫自然数。自然数有数量、次序两层含

义，分为基数、序数。基本单位：1计数单位：个、十、百、千、万、十万......

总之，自然数就是指大于等于0的整数。当然，负数、小数、分数等就不算在其内了。

严格定义

这个命题被称为皮亚诺算术公理，该公理声明了自然数集

的存在性。

其中，第二条中声明的单射

被称为后继映射，是我们生活中所习惯的“

”。

第三条则声称，存在一个数是自然数的起始点，它不是任何数的后继。

第四条则是我们所熟知的归纳假设，它使得在自然数集中数学归纳法的成立，也是对

自然数集形态的一种限定。因为即使是有限集，也存在环形映射满足第二条（自单射），任

何无限集都满足第二和第三条，而只有自然数集才能满足所有这四条的限定。

由第四条，我们就可以使用数学归纳法：

来证明自然数集中有关的命题。

性质

1.对自然数可以定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：

a+0=a；

a+S(x)=S(a+x)，其中，S(x)表示x的后继者。

如果我们将S(0)定义为符号“1”，那么b+1=b+S(0)=S(b+0)=S(b)，即，“+1”

运算可求得任意自然数的后继者。

同理，乘法运算“”定义为：

a0=0;

aS(b)=ab+a

自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。

2.有序性。自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数

列：0，1，2，3，„这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数

列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。

3.无限性。自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。

对于无限集合来说“，元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素

的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，每日正能量句子 集合论的创立者德国数学

家康托尔引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适用的，21世纪把它推广

到无限集合，即如果两个无限集合的元素之间能建立一个一一对应，我们就认为这两个集合

的元素是同样多的。对于无限集合，我们不再说它们的元素个数相同，而说这两个集合的基

数相同，或者说，这两个集合等势。与有限集对比，无限集有一些特殊的性质，其一是它可

以与自己的真子集建立一一对应，例如:

01234„

13579„

这就是说，这两个集合有同样多的元素，或者说，它们是等势的。大数学家希尔伯特

曾用一个有趣的例子来说明自然数的无限性：如果一个旅馆只有有限个房间，当它的房间都

住满了时，再来一个旅客，经理就无法让他入住了。但如果这个旅馆有无数个房间，也都住

满了，经理却仍可以安排这位旅客：他把1号房间的旅客换到2号房间，把2号房间的旅客换

到3号房间，„„如此继续下去，就把1号房间腾出来了。

4.传递性：设n1，n2，n3都是自然数，若n1>n2，n2>n3，那么n1>n3。

5.三岐性：对于任意两个自然数n1，n2，有且只有下列三种关系之一：n1>n2，n1=n2

或n1

6.最小数原理：自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。具备性质3、4的数集称

为线性序集。容易看出，有理数集、实数集都是线性序集。但是这两个数集都不具备性质5，

例如所有形如nm（m>n，m，n都是自然数）的数组成的集合是有理数集的非空子集，这

个集合就没有最小数；开区间（0，1）是实数集合的非空子集，它也没有最小数。

具备性质5的集合称为良序集，自然数集合就是一种良序集。容易看出，加入0之后的

自然数集仍然具备上述性质3、4、5，就是说，仍然是线性序集和良序集。[3]

分类

按是否是偶数分

可分为奇数和偶数。

1、奇数：不能被2整除的数叫奇数。

2、偶数论语介绍 ：能被2整除的数叫偶数。也就是说，除了奇数，就是偶数

注：0是偶数。（2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。偶

数可以被2整除，0照样可以，只不过得数依然是0而已）。

按因数个数分

可分为质数、合数、1和0。

1、质数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。也称作素数。

2、合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。

3、1：只有1个因数。它既不是质数也不是合数。

4、当然0不能计算因数，和1一样，也不是质数也不是合数。

备注：这里是因数不是约数。[4]

数列

数列1,2,3,4,5，6,7,8,9,10,11,12,„„n，称为自然数列。自然数列不包括0。

自然数列的通项公式an=n。

自然数列的前n项和Sn=n(n+1)/2。Sn=na1+n(n-1)/2

自然数列本质上是一个等差数列，首项a1=1，公差d=1。

关于地参 0

0的争议

对于“0”，它是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开

始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。到21世纪关于这个问题也尚无

一致意见。

我国传统的教科书所说的自然数都是指正整数，0不是自然数。在国外，有些国家的教

科书是把0也算作自然数的。这本是一种人为的规定，我国为了推行国际标准化组织(ISO)

制定的国际标准，定义自然数集包含元素0，也是为了早日和国际接轨。

现行九年义务教育教科书和高级中学教科书(试验修订本)都把非负整数集叫做自然数

集，记作N，而正整数集记作N+或N*。这就一改以往0不是自然数的说法，明确指出0也是

自然数集的一个元素。0同时也是有理数，也是非负数和非正数。

0的来由

0是极为重要的数字，0的发现被称为人类伟大的发现之一。0在我国古代叫做金元数字，

(意即极为珍贵的数字）。0这个数据说是由印度人在约公元5世纪时发明，在1202年时，一

个商人写了一本算盘之书，在东方中由于数学是以运算为主（西方当时以几何并在开头写了

“印度人的9个数字，加上阿拉伯人发明的0符号便可以写出所有数字„„”。由于一些原

因，在初引入0这个符号到西方时，曾经引起西方人的困惑，因当时西方认为所有数都是

正数，而且0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立(如除以0)，甚至认为是魔鬼数字，而被

禁用。直至约公元15，16世纪0和负数才逐渐给西方人所认同，才使西方数学有快速发展。

0的另一个历史：0的发现始于印度。公元左右，印度最古老的文献《吠陀》已有“0”这个

符号的应用，当时的0在印度表示无（空）的位置。约在6世纪初，印度开始使用命位记数

法。7世纪初印度大数学家葛拉夫.玛格蒲达首先说明了0的0是0，任何数加上0或减去0得任

何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。也有的学者认为，0的概

念之所以在印度产生并得以发展，是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想。公元

733年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了

阿拉伯人，因为这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来

又传入西欧。

0的性质

0既不是正数也不是负数，而是正数和负数之间的一个数。当某个数X大于0（即X>0）

时，称为正数；反之，当X小于0（即X<0）时，称为负数；而这个数X等于0时，这个数

就是0。

0既不是正数也不是负数，而是介于-1和+1之间的整数。

0是偶数。

0是最小的完全平方数。

0的相反数是0，即，-0=0。

0的绝对值是其本身，即，∣0∣=0。

0乘任何实数都等于0，除以任何非零实数都等于0,任何实数加上0等于其本身。

0没有倒数和负倒数，一个非0的数除以0在实数范围内无意义。

0的正数次方等于0，0的负数次方无意义，因为0没有倒数。

除0外，任何数的的0次方等于1。

0的0次方是悬而未决的，在某些领域定义为1，某些领域未定义。不定义的理由是以连

续性为考量，不定义不连续点魏晨身高 。

0不能做对数的底数和真数。

0也不能做除数、分数的分母、比的后项。

0在多位数中起占位作用，善于的近义词 如108中的0表示十位上没有，切不可写作18。

0不可作为多位数的最高位。

当0不位于其他数字之前时表示一个有效数字。

0的阶乘等于1。

0始终是直角坐标系的原点。

0是正数和负数的分界点。

任何数乘0都得0。

0是最小的自然数。

分式中分母为0无意义。

在复数集中，0是模最小的数，而且是唯一一个无辐角定义的元素。

低阶无穷小与高阶无穷小的比值是0。

定积分中，积分上限和下限相等时，积分值始终为0。

概率论中，用0表示不可能事件，或者在连续概率分布中位于某一特定自变量这一事件

的概率。[5]

应用

1、自然数列在“数列”，有着最广泛的运用，因为所有的数列中，各项的序号都组成

自然数列。

任何数列的通项公式都可以看作：数列各项的数与它的序号之间固定的数量关系。

2、求n条射线可以组成多少个角时，应用了自然数列的前n项和公式

第1条射线和其它射线组成n-1个角，第2条射线跟余下的其它射线组成n-2个角，依此

类推得到式子

1+2+3+4+„„+n-1=n(n-1)/2

3、求直线上有n个点，组成多少条线段时，也应用了自然数列的前n项和公式

第1个点和其它点组成n-1条线段，第2个点跟余下的其它点组成n-2条线段，依此类推

同样可以得到式子

1+2+3+4+„„+n-1=n(n-1)/2