2009年全国初中数学联合比赛试题参照答案
第一试
一、选择题（此题满分
42分，每题7分）
1.设a
71，则3a312a2
6a12（
A
）
A.24.B.25.
C.4710.
D.
4712.
2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝
（
C
）
A.72.
B.
10.
C.
105.
D.
73.
3
[x]
表示不大于x的最大整数，则方程
x
2
2[x]30
的解的个数为（
C
）．用
A.1.B.2.C.3.D.4.
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为极点所组成的全部三角形中随意拿出两个，
它们的面积相等的概率为
（B
）
3314
A..B..C..教育类读书笔记 D..
14727
AD
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在世界环境日手抄报 矩形内作半圆，自点A作半
圆的切线AE，则sin
CBE＝（D）
6
21
10E
D..
A..B..C..
3
33
10BC
．设
n
是大于
1909
的正整数，使得
n1909
为完整平方数的n的个数是（
B
）
6
2009n
A.3.B.4.C.5.D.6.
二、填空题（此题满分
28分，每题7分）
1．已知t是实数，若a,b是对于x的一元二次方程x22xt
10的两个非负实根，则(a21)(b21)的最
小值是_____3_______.
2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△
DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为___2mn___.
3．假如实数a,b知足条件a2b21，|1
2ab|2a1b2a2
，则ab__1____.
4．已知a,b是正整数，且知足2(15
15
)是整数，则这样的有序数对(a,b)共有___7__对.
ab
第二试（A）
一．（此题满分20分）已知二次函数yx
2bxc(c0)的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交
点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点.
（2）假如AB恰巧为⊙P的直径且属牛和属龙的相配吗 S
△ABC
＝2，求b和c的值.
解
（1）易求得点C的坐标为(0,c)，设A(x
1
,0)，B(x
2
,0)，则x
1
x
2
b，x
1
x
2c.
设⊙P与y轴的另一个交点为
D，因为AB、CD是⊙P的两条订交弦，它们的交点为点O，所以OAOB＝OC
OAOB
x
1
x
2
c
1.OD，则
OD
ccOC
因为c0，所以点C在y轴的负半轴上，进而点D在y轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为
(0,1).
（2）因为AB⊥CD，假如AB恰巧为⊙P的直径，则C、D对于点O对称，所以点C的坐标为(0,
1)，
即
c1
.
又AB
x
1
x
2
(x
1
x
2
)24x
1
x
2
(b)24c
b24，所以
S
△ABC
1
ABOC
1
b241
2，解得b
23.
22
二．（此题满分25分）燕麦麸皮怎么吃 设CD是直角三角形
ABC的斜边AD上的高，I
1
、I
2
分别是△ADC、△BDC的心里，
AC＝3，BC＝4，求I
1
I
2
.
B
解作I
1
E⊥AB于E，I
2
F⊥AB于F.
F
在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，AB=2+BC25.
D
I2AC
E
AD=
AC2
916
I1
又CD⊥AB，由射影定理可得
，故BD=AB
AD，
AC
AB55
CD=
AC2AD212
.
5
1
(AD
3因为I
1
E为直角三角形
ACD的内切圆的半径，所以
I
1
E＝CDAC)
.
25
连结DI
1
、DI
2
，则DI
1
、DI
2
分别是∠ADC和∠BDC的均分线，所以∠I
1
DC＝∠I
1
DA＝∠I
2
DC＝∠I
2
DB
I
1
E
3
32
＝45，故∠I
1
DI
2
＝90，所以I
1
D⊥I
2
D，DI
1
5
.
sin
ADI
1
sin455
同理，可求得I
2
F
4，DI
242.所以I
1
I
2
＝DI
1
2DI
2
22.
5
5
三．（此题满分25分）已知a,b,c为正数，知足以下两个条件：
abc32①
bcacababc1
②
bccaab4
证明：以a,b,
c取住房公积金 为三边长可组成一个直角三角形.
证法1
将①②两式相乘，得
(
b
cacabab
c
)(a
b
c)8，
bccaab
即
(bc)2
a2(ca)2b2(ab)2c28，
bccaab
即
(bc)2
a24
(ca)2b24
(ab)2c20，
bccaab
即
(bc)2
a2(ca)2b2(ab)2c20，
bccaab
即
(b
ca)(bca)(cab)(cab)(abc)(abc)
0，
bccaab
即
(b
c
a)
[a(b
ca)b(cab)c(abc)]
0，
abc
即
(bc
a)
[2aba2
b2c2]0，即(bca)[c2(ab)2]0，
abcabc
即
(b
c
a)(cab)(cab)0，
abc
所以bca0或cab0或cab0，即bac或cab或cba.
所以，以a,b,
c为三边长可组成一个直角三角形.梦见蛇缠身是什么预兆
证法2
联合①式，由②式可得
322a322b322c额手称庆 1
bccaab
，
4
变形，得1024
2(a
2b2c2)
1
abc
③
4
又由①式得(a
b
c)
21024，即a2b2c210242(abbc
ca)，
代入③式，得1024
2[10242(abbcca)]
1
abc，即abc
16(abbcca)4096.
4
(a16)(b16)(c16)abc16(abbcca)256(abc)
163
409625632
1630，
所以a16或b16或c
16.
联合①式可得b
a
c或cab或c
ba.
所以，以a,b,
c为三边长可组成一个直角三角形.
第二试（B）
一．（此题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题同样.
二．（此题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90，AB边上的高线
CH与△ABC的两条内角均分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分
别为E、F.求证：EF∥AB.
解因为BN是学吉他 ∠ABC的均分线，所以ABNCBN.
又因为CH⊥AB，所以
CQNBQH90ABN90CBNCNB，
所以CQNC.
A
H
NF
QP
E
CMB
又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以CFB90CHB，所以C、F、H、B四点共圆.
又FBH=FBC，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.
同理可证，点E在CH的中垂线上.
所以EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.
三．（此题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题同样.
第二试（C）
一．（此题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题同样.
二．（此题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题同样.
三．（此题满分25分）已知a,b,c为正数，知足以下两个条件：
abc32①
bcacababc1
②
bccaab4
能否存在以a,b,
c为三边长的三角形？假如存在，求出三角形的最大内角
.
解法1
将①②两式相乘，得
(
b
cacabab
c
)(a
bc紫吊兰 )
8，
bccaab
即
(bc)2
a2(ca)2b2(ab)2c28，
bccaab
即
(bc)2
a24
(ca)2b24
(ab)2c20，
bccaab
即
(bc)2
a2(ca)2b2(ab)2c20，
bccaab
即
(b
ca)(bca)(cab)(cab)(abc)(abc)
0，
bccaab
即
(b
c
a)
[a(b
ca)b(cab)c(abc)]
0，
abc
即
(bc
a)
[2aba2
b2c2]0，即(bca)[c2(ab)2]0，
abcabc
即
(b
c
a)中国文化剪纸 (cab)(cab)
0，
abc
所以
bca0
或
cab0cab0
，即
bac
或
cab
或
cba
.
或
所以，以a,b,
c为三边长可组成一个直角三角形，它的最大内角为
90.
解法2
联合①式，由②式可得
322a322b322c1
，
bccaab4
变形，得1024
2(a
2b2c2)
1
abc
③
4
又由①式得(a
b
c)
21024，即a2b2c210242(abbc
ca)，
1
242[10242(abbcca)]abc，即abc16(abbcca)4096.4
(a16)(b16)(c16)abc16(abbcca)256(abc)
163
409625632
1630，
所以a
16或b16或c
16.
联合①式可得b
a
c或cab或c
ba.
所以，以a,b,
c为三边长可组成一个直角三角形，它的最大内角为
90.
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