斜率不存在

O

x

y

P

A

B

高考数学中的八大斜率模型与应用

模型1.圆锥曲线第三定义

此处以椭圆第三定义为例，双曲线第三定义类似推得.

如图，椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

上任意一点P与过原点为中心的弦AB的两端点A、B

连线PA、PB与坐标轴不平行，则直线PA、PB的斜率之积

PAPB

kk为定值

2

2

b

a

．

证明设(,)Pxy，

11

(,)Axy，则

11

(,)Bxy．所以1

2

2

2

2



b

y

a

x

①

1

2

2

1

2

2

1

b

y

a

x

②由①－②得

2

2

1

2

2

2

1

2

b

yy

a

xx





，所以

2

2

2

1

2

2

1

2

a

b

xx

yy







，所以

22

2

111

222

111

PAPB

yyyyyy

b

kk

xxxxxxa







为定值．

这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了

椭圆的本质属性.

例1.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知点2,0A，2,0B，动点,Mxy满足

直线AM与BM的斜率之积为

1

2

．记M的轨迹为曲线C．

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于,PQ两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连

结QE并延长交C于点G．

i证明：POG△是直角三角形；

ii求POG△面积的最大值．

解析：（1）直线AM的斜率为

(2)

2

y

x

x





，直线BM的斜率为

(2)

2

y

x

x





，由题意可

知：22

1

24,(2)

222

yy

xyx

xx





，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点

在

x

轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为22

1,2

42

xy

x；

（2）略.

模型2.中点弦与点差法

1.椭圆中的点差法：设直线mkxy与椭圆)0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

相交于点BA,两点，

其中设点A(

11

,yx)，B(

22

,yx)由于BA,两点均在椭圆上，代入椭圆的方程可得：

∴

1

2

2

1

2

2

1

b

y

a

x

①，

1

2

2

2

2

2

2

b

y

a

x

②，①-②得：

0

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1







b

yy

a

xx

，进一步，

则

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1-

b

yy

a

xx





，即

2

2

21

21

21

21))((

a

b

xx

yy

xx

yy











，则

2

2

a

b

kk

OMAB

（其中M为

BA,中点，O为原点）.

椭圆垂径定理：直线AB的斜率与中点M和原点O所成直线斜率的乘积等于2y

下的系数

比上2x下的系数的相反数，即

2

2

b

a

kk

OMAB

.

例2．已知椭圆

22

1

54

xy

，则以点1,1M

为中点的弦所在直线方程为（）

A．

4510xy

B．

5490xy

C．

4590xy

D．

5410xy

解析：设以点1,1M

为中点的弦与椭圆

22

1

54

xy

交于点

11

,Axy

，

22

,Bxy

，

则

12

2xx，

12

2yy，分别把点A，B的坐标代入椭圆方程得：

22

11

22

22

1

54

1

54

xy

xy



















，

两式相减得：12121212

()()()()

0

45

xxxxyyyy



，

1212

2()

0

52

xxyy



，



直线AB的斜率12

12

4

5

yy

k

xx







，



以点

(1,1)M

为中点的弦所在直线方程为：

4

1(1)

5

yx

，即

4590xy

，故选：

C

．

模型3.四点共圆充要条件

1.基础知识：

（1）圆锥曲线四点共圆：若两条直线)2,1)((:

00

ixxkyyl

ii

与

二次曲线22:0()axbycxdyeab有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件

是0

21

kk.

例3.平面直角坐标系

xOy

中，已知点1

17,0F

、212

17,02FMFMF

，点M

的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线

1

2

x上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，

Q

两点，且

TATBTPTQ

，求直线AB的斜率与直线

PQ

的斜率之和.

解析：因为

1212

2217MFMFFF，所以，轨迹C是以点

1

F

、

2

F

为左、右焦点

的双曲线的右支，设轨迹C的方程为22

22

10,0

xy

ab

ab

，则22a，可得

1a

，

2174ba，所以，轨迹C的方程为2

211

16

y

xx；

（

2

）设点

1

,

2

Tt







，若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨

直线AB的方程为

1

1

2

ytkx









，即

11

1

2

ykxtk，联立11

22

1

2

1616

ykxtk

xy















，消去

y

并整理可得2

22

1111

1

162160

2

kxktkxtk









，设点

11

,Axy

、



22

,Bxy

，则

1

1

2

x

且

2

1

2

x.

由韦达定理可得

2

11

12

2

1

2

16

kkt

xx

k







，

2

1

12

2

1

1

16

2

16

tk

xx

k













，所以，



22

1

22

12

112112

2

1

121

111

11

222416

tk

xx

TATBkxxkxx

k















，

设直线

PQ

的斜率为

2

k

，同理可得

22

2

2

2

121

16

tk

TPTQ

k







，

因为

TATBTPTQ

，即

2222

12

22

12

121121

1616

tktk

kk







，整理可得22

12

kk

，

即

1212

0kkkk

，显然

12

0kk

，故

12

0kk

.

因此，直线AB与直线

PQ

的斜

率之和为

0

.

模型4.极点极线斜率等差

1.基本结论

若DBCA,,,四点成调和点列，在这四点所在直线外任取一点P，所形成的的四条射线，

PA，PC，PB，PD称为调和线束.对于一组调和线束，本节给出其斜率之间所满足的

基本关系，并进一步用此结论去解决一些与极点极线有关的斜率恒等式.

结论[1]:如图1.若调和线束OA，OC，OB，OD的方程为

4,3,2,1,:ibxkyl

iii

.

那么1

)()(

)()(

),(

4132

4231

4321









kkkk

kkkk

llll.

图1图2

2.基本应用

此处，我们选择比较经典的两个问题，即2013年江西高考的文理科圆锥曲线题目来作为上

述结论应用的范例.

例4.如图2，椭圆)0(1:

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C经过点)

2

3

,1(P，离心率

2

1

e，直线l的方程

为4x.

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，

PB，PM的斜率分别为

123

,,kkk

.

问：是否存在常数λ，使得

123

+=kkk

？若存在，求

λ

的值；

若不存在，说明理由

.

证明：由于直线l是点F关于椭圆C的极线，所以PMPBPFPA,,,成调和点列，分别设

直线PMPBPFPA,,,为

4321

,,,llll，那么四直线的交比1),(

4321

llll,利用交比的性质可

得1),(

2143

llll，又由于



2

l

k

，故1)(),(

1432143









PAPM

PAPB

kk

kk

lllllll，即

321

2kkk，证毕.

详解：（1）椭圆C的方程为

22

1

43

xy

.

结论：已知椭圆)0(1:

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C，过定点)0)(0,(annN作一直线交椭圆C

于BA,两点，交点N的极线

n

a

xl

2

:于点M，P是椭圆C上一点，且P点横坐标为

n

,

则直线PBPMPA,,的斜率成等差数列.

模型5.蝴蝶定义与斜率之商

结论1[1]：设抛物线

)0(2:2ppxyC的弦AB过定点)0)(0,(mmM，过点M作非水

平线l交C于QP,两点，若直线AP与

x

轴交于定点)0,(n，直线BQAP,的斜率

21

,kk存

在且非零，则

n

m

k

k



2

1.

上述结论1就是2022年全国甲卷解析几何试题的命题背景，即所谓的“蝴蝶定理”！这个

定理同样适用于椭圆与双曲线，下面我们通过例题予以展示.

例

5

．已知椭圆

22

22

:1(0)

xy

ab

ab



的离心率为

2

3

，半焦距为

(0)cc

，且1ac，

经过椭圆的左焦点F，斜率为

11

(0)kk

的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．

（

1

）求椭圆的标准方程．

（

2

）设

(1,0)R

，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为

2

k

，求证：

1

2

k

k

为定值．

解析：（

1

）由题意，椭圆的方程为

22

1

95

xy

．

（

2

）设

33

,Cxy

，

44

,Dxy

，由已知，直线AR的方程为

1

1

1

1

y

yx

x





，即

1

1

1

1

x

xy

y





．由

1

1

22

1

1

1

95

x

xy

y

xy





















消去

x

并整理，得

2

11

2

11

51

40

xx

yy

yy





．

则

2

1

13

1

4

5

y

yy

x





，∵

1

0y

，∴1

3

1

4

5

y

y

x





，

∴

1111

33

1111

11459

11

55

xxyx

xy

yyxx







．∴11

11

594

,

55

xy

C

xx











，同理

22

22

594

,

55

xy

D

xx











．





12

1221

12

2

12

1221

12

44

4545

55

5959

595595

55

yy

yxyx

xx

k

xx

xxxx

xx















1221

21

4545

16

yxyx

xx







，

∵

111

2ykx

，

212

2ykx

，

∴







112121121

1

2

2121

4254257

7

1644

kxxkxxkxx

k

k

xxxx







，∴

1

2

4

7

k

k



为定

值．注：可以看到，椭圆中的蝴蝶构型在证明过程中会出现非对称韦达结构

.

模型6.斜率倒数成等差模型

例6（2022武汉九月调考）已知椭圆

22

22

:1(0)

xy

Eab

ab



，过点

(1,1)P

且与

x

轴平行

的直线与椭圆E恰有一个公共点，过点P且与

y

轴平行的直线被椭圆E截得的线段长为

3

.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设过点P的动直线与椭圆E交于

,MN

两点，T为

y

轴上的一点，设直线MT和NT的

斜率分别为

1

k

和

2

k

，若

12

11

kk



为定值，求点T的坐标.

解：由题意，椭圆的下顶点为0,1

，故

1b

.由对称性，椭圆过点

3

1,

2











，代入椭圆

方程有

2

13

1

4a



，解得：2a.故椭圆E的标准方程为：

2

21

4

x

y.

（2）设点T坐标为0,t

.当直线

MN

斜率存在时，设其方程为11ykx

，与

2

21

4

x

y

联立得：224181420kxkkxkk

.设

1122

,,,MxyNxy

，则



1212

22

8142

,

4141

kkkk

xxxx

kk







.1212

121212

11

11

xxxx

kkytytkxktkxkt





，



1212

22

1212

21

1(1)

kxxktxx

kxxkktxxkt







，





2

3222

82811

42811(1)41

kkkkkt

kkkkktktk











2

222

881

.

4321(1)

tktk

tktkt







12

11

kk



为定值，即与

k

无关，则2(1)0,1tt，此时

12

11

8

kk



.

经检验，当直线

MN

斜率不存在时也满足

12

11

8

kk



，故点T坐标为0,1

.

一般性推广：已知椭圆)0(1:

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

E，点P为直线by上任一点，过P的

直线l与椭圆E交于NM,两点，设椭圆E的下顶点为T，则

tb

a

kk

TNTM

2211

.

模型7.手电筒模型

1．设),0(bP为椭圆)0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

上顶点，AB是椭圆上一条动弦，直线

PBPAAB,,的斜率分别为

21

,,kkk，则：

（1）

2

2

21a

b

tkk直线AB过定点





















b

tab

tab

22

22

,0

（2）若0

21

kk，则







bm

b

k

kk2

21则直线AB过),0(m.

2.设),(

00

yxP为椭圆)0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

上的定点，AB是椭圆上一条动弦，直线

PBPAAB,,的斜率分别为

21

,,kkk；

（1）若

2

2

21a

b

kk，则有

0

0

0

,0

x

y

kx，（2）若

2

2

21a

b

kk，则直线AB过定点，

（3）若0

21

kk，则有

0

2

0

2

0

,0

ya

xb

ky，（4）若0

21

kk，则直线AB过定点.

例8.已知椭圆E：

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的离心率为

2

2

，点0,1A

是椭圆E短轴的一个四

等分点.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设过点A且斜率为

1

k

的动直线与椭圆E交于

M

，

N

两点，且点0,2B

，直线

BM

，

BN

分别交

C

：

2

211xy于异于点B的点P，

Q

，设直线PQ的斜率为

2

k

，求实数



，使

得

21

kk

恒成立.

解析：（1）椭圆E的标准方程为1

48

22



yx

.

（2）设



1122

,,,,,,,

PPQQ

MxyNxyPxyQxy

，直线

MN

的方程为

1

1ykx

，

则直线

BM

的方程为1

1

2

2

y

yx

x





，与

2

211xy联立，

得：

2

22

1111

2220xyxxyx

，由

0

P

x

，且点0,2B

在

C

上，得





11

2

2

11

22

2P

xy

x

xy







，又

22

111

84

xy

，即22

11

82xy

，代入上式





11

1

2

2

1

11

22

2

6

822P

xy

x

x

y

yy









，

1

11

2

16

24

6PP

y

yx

xy







，即点1

11

2

16

,4

66

x

P

yy











，同理2

22

2

16

,4

66

x

Q

yy











，

则



12

12

2

12

122112

12

1616

44

8

66

22

66

66

PQ

PQ

yy

yy

yy

k

xx

xxxyxyxx

yy























，将

111212

1,1ykxykx

代入上式，得







112112

21

1122111212

88

8

116655

kxxkxx

kk

xkxxkxxxxx







，所以

8

5



时，

21

kk

恒成立

.

模型8.角度转化

例9．（2018全国1卷）设椭圆

2

2:1

2

x

Cy

的右焦点为F，过F的直线l与C交于

,AB

两

点，点M的坐标为

(2,0)

.

（1）当l与

x

轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB.

解析：（1）所以AM的方程为

2

2

2

yx或

2

2

2

yx.

（2）当l与

x

轴重合时，0OMAOMB

.

当l与

x

轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.

当l与

x

轴不重合也不垂直时，设l的方程为10ykxk

，

1122

,,,AxyBxy

，

则

12

2,2xx，直线MA、MB的斜率之和为12

12

22MAMB

yy

kk

xx





.

由

1122

,ykkxykxk

得



1212

12

234

22MAMB

kxxkxxk

kk

xx







.

将1ykx

代入

2

21

2

x

y

得2222214220kxkxk

.

所以，

22

1212

22

422

,

2121

kk

xxxx

kk







.

则333

1212

2

441284

2340

21

kkkkk

kxxkxxk

k







.

从而

0

MAMB

kk，故

MA、MB的倾斜角互补，所以OMAOMB.

综上，OMAOMB.