已知a

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学卷

（上海卷）

一、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）

1.已知集合1,2,4A，2,3,4B，求AB_______

【答案】

2,4

2.

1

lim

31n

n

n







________

【答案】

1

3

3.已知复数z满足12zi（i为虚数单位），则z_______

【答案】

5

4.已知行列式

1

26

300

ac

db，则行列式

ac

db

_______

【答案】2

5.已知3fxx，则1fx_______

【答案】1

3xxR

6.已知a、b、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab=

【答案】36

7.已知

2

0

230

xy

y

xy

















，则2zyx的最大值为

【答案】-1

8.已知

n

a是公差不为零的等差数列，且

1109

aaa，则129

10

aaa

a





【答案】

27

8

9.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种

排法。

【答案】180

10.椭圆

22

1

43

xy

，过右焦点F作直线l交椭圆于P、Q两点，P在第二象限已知,,'','

QQQQ

QxyQxy

都在椭圆上，且y'0

QQ

y，'FQPQ，则直线l的方程为

【答案】10xy

11、设aR，若存在定义域R的函数fx既满足“对于任意

0

xR，

0

fx的值为2

0

x或

0

x”又满足“关

于

x

的方程fxa无实数解”，则的取值范围为

【答案】,00,11,

【解析】题目转换为是否为实数

a

,使得存在函数fx

满足“对于任意

0

xR，

0

fx的值为2

0

x或

0

x”，又满足“关于的方程fxa无实数解”构造函数；



2

,

,

xxa

fx

xxa













，则方程fxa只有0,1两个实数解。

12、已知是平面内两两互不平等的向量，满足，且

(其中1,21,2,...ijk，，)，则K的最大值为

【答案】6

【解析】根据向量减法的运算规律，可转化为以向

量终点为圆心，作半径

1

1r和

2

2r的圆，两圆交点即为

满足题意的，由图知，k的最大值为6.

二、选择题（本题共有4小题，每题5分，共计20分）

13、下列不等式恒成立的是（）

A、222ababB、22-2abab

C、2ababD、2abab

【答案】B

14、已知直线l的解析式为3410xy，则下列各式是l的参数方程的是（）

A、

43

34

xt

yt











B、

43

34

xt

yt











C、

14

13

xt

yt











D、

14

13

xt

yt











【答案】D

15、在棱长为10的正方体.

1111

ABCDABCD

中，P为左侧面

11

ADDA

上一

点，已知点P到

11

AD

的距离为3，点P到

1

AA

的距离为2，则过点P且与

1

AC

平行的直线交正方体于P、Q两点，则Q点所在的平面是（）

A.

11

AABB

B.

11

BBCC

C.

11

CCDD

【答案】D

【解析】延长BC至M点，使得=2CM

,

延长

1

CC

至N点，使得3CN,

以CMN、、为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为H，

连接

1

APPHHC、、

，则易得四边形

1

APHC

为平行四边形，

因为点P在平面

11

ADDA

内，点H在平面

11

BCCB

内，

且点P在平面ABCD的上方，点H在平面ABCD下方，

所以线段PH必定会在和平面ABCD相交，

即点Q在平面ABCD内

16.、若存在aR且a0,对任意的xR，均有fxafxfa＜恒成立，则称函数fx具有性

质P，已知：

1

:qfx单调递减，且0fx＞恒成立；

2

qfx：单调递增，存在

0

0x＜

使得

0

0fx，

则是fx具有性质P的充分条件是（）

A、只有

1

q

B、只有

2

q

C、

12

qq和

D、

12

qq和

都不是

【答案】C

【解析】本题要看清楚一个函数具有性质P的条件是，存在aR且a0，

则对于

1

0qa，＞时，易得函数fx具有性质P；

对于

2

q，只需取

0

ax，则

0

xaxxx＜，

0

0fafx，

所以

0

=fxafxxfxfxfa＜，所以此时函数fx具有性质P.

三、解答题（本题共5小题，共计76分）

17、已知边长为1的正方形ABCD，沿BC旋转一周得到圆柱体。

（1）求圆柱体的表面积；

（2）正方形ABCD绕BC逆时针旋转

2



到

11

ABCD，求

1

AD与平面ABCD所成的角。

【答案】（1）4π；（2）

3

arcsin

3

18、已知f(x)=sin(0)x.

（1）若f(x)的周期是4π，求



，并求此时

1

f()

2

x的解集；

（2）已知=1，2g()()3()()

2

xfxfxfx



，x0,

4











，求g(x)的值域.

【答案】（1）

1

=

2

，

5

xx|x=4x4,

33

kkkZ













或;（2）

1

-,0

2







19、已知：=

x

q

，x(0,80]，且

801

100-135(),(0,40)

=(0)

3

(40)85,[40,80]

xx

k

kxx



















，

（1）若v>95，求x的取值范围；

（2）已知x=80时，v=50，求x为多少时，q可以取得最大值，并求出该最大值。

【答案】（1）

80

x(0,)

3

；（2）

480

x

7

时，

max

28800

q=

7

20、双曲线

22

1

22

:1

4

xy

C

b

，圆222

2

:4(0)Cxybb在第一象限交点

为A，(,)

AA

Axy，曲线

22

2

222

1,

4

4,

A

A

xy

xx

b

xybxx

















。

（1）若6

A

x，求b；

（2）若

b5

，

2

C与x轴交点记为

12

FF、,P是曲线上一点，且在第一

象限，并满足

1

8PF，求∠

12

FPF；

（3）过点

2

(0,2)

2

b

S且斜率为

2

b

的直线l交曲线于M、N两点，用b的代数式表示，并求出

的取值范围。

【答案】（1）2；（2）

11

16

；（3）(625,)；

【解析】（1）若6

A

x，因为点A为曲线

1

C与曲线

2

C的交点，

∵

2

2

2

222

1

4

4

A

A

x

y

b

xyb















，解得

2

2

y

b















，∴2b

（2）方法一：由题意易得

12

FF、为曲线的两焦点，由双曲线定义知：

21

2PFPFa，

1

8,24PFa，∴

2

4PF又∵

5b

，∴

12

6FF

在

12

PFF中由余弦定理可得：

222

1212

12

12

11

cos

216

PFPFFF

FPF

PFPF







方法二：∵

5b

，可得

22

22

1

45

(3)64

xy

xy















，解得

(4,15)P

，

（3）设直线

24

:

22

bb

lyx





,

可得原点O到直线l的距离

2

2

2

22

4

4

2

4

4

1

4

b

b

db

bb











所以直线l是圆的切线，切点为M,

所以

2

OM

k

b

，并设

2

:

OM

lyx

b

，与圆2224xyb联立可得222

2

4

4xxb

b

，

所以得,2xby，即(,2)Mb，注意到直线l与双曲线得斜率为负得渐近线平行，

所以只有当2

A

y时，直线l才能与曲线有两个交点，

由

22

2

222

1

4

4

A

xy

b

xyb















，得

4

2

2

A

b

y

ab





，

所以有

4

2

4

4

b

b





，解得2225b，或2225b（舍）

又因为由上的投影可知：

所以

21.有限数列{}

n

a，若满足

12131

||||...||

m

aaaaaa，m是项数，则称{}

n

a满足性质p.

（1）判断数列

3,2,5,1

和

4,3,2,5,1

是否具有性质p，请说明理由.

（2）若

1

1a，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质p，求q的取值范围.

（3）若

n

a是1,2,...,m的一个排列

1

(4),(1,2...1),{},{}

kknn

mbakmab



都具有性质p，求所有满

足条件的

{}

n

a.

【答案】（1）对于第一个数列有

|23|1,|53|2,|13|2

，

满足题意，该数列满足性质p

对于第二个数列有

|34|1,|24|2,|54|1

不满足题意，该数列不满足性质p.

（2）由题意可得，111,2,3,...,9nnqqn≥

两边平方得：2-2-1212+1nnnnqqqq≥

整理得：11(1)120nnqqqq





≥

当1q≥时，得1(1)20nqq≥，此时关于n恒成立，

所以等价于2n时(1)20qq≥，所以(2)(1)0qq≥，

所以q≤-2或者q≥l，所以取q≥1.

当01q＜≤时，得1(1)2nqq≤0,此时关于n恒成立，

所以等价于2n时(1)20qq≤，所以(2)(1)0qq≤，

所以21q≤≤,所以取01q＜≤。

当10q≤＜时，得11(1)20nnqqq





≤。

当n为奇数的时候，得1(1)20nqq≤,很明显成立，

当n为偶数的时候，得1(1)20nqq≥，很明显不成立，

故当10q≤＜时，矛盾，舍去。

当1q＜时，得11(1)20nnqqq





≤。

当n为奇数的时候，得1(1)20nqq≤,很明显成立，

当n为偶数的时候，要使1(1)20nqq≥恒成立，

所以等价于2n时(1)20qq≥，所以021qq≥，

所以q≤-2或者q≥1，所以取q≤-2。

综上可得，,20,q。

（3）设

1

=ap3,4,32pmm…,，

因为

1

ap，

2

a可以取1p或者1p，

3

a可以取2p或者+2p

。

如果

2

a或者

3

a取了3p或者3p，将使

n

a不满足性质p

所以，

n

a的前五项有以下组合：

①

1

ap，

2

1ap，

3

1ap，

4

2ap，

5

2ap，

②

1

ap，

2

1ap，

3

1ap，

4

2ap，

5

2ap，

③

1

ap，

2

+1ap，

3

1ap

，4

2ap，

5

2ap，

④

1

ap，

2

+1ap，

3

1ap，

4

2ap，

5

2ap，

对于①，

1

1bp，

21

2bb，

31

1bb，与

n

b满足性质p矛盾，舍去。

对于②，

1

1bp，

21

2bb，

31

3bb，

41

2bb与

n

b满足性质p矛盾，舍去。

对于③，

1

+1bp，

21

2bb，

31

3bb，

41

1bb与

n

b满足性质p矛盾，舍去。

对于④，

1

+1bp，

21

2bb，

31

1bb，与

n

b满足性质p矛盾，舍去。

所以3,4,32pmm…,，均不能同时使

n

a，

n

b都具有性质p。

当

=1p

时，有数列

n

a：1,23,1,mm，…,满足题意。

当=pm时，时有数列

n

a：,1,321mm…,,,满足题意。

当

=2p

时，有数列

n

a：21,3,1,mm，…,满足题意。

当=pm时，有数列

n

a：1,,2,3,321mmmm…,,,满足题意。

故满足题意的数列只有上面四种。