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高等数学1

更新时间:2023-03-15 23:41:06 阅读：评论：0

好家风伴我成长-初中数学书

2023年3月15日发(作者：我们的知青岁月)

中国人民大学出版社(第四版)

高等数学一第1章课后习题详解

第一章函数、极限与连续

内容概要

名

称

主要内容（1.1、1.2）

函

数

邻

域

axxaU,（即,Uaxaxa）

0,0Uaxxa（0,,0Uaxaxax）

函

数

两个要素：对应法则f以及函数的定义域D

由此，两函数相等两要素相同；（与

自变量用何字母表示无关）

解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；

特

性

局

部

有

界

性

对集合DX，若存在正数M，使对所有Xx，恒有Mxf，称

函数xf在X上有界，或xf是X上的有界函数；反之无界，即任意正数

M（无论M多大），总存在（能找到）Xx

，使得Mxf

局

部

单

调

性

区间DI，对区间上任意两点

xx，当

xx时，恒有：



xfxf，称函数在区间I上是单调增加函数；

反之，若

xfxf，则称函数在区间I上是单调减小函数；

奇

偶

性

设函数xf的定义域D关于原点对称；若Dx，恒有xfxf，

则称xf是偶函数；若Dx，恒有xfxf，则称xf是奇

函数；

周

期

性

若存在非零常数T，使得对Dx，有DTx，且

xfTxf，则称xf是周期函数；

初等

函数

几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；

反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数

课后习题全解

习题1-1

★1．求下列函数的定义域：

知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x的取值的集合；

思路：常见的表达式有①

log□,（□0）②/N□,（□0）③(0)

④arcsin（1,1）等

解：（1）1,00,1

2























x

y；

（2）311

arcsin







x

y；

（3）3,00,

arctan3























x

xy；

（4）3,11,

1,,1

lg3































xorx

；

（5）4,22,1

160

)16(log























；

★2．下列各题中，函数是否相同？为什么？

（1）

2lg)(xxf与xxglg2)(；（2）12xy与12yx

知识点：函数相等的条件；

思路：函数的两个要素是f（作用法则）及定义域D（作用范围），当两个函数作用法则f相同

（化简

后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；

解：（1）2lg)(xxf的定义域D=Rxxx,0，xxglg)(的定义域

},0RxxxD，

虽然作用法则相同xxlg2lg2，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；

（2）12xy，以x为自变量，显然定义域为实数R；

12yx，以x为自变量，显然定义域也为实数R；两者作用法则相同“2□

1”

与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；

★3．设

















,sin

)(





x，求)2()

()

(











，，，，并做出函数

)(xy的图形

知识点：分段函数；

思路：注意自变量的不同范围；

解：

sin)

(



，

sin

















，

sin



































02；如图：

★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性：

（1）1,







y（2）xxyln2，,0

知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查



图

定义域的

某个子区间上函数的单调性的问题。

思路：利用单调性的定义即可。

解：（1）设

x，

x1,，当

xx时，



1111













yy，由单调性的定义知是单

调增函数；

（2）设

x，

x,0，

xx，

21221121

ln)()ln()ln(

xxxxxxyy

由

x，

x,0，

xx，知1

1

，故0ln

1

（对数函数的性质），则有

yy，得结论是单调增函数；

★5．设)(xf为定义在ll,内的奇函数，若)(xf在l,0内单调增加，证明：)(xf在

0,l

内也单调增加

知识点：单调性和奇偶性的定义。

思路：从单调增加的定义出发，证明过程中利用奇函数的条件；

证明：设

2121

,0,,xxlxx，则

1221

),,0(,xxlxx，

由xf在l,0内单调增加得，

xfxf1，又xf为定义在ll,内的奇函

数，则（1）式变形为

xfxf，即

xfxf，则结论成立。

★6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：

（2）两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；

（3）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。

本题可作为结论应用。

思路：按定义证明即可。

证明：设函数xgxf,定义域分别是

,DD（

,DD是关于原点对称区间）；

（1）设xgxfxF，定义域为

DD，显然

DD也关于原点对称，

当xgxf,均为偶函数时，xFxgxfxgxfxF，得

xF为偶函数；

当xgxf,均为奇函数时，xFxgxfxgxfxF，得

xF为奇函数；

（2）令xgxfxG，定义域为

DD，

DD关于原点对称，

当xgxf,均为奇函数时，xGxgxfxgxfxG)(，得

xF为偶函数；

当xgxf,均为偶函数时，xGxgxfxgxfxG，得xF为

偶函数；

当xgxf,为一奇一偶时，xGxgxfxgxfxG，得xG

为奇函数；

★7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？

（1）1ctanxxy；（2）

xxee



；（3）

xexxycoscos；

（4）22xxxy。

知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质；

思路：按定义证明，尤其先判断函数定义域是否关于原点对称，并利用基本初等函数的性质；

解：（1）1ctan1ctanxxxxxf，显然既不等于xf，

也不

等于xf，故是非奇非偶函数；

下面三个函数的定义域为全体实数R，关于原点对称

（2）

xf









，故是偶函数；

（3）xfexxxfxcoscos，故是偶函数；

（4）xfxxxxf22，故是奇函数；

★8．下列各函数中哪些是周期函数？并指出其周期：

（1）1cosxy；（2）xxytan；（3）xy2sin。

知识点：函数周期性。

思路：利用定义，及基本初等函数性质，或已知结论，可按已知结论（如弦函数

CxAycos，

则最小正周期



2

T，切函数也有类似结论）。

解：（1）由弦函数周期公式知最小正周期2T；

（2）对正数T，TxTxTxftan，而切函数周期是的整数倍，故本题函数

不是周期函数；

（3）

2cos1

sin2



，则最小正周期





★★9．证明：xxxfsin在,0上是无界函数；

知识点：无界函数定义。

思路：证明函数在某区间上是无界的，只需证对0M（无论M有多大），),0(

x，

使其函数值Mxf||

即可。

证明：对于任意正数M，要使Mxxxf|sin|||，

考虑当Zkkx,



，

2|sin|||



kxxxf

∴要使Mk



，只要







M

k），取1





















∴0M（无论M有多大），



kx，使得Mxxxf|sin|||

000

，

∴xxxfsin在,0上是无界函数

（注1：

k取值只要并且确保Mkf

















即可，因此取2





















k也可；

注2：数学符号“”表示“任意”；“”表示“存在”；“”表示“使得”。）

★10．火车站行李收费规定如下：当行李不超过50kg时，按每千克3/20元收费，当超出50kg时，

超重

部分按每千克1/4元收费，试建立行李收费xf（元）与行李重量kgx之间的函数关系式。

知识点：函数关系的建立。

思路：认清变量，关键是找出等量关系。

解：



050,050

31,

5050

50,50

204

fxfx

























。

★11．收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购超过100

台的，

每多订一台，售价就降低一分，但最低价为每台75元

a)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；

b)将厂方所获得利润L表示成订购量x的函数；

c)某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？

知识点：函数关系的建立，以及经济函数；cxfxf



)(0)(。

思路：分清变量及函数关系，经济函数关系总利润L（总收入）R(总成本)C。

解：售价恰好降到75元时需订购的台数位1600100

010

7590







，则

（1）：。

90,0100

90(100),1001600

100

75,1600

pxx



















（2）：



9060,0100

609010060,1001600

100

7560,1600

30,0100

31,1001600

100

15,1600

xxx

LRCpxxxxxx

xxx









































（3）210

100

10002L（元）。

习题1-2

★1．求下列函数的反函数：

（1）;





；（2）





y；

知识点：反函数求法；

思路：解出x的过程即为求反函数的过程，直接函数的因变量变为反函数的自变量；

解：（1）

xxyx



















（习惯上自变量用字母x表

示）

（2）

yyyxxx













log

222





log

。

★2．设





















，求1xf，12xf；

知识点：分段函数的定义；

思路：代入即可；

解：

1,101,1

10,1010,1

1,101,1

fxxfxx



























































★3．设函数xxxf3

，xx2sin，求

























f，1fff

知识点：复合函数定义；

思路：逐层代入即可：

解：

2sin

















，



























f





























f；

01f，000013fff，001ffff

★★4．设





，求xff和xfff。

知识点：函数的复合；

思路：同上题，逐层代入即可。

解：

fxff

1





















，（

xx）；



fxfff

21





















，

定义域

,1:1

,1:







xxxD

xD。

★5．已知xxfcos1，

sin

x，求xf。

知识点：函数复合；

思路：换元法①令txtx1（此种方法要求x易解），x、x分别用t1、

t代；换元法②将xf的表达式化成用x表达的式子（需要技巧），再令tx代换；

解：用法②：

sin22

cos2cos1

sin22

fxf













，

令222222

sinxxfttft

xt

（自变量与用何字母表示无关）。

★6．设xf的定义域是1,0，求：

（1）2xf;（2）xfsin；（3）axfaxf（a0）（4）

21xf

知识点：复合函数的定义域；

思路：xf的定义域是1,0，表明若有Af，则1,0A；

解：（1）1,11,02xx；

（2）

kkkkxx



12,212,201,0sin

（3）

























aax

1,0

，当aa1时，即

0a时，结果为

aa1,；当

a时，结果为；

（4）



1,1

1,01

















★7．设2xxxf，求：（1）xf的定义域；（2）2

xff

知识点：函数定义域及函数复合；

思路：略。

解：（1）Rxxxxx220，故定义域为全体实数R；

（2）2

2222xxxxxxxxfxff











































222

2)2(

xxxxxff

★8．xxfsin，21xxf，求x及其定义域；

知识点：函数的复合及定义域；

解：kxxxxxf21arcsin1sin22，

x的自然定义域为1112x，即22x

内容概要

名称主要内容（1.3，1.4，1.5）

1.3数

列极

限

数列极限定义（N）：任意给定正数（无论多小），总存在正整数N，使得对于Nn

时的一切

x，总有ax

成立，则ax





lim；

数列极限的

性质：

极限的唯一性；收敛数列必有界；收敛数列的保号性；

子数列收敛性；

1.4

函数

的极

限

函

数

极

限

定

义

Axf





lim

函数xf当x大于某正数时有定义，如果对任意给定正数（无论

多小），总存在正数X，使对满足Xx的一切x，总有

Axf

Axf





lim

函数xf在

x的某一去心邻域有定义，如果对任意给定正数（无

论多么小），总存在正数，使对满足

0xx的一切x，

总有Axf

单侧

极限

xf

x

lim





Axf

limAxf





lim且Axf





lim

xf

x

lim

单边

极限

xf

lim





Axf

limAxf





lim且Axf





lim

xf

lim



函数极限的性质：唯一性，有界性，保号性，子序列的收敛性；

1.5无

穷小

与无

穷大

（以

xx

）为例

无

穷

小

定义：极限为零的变量（函数）；

定理：

定理

函数表示：

无穷小性

质：

1.Axf





lim的充要条件是Axf，其中是当

xx时的无穷小；

2.有限个无穷小的和仍是无穷小；

3.有界函数与无穷小的乘积是无穷小；

无

穷

大

定义：任意给定正数M(无论多大),当

xx(即存在正数,当

0xx

时),总有Mxf；

正无穷大，负无穷大统称为无穷大；

无穷大一定是无界变量，但无界不一定是无穷大；

习题1-3

★1．观察一般项

x如下的数列

x的变化趋势，写出它们的极限：

（1）

；（2）

1；（3）

；（4）







；

（5）nxn

1

知识点：数列定义。

思路：写出前几项，观察规律。

解：（1）

,27

0；

（2）0,

,1；

（3）2,

125

2,12；

（4）1,

100

1





；

（5）,4,32,1。

★★2．利用数列极限定义证明：

（1）0

lim



（k为正常数）；（2）

lim





n

；（3）0sin

lim









。

知识点：极限定义。

思路：按定义即可。

证明：（1）0

lim



：对任意给定的正数，要使＊0

，即n

k















，只要

取

























kN



，则对任意给定的0，当Nn时，就有0

，即0

lim



（注，只要保证N的取值能够让N以后的所有项的值满足＊式即可，因此N可取大于或等于























k



的整数）；

（2）

lim





n

：对任意给定的正数，要使＊

3137

4144(41)









，只要





，∴取

















N，则对任意给定的0，当nN时，就有





，

∴

lim





n

（3）0sin

lim









证明：由于

0sin

22













，

因此对任意给定的正数，要使





0sin

，只要

2

，即





（计算时为方便不妨设2n，因为前面的有限项对极限无影响）

取











2



N，则对任意给定的0，当nN时，就有





0sin

，

∴0sin

lim









★3．设数列

x的一般项

cos

1n

。问?lim



x求出N，使得当nN时，

x与其

极

限之差的绝对值小于正数。当0010时，求出N。

知识点：数列极限定义

思路：按极限定义即可

解：观察可得：0

cos

lim



n

，证明该结果如下：

由于

cos





，因此对任意给定的正数，要使



0

cos

，只要

，即



，取















N（N取大于或等于













的整数都可以），则对任意给定的0，当Nn

时，就有



0

cos

，∴0

cos

lim



n

。

当0010时，可取1000N。

★4．设

sin

n













，证明数列

a没有极限。

知识点：判定数列极限不存在的方法

思路：若某数列极限为A，则其任意子列的极限都为A，因此，若某两个子列极限不同，则说明

原数列极限不存在。

证明：令Nkkn,2，则得子列

sin

k













，当n时，k；

则

k

lim

sin

k













0；

取另一个子列Nkkn,14，

得

)14(

sin



















































2sin



k

，

当n时，k，则

k

lim



sin

















k



lim



1；

综上，原极限不存在。

★5．设数列

x有界，又0lim



y，证明：0lim



yx。

知识点：数列有界及数列极限定义

思路：有条件可知

xM；



y，如何让两者结合，证明

yx成立，是解决

问题的关键。

证明：①数列

x有界，则存在正常数M，使对任意n，都有

xM，则

nnn

xyMy；

②0lim



y，则对任意正数

，存在N，当nN时，有



y；

则对于任意正数，取



,由②可知：存在自然数N，当Nn时，有



，

从而有：

xyM



，

∴0lim



★6．对数列

x，若ax







lim，ax





lim，证明ax





lim。

知识点：子列极限和原数列极限的对应关系；

思路：对0，根据条件，寻找使

xa成立的n的范围。

证明：对于0，由ax







lim，则存在

N，当

N1-2k时，



k12

；

由ax





lim，则存在

N，当

N2k时，



k12

；

取

,maxNNN，当nN时，（无论12kn还是kn2）

都有ax

，即ax





lim。

习题1-4

★1．在某极限过程中，若xf有极限，xg无极限，试判断：xgxf是否必无极限。

知识点：函数极限性质

思路：举例说明即可

解：xgxf可能有极限，举例如下：

令xxf，

sin，0lim





，xg

lim



不存在，但0

sinlim



x

；

★★2．用函数的极限定义证明：

（1）

lim



x

；（2）0

sin

lim

x

（3）1

lim



xx

；（4）2

lim





xx

知识点：函数极限定义

思路：对于0，找出符合要求（比如（1）中要求



）的x范围，即找到

描述自变量范围的X或；为了找到X或，有时需要对不等式作适当的放缩。

证明：（1）任意正数，要使,







Axf即



x；

只要取



X，当Xx时，有



，即

lim



x

；

（2）任意正数，∵

Axf

sin

，

∴当

，即



x时，0

sin

，

∴取



X，当Xx时（因为已知0x），有0

sin

，即0

sin

lim

x

（3）由于,









Axf（为找到20x中的，不妨将x范围限制在

2x内，因为

xx时()fx的极限，只和

x附近的x所对应的函数值()fx有关）

不妨设

2x，则

x，则2









，

对任意正数，要使2

x，只要

2x，

取















min，当20x时，







与

x同时成立，

∴有

fxAx









∴1

lim



xx

（4）

Axf

2





，不妨设

1x，则

x，则









，

对任意正数，要使12x，只要2/1x，

取















min



，当10x时，

fxAx





，

∴2

lim





xx

★3．当2x时，42xy，问等于多少，使得当20x时，00104y？

知识点：函数极限定义

思路：由于考察的是2x时函数的极限，所以不妨在21x（即31x）范围内讨论，

这样的方法在极限证明中经常用到。

解：（不妨设31x），则

2442252yxxxx，要使520001x只要

0001





∴取

0001

0.0002





，则当20x时，00104y

（注：还可选取比0.0002小的数，只要保证00104y即可）

★4．求

lim

2



nx

知识点：数列极限；

解：

0,0

lim

lim,0



































（所用到的性质见第六节）；

★5．讨论函数

xf当0x时的极限。

知识点：左右极限；

思路：求分段函数在分段点处的极限，首先要分别求出左右极限；

又



Axf

limAxf





lim且Axf





lim

解：∵1,0













，

∴11limlim



xx

xf；11limlim

00_



xx

xf；

∴

lim()



不存在

★6．证明：如果函数xf当

xx时的极限存在，则函数xf在

x的某个去心邻域内有界。

知识点：函数极限和局部有界的定义

证明：设A





lim，则对于任意正数，存在正数，当

0xx时，有

Axf，

即AxfA，取|||,|maxAAM，则Mxf；

∴当

0xx时，Mxf。

★7．判断

e1lim



是否存在，若将极限过程改为0x呢？

知识点：函数极限，以及指数函数性质（图像）

解：11

0lim1x





；（严格来说要再用极限定义证明，但可省略，下同）

0limx





；

0lim0x





，

故

lim



不存在

习题1-5

★1．判断题：

（1）非常小的数是无穷小；（2）零是无穷小；（3）无穷小是一个函数；（4）两个无穷小的商是无穷

小；

（5）两个无穷大的和一定是无穷大；

知识点：无穷小，无穷大的定义和性质；

思路：略。

解：（1）错，因为无穷小是指极限为0的变量，而不是非常小的数。

（2）对，因为0的极限为0，所以0是无穷小，只有零作为常函数的的时候才是无穷小，其他常

数都不可能是无穷小

（3）对

（4）错，两个无穷小的商未必是，例如

lim0lim1

x



（5）错，如：x时，x及x，x2都是无穷大，但xx是无穷小，而xx2是无

穷大

★2．指出下列哪些是无穷小量，哪些是无穷大量

（1）







n11

；（2）0

cos1

sin





；（3）2







知识点：无穷小，无穷大的定义；

思路：求出极限即可（并利用无穷小倒数是无穷大的结论）

解：（1）是无穷小量；（2）是无穷小量；（3）0







，则2







是无穷大量；

★3．根据极限定义证明：

sin为0x时的无穷小；

知识点：函数极限定义；

思路：按定义证明；

证明：即要证0

sinlim



x

：

由于x

x0

sin，∴对任意正数，当x时，就有

sin，则取，

当x0时，

sin，证毕。

★4．求下列极限并说明理由：

（1）

lim





；（2）

lim

0



x

；（3）

xxcos1

lim

0

；

知识点：无穷小和无穷大的关系；

思路：先将函数作一定的化简；

解：（1）0

3lim

lim



xx

（依据无穷大的倒数是无穷小）

（2）



22lim

lim













xxx

（3）0cos11cos0xxx，又无穷小的倒数是无穷大，故

xxcos1

lim

。

★★5．函数xxycos在,内是否有界？当x时，函数是否为无穷大？为什么？

知识点：函数有界的定义及无穷大的定义；无穷大一定是无界的，但无界未必无穷大；本题为

无界变

量不是无穷大的典型例子。

思路：证明不是无穷大，只需要找到x时，函数xxycos的一个无穷子列，其极限

不是无穷大即可。

解：∵对任意1M，总可以取Mx2

，有MMxx2cos

∴xxycos在,上是无界的；

又因为当



kx时，xk；此时0

2cos

2lim

































kk

，

∴xxycos不是x时的无穷大

★★★6．设

xx时，xg是有界量，xf是无穷大量，证明：xgxf是无穷大量。

知识点：函数局部有界和无穷大的定义。

思路：可利用不等式()()fxgxfxgx，及已知条件：xg是有界量，xf

是无穷大量，证明结论。

证明：0

xx时，xg是有界量，知存在正常数

及

M，当

0xx时，



Mxg；

对任意常数M（无论有多大），不妨设

MM，∵

xx时，xf是无穷大量，

∴对于MM2

，存在正常数

，当

0xx时，MMxf2

；

综上，无论M多大，总可以取

,min，当

0xx时，



Mxg和

Mxf同时成立；

则有MMMxgxfxgxf

成立，即xgxf是无穷大量。

★7．设

xx时，Mxg（M是一个正的常数），xf是无穷大量，证明：xgxf是

无

穷大。

知识点：无穷大的定义；

证明：∵xf是无穷大量，则对任意0

M，存在正常数，当

0xx时，



Mxf，又Mxg，∴这时

MMxgxf，由

MM的任意性，知xgxf

是无穷大。

内容概要

名称主要内容（1.6,1.7,1.8,1.9）

1.6极

限运

算法

则

1．极限四则运算性质；

2．复合函数极限运算法则；

3．求极限的其他技巧：如约掉非零的无穷小或分子（分母）有理化；利用定理：有界量与无

穷小的乘积为无穷小

1.7极

限存

在准

则，两

个极

限

准则

1．夹逼准则

2．单调有界准则：单调有界数列必有极限；

极限

sin

lim1



，1

lim1e



（或

lim1e











）；

柯西极限存在准则

1.8无

穷小

的比

较

无穷小的比较（定义）：高阶；低阶；同阶及等价；k阶无穷小。

几个等价无穷小公式：（内可填变量或函数，如：当0x时

222sin~~ln(1)xxx）

当0时，sin~；tan~；arcsin∼arctan~；ln1~；

1~e；1a∼lna；11∼；

定理：∼充要条件是o

1．函数xf在

x的某邻域有定义，若在

x处x取得微小增量x时，函数的增

1.9

函数

的连

续与

间断

定义

量y也很小，且0lim





，则称xf在

x连续；

2．若有

limxfxf





，则称则称xf在

x连续；

左连续：

limxfxf



xf在

x连续当且仅当xf在

x既左连续又右连续

右连续：

limxfxf





基本初等函数在定义域内是连续的；初等函数在定义区间内是连续的；

间断点

分类

第一类：

左右极限

都存在

当Axfxf00

，称为可去间断点，此时可重新补

充函数的定义：Axf

，使之在

x连续；

当00

xfxf，称为跳跃间断点；

第二类：

左右极限

至少有一

个不存在

当0

xf或0

xf，时，称为无穷间断点

当

xx的极限过程中，函数值不断震荡，称

xx为振荡间断

点

习题1-6

★1．计算下列极限：

（1）

lim

3



x

；（2）

lim

1



x

；（3）















2lim

；

（4）

lim





xx

；（5）

lim

4



xx

;（6）

xxx

x23

lim

0





；

（7）



xhx

lim





；（8）





























1lim

；（9）

xee





cos

lim；

（10）

lim

x





；（11）2

lim





x

；（12）

xxx





21lim；

（13）

arctan

lim



；（14）















lim

；（15）



50

2030

2312

lim





x

；

（16）

11lim22



xxxx

；

知识点：极限求法

思路：参照本节例题给出的几种极限的求法

解：（1）∵22

lim(3)0,lim(1)4



，∴0

lim







x

（2）





lim



















x

xxx

；

（3）

















2lim

xxx

lim





lim

xx

2；

（4）0

lim















；

（5）











41

lim

4xx

xx3

lim





x

；

（6）





xx

xxx

x23

lim









23

124

lim

0xx

xxx



2

124

lim







x

；

（7）







h

xhx

lim







h

xhxxhx

lim

lim(2)2

xhx



；

（8）2

lim2

lim1

1lim



























































x

xxxx

（9）∵lim0,limxx

ee



，∴

lim0

xee







，

说明

xxee

是无穷小，而xcos是有界量，

∴

limcos0

ee







（10）







lim









31)2(

31)31(

lim

8xx



31)2(

lim

8



xx

121

333

224

lim

xxx





















lim242











（11）∵2

lim(2)16,lim20

xxx



，∴









lim

；

（12）

xxx





21lim













xx

xxx

1lim

lim



xx

；

（13）x，0



，而xarctan是有界量，故0

arctan

lim

x

；

（14）















lim

x









2

lim1

11x

xxx







；

（15）



20

2030

2312

lim









x

，本题利用本节有理分式的极限规律，只要找到

分子分母的最高次项比较即可，分子的最高次项由x2的30次方与x3的20次方乘积所得，即

203032xx，而分母的最高次项由x2的50次方所得，即502x；无需确切计算分子分母；

（16）

11lim22



xxxx















11

11lim

xxxx

lim

22



xxxx

，

当x时，1



xxxx

；

当x时，1



xxxx

；

故

11lim22



xxxx

不存在

★2．计算下列极限：

（1）















1lim

；（2）



1321

lim







；

（3）



321

lim

nnn





；（4）



23121

322

lim





nnn

。

知识点：数列极限求法；

思路：（1）（2）需要先化简被求极限的式子，（3）（4）则利用有理分式极限的求法；

解：（1）

















1lim



lim























；

（2）









1321

lim





)11(

lim







n

；

（3）









321

lim

nnn

；

（4）



2

23121

322

lim







nnn

；

★3．设





















,23

，分别讨论0x及1x时xf的极限是否存在？

知识点：分段点处函数的极限；左右极限；

思路：分段点函数的极限要左右极限分别求；

解：当0x时，2

lim(1)1



，

lim(32)2



；故xf

lim



不存在；

当1x时，2

lim



xx

，

lim(1)2



，故2lim





；

★4．已知4lim



及1lim



，0lim



，求：

（1）



xf

cx

lim；（2）



xgxf

cx

lim；（3）xgxf





lim；（4）xhxf





lim

（5）



xh

cx

lim

知识点：函数极限四则运算性质；

思路：按性质求；

解：（1）



4

lim

lim



xf

；

（2）









limlim

lim

lim











xgxf

xgxf

cxcx

；

（3）



xgxf

lim4limlim



xgxf

cxcx

；

（4）



xhxf

lim0limlim



xhxf

cxcx

；

（5）



lim

lim



xg

，而无穷小的倒数是无穷大，故





；

★5．若4

lim







x

kxx

，求k的值；

知识点：函数极限；

思路：分析求极限的过程，求出k的值；

解：





3

lim

kxx

3333

limlim(1)

33xx

xxxkk

xx







lim(1)4

x







，故必有03k，即3k；

方法二：可由§1-8节无穷小比较来解：当3x时，03x；故此时必有

022kxx，

故3k；

★6．若0

lim





















bax

，求a，及b的值；

知识点：同上；

解：

bax

xbax

bax















b

xa



1

21，

则由



















bax

lim

2]1

21[limb









0知，必有

012,01ba，解得：1,1ba

习题1-7

★1．计算下列极限：

（1）

5tan

lim

0

；（2）xx

cotlim

0

；（3）

sintan

lim





；（4）

xsin

2cos1

lim





；

（5）

xcos1

lim

0

；（6）

x

sin

lim；（7）

arcsin2

lim

0

；（8）

xsin

sin

lim

0





；

知识点：两个重要极限；

思路：当函数用三角函数和幂函数表达时，可考虑变形成

sin

，其中0；但本题解法不是

唯一

的，可用下一节的等价无穷小代换来解更容易；

解：（1）

5tan

lim

0

5cos

5sin

lim



xx

；（2）1cos

sin

limcotlim





；

（3）0011

cos

lim

sin

lim

cos

sin

lim

sintan

lim

0000



































xx

xxxx

（4）2

sin

2lim

sin

sin2

lim

sin

2cos1

lim





x

xxx

；

（5）2

sin

2lim

sin2

lim

cos1

lim



x

xxx

；

（6）



sin

lim

sin

lim

sin

lim







t

ttx





；

（7）0arcsin0xx，则

2arcsin22

limarcsinlim

33sin3xt

xt

；

（8）

sin

11lim

sin11

sin

limlim0

sin

sin11

11lim

sin













；

★2．计算下列极限：

（1）x

1lim



；（2）x

21lim



；（3）

x31

lim

















；（4）

















1limNk

（5）

lim



















；（6）

xax



















lim；（7）x

1lim



；（8）

xx



1

lim

知识点：重要极限：1

lim1e



（或

lim1e











）

思路：将函数表达式化成1

lim1e



（或

lim1e











），并利用指数函数运算性

质

（n

mmnnmnmeeeee,）得出结果

解：（1）1

(1)

000

lim1lim1lim1xx

xxx

xxxe





















；

（2）

lim12lim12xx

xxe















；

（3）

111

limlim1lim1

xxx























；

（4）



















































1lim

1lim；

（5）



1lim

lim













































































xxx



13/

11/

lim1































；

（6）

limlim1lim1

xaaxxa

axaa

xxx

xaaa

xaxaxa































；

（7）eexexex





1lim1lim

（8）

111

221

000

1112

limlnlimlnlimln1ln1

111

xxx

xxxx





















；

★★3．设

sin

12,0

1,0

fxx























，求xf

lim



。

知识点：分段函数的极限

思路：可以先将xf化成1xf或1tf，以利用已知的函数表达式；或者，由已知

1xf，求出xf的表达式，再求xf

lim



。

解：方法一：换元：1lim1lim





tfxtxf

，由已知



sin

lim1lim()sin1

t

，则1sinlim





；

方法二：令tx1，则1tx，代入已知得



sin1sin1

101

2,102,1

,101

fttftt

tttt





























sin1

2,1

fxx



























，则



1sin

limlim







x

；

★4．已知3lim

2



















xcx

，求c。

知识点：同题2

思路：同题2

解：222

limlim13ln3

xxccx

cxc

xcc

xcxc





















；

★★5．利用极限存在准则定理证明：

（1）1

lim

222





















nnnn

；（2）11lim





知识点：夹逼准则

思路：关键是将被求极限的式子放缩；可将分子或分母改变，最好改变后式子可以化简且极限

易求

解：（1）



















































222222

111111

nnn

nnnn

n



222























nnn

，而1

limlim









nn



，

由夹逼准则，知1

lim

222





















nnnn



（2）n

nxx

11，在求0x时的极限时，不妨设11x，

Ⅰ：当10x，有xxn111，且11lim





，由夹逼准则，知11lim





x；

Ⅱ：当01x，有111nxx，且11lim





，由夹逼准则，知11lim





x；

综上，11lim





x；

★★6．利用极限存在准则证明数列2，22，222的极限存在，并求

出该极

限。

知识点：单调有界数列必有极限。

思路：先证单调有界，再求极限。

解：数列通项满足





xx，22

x，222

xx，不妨设



kk

xx，则22222



kk

xx，即2



kk

xx；由归纳法知，此数

列单调增加，且2

x；由单调有界数列必有极限知，此数列极限存在，设为A；

将





xx左右两边取极限：AAxxx











2lim22limlim

，

解得，2A或1A，显然0

x，由极限的保号性，知极限0A，故2lim



x；

★★7．设

x满足：01

x，,2,1,022





nxxx

nnn

，证明

x收敛，求



lim。

知识点：同上；

思路：同上；

解：0

2xxx，当01

x时，∵1)1(22

xxxx，∴

x，

设01



k

x，则1)1(22



kkkk

xxxx，得：01

x；

由数学归纳法知，此数列有界且01

x；

此时，110

x，则有0122



nnnnnnn

xxxxxxx，即

xx

1

，

知数列单调减小，且有下界，故必有极限。

设Ax





lim，则有

n

lim)2(lim2

1nn

xxx





，解得022AAAA或1A；

因数列单调减，且01





xxx

，故1lim



x；

习题1-8

★1．当0x时，

2xx与

32xx相比，哪一个是高阶无穷小？

知识点：无穷小的比较

思路：关键是求两个无穷小商的极限，然后根据无穷小比较的定义作出判断

解：0limlim







；故

32xx是

2xx的高阶无穷小；

★★2．当0x时，













cossin2

与xx1lncos1是否为同阶无穷小？

知识点：无穷小的比较

思路：可先利用等价无穷小代换化简，然后再作判断。

解：当0x时，xxx~)1ln(,2)cos1(∴xx1lncos1～x2





























cos

sin1

cossin2

，

由于0

coslim,1

sin

lim



x

（有界量乘无穷小量为无穷小）

∴x

cos

sin

cos

sin

lim































，

显然x2与x同阶但不等价，由等价关系及同阶关系的传递性可得：

xx1lncos1与













cossin2

同阶，但不等价；

★★3．当0x时，30axaa与x相比是几阶无穷小？

知识点：无穷小比较

思路：对3axa作适当的变形，使之可以套用常用的等价无穷小。

解：













11

aaxa，

当0x时，0



，故













11

～

，∴

~11















显然axa3

是x的三阶无穷小；

★4．当0x时，若xcos1与

nmx等价，求m和n的值。

知识点：无穷小比较；

思路：注意利用书中所给的等价无穷小公式，及等价关系的传递性；

解：当0x时，xcos1～2

x～

nmx，显然2,

nm；

★5．利用等价无穷小性质求下列极限：

（1）

3arctan

lim

0

；（2）



0cos1

tansin

lim

x

；（3）



0tan

sin31ln

lim





；

（4）

xarctan

1sin1

lim





；（5）

04tan

2sin5

lim

xxx

x





（6）

lim





知识点：等价无穷小代换求极限；

思路：要活用等价无穷小公式，如当0x，有03x，故

3sinx～

3x，以及有关定理。

解：（1）

lim

3arctan

lim



x

；（2）



lim

cos1

tansin

lim







x

；

（3）当0x时，0sin3xx，故xxsin31ln～xxsin3，



sin3

lim

tan

sin31ln

lim





x

；

（4）

sin

lim

arctan

1sin1

lim









xx

；

（5）方法一：

sinsin

525limlim2

5sin2

limlim5

tantan

tan4

4limlim4

xxx













方法二：



xxox

xxoxx

xxx

xxx41

lim

4tan

2sin5

lim

322

0



















4limlim1lim

2limlimlim5lim

000

000











xxx

xxxx

（其中，2xo表示

2x的高阶无穷小，xo则表示x的高阶无穷小，自然由xo，2xo的定义有



0lim



x

，



0lim



x

；又由定理：与是等价无穷小的充分必要条件是：

)(o

所以)(sin222xoxx，)(tanxoxx）

（6）5

lim





x

习题1-9

★★1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形。

（1）















xf；（2）













或

知识点：函数连续定义；分段点处的连续性

思路：初等函数在定义域上连续，而在函数的分段点处要分别验证左右连续性。

解：（1）显然函数在定义区间2,11,0上连续，且在0x处右连续，在2x处左

连续；

在分段点1x处，∵1lim012





，12lim01





，

则10101fff，∴函数在1x处连续；故函数在2,0上连续；

（2）显然函数在1,1,11,上连续；

在分段点1x处，∵1lim01





，11lim01



x

f，

则10101fff，∴函数在1x处连续；

在分段点1x处：11lim01



x

f；1lim01





，极限不存在，故不连续；

综上，函数在,11,上连续。（见下图）

★2．下列函数xf在0x处是否连续？为什么？

（1）

















sin2

xf；（2）

















sin

知识点：函数连续定义；

思路：左右连续分别验证；

解：（1）00

sinlim2





，则函数在0x处连续；

（2）01

sin

lim,1lim





，则函数在0x处连续；

★3．判断下列函数的指定点所属的间断点类型，如果是可去间断点，则请补充或改变函数的定义使

它连

续。

（1）





x

y；（2）;2,1,







xx

（3）0,1ln

xx

y；（4）0,

cos2x

y；

知识点：间断点类型及判定；

思路：间断点类型取决于左右极限是否存在，故要分别求间断点的左右极限；

图1-9-1-1

1xy2

2xy

图1-9-2-2

1y

xy

解：（1）







lim

，∴2x是第二类的无穷间断点；

（2）1x时，



lim



















x

xxx

，左右极限相等，

∴是第一类中的可去间断点，补充定义21y可使函数在该点处连续；

2x时，











2

lim

，∴是第二类无穷间断点；

（3）



1lim

1ln

lim









x

，∴0x为第一类可去间断点，补充10y可使函数

在该点处连续。

（4）0x时，

cos2

的值在0到1之间来回变动，故0x是第二类震荡间断点

★★★4．证明：若xf在点

x连续且0

xf，则存在

x的某一邻域

xU，当

xUx

时，

0xf。

知识点：连续的定义以及极限的保号性

证明：由于0

xf，不妨设0

xf，

∵xf在点

x连续，即

limxfxf





，

∴对

fx，存在正数，当,

xUx时，

xfxf，

即

002

xfxfxf

fxfxfx，故0xf；

而已知0

xf，故当,

xUx时，0xf。

同理可证，当0

xf时，存在

x的某一邻域,

xU，当,

xUx时，0xf。

★5．设















，应当如何选择数a，使得xf成为,内的连续

函数。

知识点：函数在区间上的连续性

思路：关键是分段点处的连续问题

解：由初等函数的连续性，显然xf在,00,上是连续的；故只要在分段点

0x

处连续即可；故只需在0x处有0limlim

fxfxf





，

代入aexax



00

limlim，解得1a；

★6．设























xxb

,ln

，已知xf在0x处连续，试确定a及b的值。

知识点：左右连续；

思路：在0x处连续，有00000fff，并据此列式求解；

解：xf在0x处连续当且仅当xf在0x处既左连续又右连续；

由











eb

abfxaxxb

1ln10limlnlim2

；

★7．研究



















xfx在0x处的左右连续性。

知识点：左右连续；

思路：由于当x时，xe；当x时，0xe，故在求涉及到

xe当0x

时的极限时一定要左右极限分别求。解：1

lim







，0

lim







，而00f，显然)(xf在0x处是右连续但不左

连续。

★★8．设函数xg在0x处连续，且00g，已知xgxf，试证函数xf在0x

处

也连续。

知识点：连续定义；

证明：xgxf，故000000fgf；

由函数xg在0x处连续，则对任意正数，存在正数，当00x时

0gxg，即xg；而xgxffxf0，所以

0lim

fxf





，即xf在0x处也连续。

证法二：xgxf，故000000fgf；

又0fxgx，∵xg在0x处连续，∴

lim()(0)0

gxg





∴由夹逼定理：

lim()0lim()0

fxfx





★★★9．设

lim

212











bxaxx

xf，当a，b取何值时，xf在,上连续。

知识点：极限求法和连续定义；

思路：先将xf化成初等函数，才方便考察其连续性；化简过程即是计算极限的过程，在计

算极限过

程中，当n时，

nx2

的极限与x的范围有关：当1x，02nx；当1x时，nx2

；

故要分类讨论，以数1为分段点

解：当1x，





1

lim

212

bxaxx

lim

baba









；

当1x，





1

lim

212

bxaxx

lim

baba









；

当1x，





1

lim

212

bxaxx

bxax2

；

当1x，





1

lim

212

bxaxx













212

lim；

则

,11

axbxx





























，显然xf在，，，1111上连续，

故xf在,上连续，只需要求在1x，1x处连续，

而1limlim





xxf

，babxaxxf





limlim，知1ab①；

babxaxxf





limlim，1limlim





xxf

，知1ba②；

由①②解得：1,0ba；

内容概要

名称主要内容

1.10

连续

函数

运算

与性

质

连续函数的四则运算性质；

反函数与复合函数的连续性；初等函数在定义区间内是连续的；

闭区间

连续函

数性

质

最值定理：闭区间连续函数一定有最大最小值；

有界性定理：闭区间连续函数一定在该区间上有界；

零点定理：闭区间ba,上的连续函数xf，若af与bf异号

（afbf0），则在开区间ba,内至少有函数xf的一个零点，即至

少存在一点ba，使得0f。

介值定理：闭区间ba,上的连续函数xf，若Aaf，Bbf，则

对任意BAC,，至少存在一点ba，使得Cf

一致连续性定理（了解）；

习题1-10

★1．求函数







xxx

y的连续区间，并求xf

lim



，xf

lim



，xf

lim



。

知识点：初等函数连续性及连续函数的性质

思路：初等函数在定义域上连续，函数在连续点处的极限值等于该点的函数值

解：本函数的定义域为：062xx，解得2x或3x；

则本函数的连续区间为,22,33,；



0lim





fxf

，





5

lim

limlim

















x

xxx

xxxx

；







2

limlim

22x

；

★2．求下列极限：

（1）52lim2





；（2）3

2sinlim





；（3）x

2cos2lnlim





；（4）

lim





；

（5）

sin

lnlim

0

；（6）



2

01sin

1ln

lim

x





知识点：连续函数的定义及性质；

解：（1）5502052lim22





；（2）1

2sin2sinlim



























；

（3）0

2cos2ln2cos2lnlim





















；（4）

lim





x

；

（5）01ln

sin

limln

sin

lnlim



x

；（6）



0

01sin

01ln

1sin

1ln

lim









x

；

★3．证明方程135xx至少有一个根介于1和2之间。

知识点：零点定理；

思路：若令135xxxf，则方程135xx在某区间上是否有根的问题，化为函数

xf在该区间是否有零点的问题。

证明：设135xxxf，显然)(xf在区间2,1上连续，252,11ff，

由零点定理：存在2,1，0f，即是135xx的根，介于1和2之间。

★★4．证明方程babxax0,0sin至少有一个正根，并且它不超过ba。

知识点：同题3；

思路：同题3；

证明：设bxaxxfsin，显然)(xf在区间ba,0上连续；

baabbaababafbfsin1sin,0；

Ⅰ：若1sinba，则0baf，此时ba即是bxaxsin的根；

Ⅱ：若1sinba，则baf0，00bf，由零点定理，存在ba,0，

使得0f，即是方程bxaxsin的根；综上，结论成立。

★5．证明曲线107324xxxy在1x与2x之间至少与x轴有一个交点。

知识点：零点定理；

证明：设107324xxxxf，显然xf在2,1上连续；82,31ff；

由零点定理：存在2,1，使得0f，即点0,在曲线107324xxxy上，

则结论成立。

★6．设2xexf，求证在区间2,0内至少有一点

x，使得

20xex。

知识点：同题3；

思路：同题3；

证明：设xexFx2，显然xF在2,0上连续，10F，422eF，

则020FF，由零点定理，存在2,0，使得0F，即2e。

★★7．设函数xf对ba,上任意两点x，y，恒有yxLyfxf（L为常数），

且

0bfaf，试证在ba,内至少有一点，使得0f。

知识点：极限的夹逼准则，连续的定义及零点定理；

思路：先利用定义证明函数xf连续，再利用零点定理证明结论。

证明：设任意点bax,

，先用定义证xf在

x点连续：设baxx,

，由任

意两点x，

y，恒有yxLyfxf得：

xLxfxxf

，即xLxfxxfxL

，

而当

0x时，0xL，故由夹逼准则，知

lim[]0

fxxfx



，

即xf在

x上连续，由

x的任意性知，xf在ba,上连续；

又0bfaf，则由零点定理，在ba,内至少有一点，使得0f。

★8．若xf在ba,上连续，bxxxa



，则在

xx,

上必有，使





xfxfxf







21。

知识点：闭区间上连续函数的最值定理与介值定理；

思路：先证明



xfxfxf



是最小值与最大值之间的某个值；再用介值定理；

证明：xf在ba,上连续且baxx

，则xf必在

xx,

上连续，且

在ba,

必有最值，设为

M，最小值

m；

设

121

,,,maxMxfxfxfM

，

121

,minmxfxfxfm

，

则



xfxfxf

mn















，即





21,,MmMm

xfxfxf

n



，由介值定理，必存在ba,，使

得



xfxfxf







21。

★★9．设xf在a2,0上连续，且aff20，证明：在a,0上至少存在一点，使

aff。

知识点：零点定理。

思路：从结论的形式中分析找到对应的函数：axfxf，以及对应的闭区间a,0，

然后逐

个验证函数在此区间上满足零点定理的条件。

证明：令axfxfxF，当ax,0时，aaax2,，由函数xf在

a2,0上连续，故xf在a,0上连续，axf在a,0上连续，故xF在a,0上连

续，且afafaffF2000，afafaF2，

Ⅰ：当afaf2时，取a，则aff，a,0，此时结论成立；

Ⅱ：当afaf2时，0202afafaFF，则由零点定理得，存在a,0

使得0F，即aff；此时结论成立；

综上，结论成立。

总习题一

★1．求函数

arcsin3



的定义域：

知识点：函数定义域。

解：由其表达式有31

,03

































★2．设函数f(x)的定义域是1,0，求











1x

f的定义域。

知识点：复合函数的定义域。

解：由已知f(x)的定义域是1,0，故对











1x

f有：1,0



x

，即1

0





，

解得

,0x，所以











1x

f的定义域为,0

★3．设

2xy，要使当,0Ux时，2,0Uy，应如何选择邻域,0U的半

径。

知识点：函数及邻域定义。

思路：由函数值范围2,0Uy，解出x的最大范围；取值使,0U不超过这个最

大范

围。

解：要使2,0Uy，即2,02Ux，即222x，只须22x，此

时只

须取2即可（选取不是唯一的，只要选比2小的正数保证2,02Ux即可）

★4．证明







xf是奇函数Rx。

知识点：函数奇偶性；

思路：按定义只需证0xfxf即可；

解：函数定义域为R，













xfxf









xxxx

xxxxxxxx







11)11(

111111)11(

2222

0，故xfxf，是奇函数；

★★5．设函数()fx，,x的图形关于ax，bx均对称ba，试证：

()yfx

是周期函数，并求其周期。

知识点：周期函数定义，及对称图形的性质

思路：如若函数图形关于ax对称，则axfaxf

解：axafxf，由函数图形关于ax对称知，

xafaxafaxaf2，而bxabfxaf22，由函数图

形关于bx对称，则xabfbxabfbxabf2222，

abxfxf22；则f(x)y是周期函数，且其周期abT22；

★★6．设f(x)在,0上有意义，

0x，

0x，求证：

（1）若



单调减少，则

2121

xfxfxxf；

（2）若



单调增加，则

2121

xxfxfxf。

知识点：单调性

思路：因为题中涉及

1221

,,xxxx三者对应函数值的关系，故可按单调性比较它们的大小

解：（1）

0x，

0x，∴

212211

,xxxxxx；又



单调减少，

∴



xxf





，



xxf





，∴



21xfx

xxf





，



21xfx

xxf





，两式相加化简得：

2121

xfxfxxf；

（2）同理可证。

★★7．求下列函数的反函数：

（1）













，1x；（2）



















。

知识点：求分段函数的反函数

思路：从函数中解出x即可，需注意范围的对应

解：（1）012

2













xyx

xy，

由韦达定理，上式有实解当且仅当12y，且12yyx。

当1y时，1102yy，与x范围不符，故12yyx舍掉；

当1y，0112yy（可分别验证），故12yyx舍掉；

综上，





















x，按习惯将自变量用x来记，所求函数的反函数为





















y。

（2）

,12,14

log,

3,x

yxxxyy

















，则所求函数的反函数为

,14

log,9

yxx

















★8．求函数f(x)的表达式：xxxf22tan2cossin，10x。

知识点：复合函数定义

思路：用三角公式将等式右端表达为2sinx的函数，即可求得()fx

解：

xxfxxxf

2222

cos

sin

sin21sintan2cossin

sin1

sin

sin21





令tx2sin，得10,

21







t

ttf；

故10,

2



x

xxf；

★★9．设xf满足方程：x

bfxafsin















，ba，求()fx。

知识点：函数定义

思路：已知等式对任意x成立，自然对

也成立

解：令

，则

111

sinsinafxbfxafbft

xtt









①，由函数自

1

图

变量与用何字母表示无关，①可化为

sinafbfx









，则解方程组



sin

afxbfx

afbfx





























得：



















bxa

sinsin

★10．设函数

2()xfxe，xxf1，且0x，求x及其定义域；。

知识点：函数的复合；

解：xxexfef(x)22，则

xex12

，解得：xx1ln2，由

0x，

知，xx1ln；显然x的定义域为

ln10

110











；

★11．设





















，,xexg求xgf，xfg，并做出图形：

知识点：分段函数的复合；

思路：在对应的范围内代入即可；

解：









































xgf

efxgf

，

11

1e

图





















x

xfg

，

★★12．设













xf，















xg，求xff，xgg，xgf，

xfg。

解：当0x时，0,00xgf，则00,00fxgffxff，

00,00gxgggxfg；

当0x时，2,xxgxxf，则0,2xfxgfxxfxff

0,22xgxggxxgxfg；

故













xff，0xgf，















xfg；0xgg；

★★13．

2



，求



lim。

知识点：数列极限；

思路：多项和时，先化简

x。

解：∵

1111111111

[(1)()]1

2323522121221n

nnn











∴

lim



★★14．求极限















x

lim。

知识点：左右极限的求法；

思路：求有绝对值的函数极限要先去绝对值，另外因

xe在0x处的左右极限值不同，所以需通

过左右极限讨论上述极限

解：0x时，0,021xxee；1

，

∴112

lim00



















x

0x时，xxee21,；1

，

∴

00limlim1100



















，

∴1

lim

















x

★15．用定义证明函数xxf当0x时极限为0。

知识点：函数极限定义

证明：0，要使xx0，只须取，则当00x时，总有

0x，

故0lim





★16．证明：若x及x时，函数xf的极限都存在且都等于A，则Axf





lim。

知识点：函数极限定义

证明：对0，因Axf





lim，∴

0XX，当

Xx时，总有Axf，

又因Axf





lim，∴对上述0，0

X，当

Xx时，总有Axf，

现取

,maxXXX，当Xx时，总有Axf，故Axf





lim；

★17．利用极限定义证明：函数xf当

xx时极限存在的充分必要条件是左极限，右极限各

自存在

并且相等。

知识点：数列极限定义

证明：必要性：设Axf





lim，于是0，0，

当

0xx时（即

0xx和0

xx），有Axf，

所以AxfAxf0,0

充分性：当AxfAxf0,0

，则0，0

，

当0

xx时，有Axf；0

，当

0xx时，

有Axf；取

,min，则当

0xx及0

xx，

即

0xx时，亦有Axf，

∴Axf





lim

★18．根据定义证明：







y为3x时的无穷小。

知识点：函数极限定义；

证明：0，要使





，只须取，

于是对于0，存在，当3x，总有





，∴0

lim







x

★19．已知53







qx

xf，当x时，p、q取何值时xf为无穷小量？p、

取何值时xf为无穷大量？

知识点：无穷小与无穷大的定义

思路：分析p、q取值对极限的影响

解：（1）5lim3lim

lim53

limlim































xxxxx

03lim5



qxp

则必有05,0pq，故当5,0pq时，xf为无穷小量；

（2）若























qxpqx

xxx

3lim553

limlim

，必有0q，p为

任意常数，故当0q，p为任意常数时，xf为无穷大量；

★20．计算下列极限：

（1）

lim

1



x

（n为正整数）；（2）

312

lim

4



x

；（3）xqxpx





lim；

（4）x

cos3

lim





；（5）

arctan

sin2

lim

2

；（6）2

lim





x

知识点：极限求法；

解：（1）





xxxxx

xnnn













1

lim

321



；

（2）



3122222

22312312

lim

312

lim

44









xxx

xxx



3

3124

2282

lim







xx

（3）

xqxpx

pqxqp

xqxpx

xxx













)(

limlimlim

qp



（4）因为0

lim





xx

，而xcos3是有界量，故0cos3

lim







（5）0

arctansin

lim

arctan

sin2

lim







x

；

（6）







9

lim

















xxxxx

xxx

★21．设























,63

，讨论0x及2x时，xf的极限是否存在，

并且

求xf

x

lim及xf

x

lim。

知识点：左右极限与原极限关系

思路：分段点极限要左右极限分别求

证明：



limlim

，02limlim2





xxxf

，故xf

lim



不存

在；

02limlim2





xxxf

，063limlim





xxf

，故0lim





；

0

limlim



x

，



63limlimxxf

；

★22．计算下列极限：

（1）

sin2lim



0x；（2）

sin

lim





；（3）xx

xcos1

sin1tan1

lim

0





知识点：极限求法；

思路：求极限时，当某一因式是有根号差的形式时，注意分式有理化；用等价代换求极限。

解：（1）

sin2lim



xxx



















sinlim；

（2）

sin

lim





sin3

356

lim2lim12

535

5xx









（3）xx

xcos1

sin1tan1

lim

0





0

tansin

lim

1cos1tan1sinx

xxxx







（分子有理化）



00

tan1cos

11tan1

limlim

21cos22xx

xxx







★★23．计算下列极限：

（1）



ln2lnln

lim

axaxa





；（2）

0sin1

tan1

limx

















知识点：重要极限exx





1lim。

思路：利用已知极限exx





1lim求解。

解：（1）



ln2lnln

lim

axaxa





()

222

limlnlimln1

axx

xaa

























1ln

lim



































（2）原式

0sin1

sintan

1lim1

sin1

tan1

1limx



















































sin1

sintan

sin1

0sin1

sintan

1limx

xx





























，

因为



3

cossin1

cos1sin

lim

sin1

sintan

lim















sin1cos/21

limlim

2xx

xxx

xxx



，

所以原式

e

★★★24．设1

x，





1

,2,1n，求



lim。

知识点：单调有界数列必有极限。

思路：先证明数列单调（可用归纳法），且有界，然后知必有极限，可设极限为A，再求出A。

解：

x，则

0xx，假设



，则



111













































nnxx

xx，即



，

由数学归纳法，任意Nn，有

1



xx，可知本数列是单调增加的；

又由2













nxx

x，知本数列有界，所以极限必存在，设ax





lim

等式





1

两边取极限得：

n











1

1(limlim

，解得

51

a，而

x0，故51

a，即

lim







x；

★25．证明：当0x时，有：（1）xarctan～x；（2）1cx～

。

知识点：等价无穷小的定义；

思路：按等价定义，即要证明两者商的极限是1；

证明：（1）1cos

sin

lim

tan

limarctan

arctan

lim

000





ttx

，故xarctan～x；

（2）1

cos

lim

cos

lim

cos

cos1

lim

cos

lim













x

xxxxx

，

故1cx～

。

★26．利用等价无穷小性质求下列极限：

（1）



Nmn





sin

lim

（2）x

x21ln

3sin

lim

0

；

（3）1sin1)11(

tansin

lim

0



xx

；（4）



axn

lim





；（5）

sin

cossin1

lim

xxx





；

知识点：等价无穷小代换。

思路：关键是等价无穷小公式的记忆和灵活运用，如当0，11~n

。

解：（1）























lim

sin

lim

；

（2）因为0x时，x21ln～x2，x3sin～x3，故



4

lim

21ln

3sin

lim



x

（3）原式



222

sincos1

sintan

limlim3

1111

sinsincos

3266

xxxxxx







（其中

cos1~

x）

（4）







0

lim

（5）原式



xxx

xxxxxx

xcossin1

sin

cossin1cossin1

lim

0









000

sinsinsin

11sin

limlimlim214

sin

xxx

xxxxxx

x

















★★27．试判断：当0x时，

cos1x



是x的多少阶无穷小。

知识点：无穷小阶数的定义以及已知的等价无穷小公式。

思路：将2cos1x有理化后，利用公式。

解：0x，2

2cos1

cos1

cos1x

x



～2

x，

故

cos1x



～

，故

cos1x



是x的2阶无穷小。

★★★28．设xp是多项式，且



2lim





x

xxp

，



1lim



x

，求xp。

知识点：有理分式极限的确定以及无穷小的比较。

思路：由



2lim





x

xxp

设出xp的形式，由



1lim



x

判断取值。

解：因为



2lim





x

xxp

，则3xxp与

2x是同是二次多项式，且二次项系数为2，

故可设baxxxxp232（其中ba,为待定系数）；又因为



1lim



x

，所以

baxxxxp232～x0x，从而0,1ba，故xxxxp232；

★★29．已知3

lim







x

baxx

，试求a，b的值。

知识点：无穷小的比较以及极限的求法。

思路：利用无穷小的比较判断出0lim2





baxx

，再根据3

lim







x

baxx

，求出

,ab。

解：因为01lim





，所以必须有0lim2





baxx

（否则3

lim







x

baxx

），

即有

01ba，将ab1代入原式，得



321lim

lim















aax

axx

aaxx

xxx

，

故2,1ba

★★★30．设

1992

lim







，试求，的值。

知识点：等价无穷小

思路：先变形，再用等价无穷小

解：































nn1

lim

lim，

当为)(

时，

(1)1~()1(1)~

nnnn



，

这时：









1

lim





























nnn

，

∴当01时，1992

lim







n

，

1992

；

1992

1991

1。

（该题也可用第三章的泰勒公式做）

★31．下列函数xf在0x处是否连续？为什么？

（1）2

0,0

xex

















；（2）

sin

1,0

















知识点：连续的定义

思路：()fx在

xx处连续

lim()()

fxfx



()fx在

xx处左右都连续

解：（1）∵0limlim2







exf，00f，∴0lim

fxf





，∴xf在0x处

连续；

（2）∵1

sin

limlim







x

，1

sin

limlim



x

，左右极限不相等，

∴xf

lim



不存在，故xf在0x处不连续。

★★32．判断下列函数的指定点所属的间断点类型，如果是可去间断点，则请补充或改变函数的定

义使它连续。

（1）;

tan

Zkkxkx

y



（2）1,0,









；

知识点：间断点类型

思路：求出左右极限，依据左右极限判断间断点类型

解：(1)∵1

tan

lim



x

,0,

tan

lim



kx

tan

lim







，

∴0,,kZkkx是第二类的无穷间断点；而0,

xxkkZ



是第

一类的可去间断点，令0

,10

















kyy时，可使函数在这些点处连续

（2）∵





lim

，∴0x是第二类中的无穷间断点；

∵0

lim







，1

lim







，∴1x是第一类中的跳跃间断点。

★33．试确定a的值，使函数

2,0

sin,0

xax

















在,上连续。

知识点：初等函数在定义区间内一定是连续的；在某一点连续等价于既左连续有右连续

思路：函数在分段点0x处连续，则必在该点左连续又右连续，据此列等式求a值。

解：显然xf在,00,上是连续的

在分段点0x处，0

sinlim00



x

，aaxf





lim00，

由函数在0x连续，知00fa，知0a，此时xf在,上连续。

★★★34．讨论函数x

lim









的连续性，若有间断点，判断其类型。

知识点：函数的连续与间断；

思路：先计算极限，将函数表示成初等函数形式（视需要可以分段表示），再讨论连续性。而在计

算极限的过程中，由于x的范围不同，当n时

nx2

的极限也不同，即：当1x时，12nx；

当1x时，02nx；当1x时，nx2

故要分类讨论。

解：当1x时，x

lim









0；当1x时，0

lim











；

当1x时，xx











lim；

当x1时，xx















1

lim

，即：





















1,0

，显然，函数在,11,11,上连续，

又1limlim





xxf

，

limlim110

fxxf



，

故1x是xf的第一类跳跃间断点；

又

limlim1

fxx



，011limlim





fxxf

，

故1x是xf的第一类跳跃间断点。

★35．求函数

2ln1



的连续区间：

知识点：函数的连续与间断；

思路：初等函数有定义的开区间即是连续区间。

解：函数的定义域为：

2ln1

1ln0

(0,)(,)(,)

















，

故它的连续区间是

(0,)(,)(,)ee



★★★36．设函数xf与xg在点

x处连续，证明函数

xgxfxxgxfx,min,,max在点

x处也连续。

知识点：连续函数的四则运算性质

思路：关键是将xx,表示成代数式，再利用连续函数四则运算性质即可证明结论

证明：

























,max

xgxfxgxf

xgxf

xgxfx，

























,min

xgxfxgxf

xgxf

xgxfx，

又xf与xg在点

x处连续，则由以上表示及连续函数的四则运算性质有：

max,,()min,xfxgxxfxgx在点

x处也连续。

注：证明的关键是将用min,max表示的函数表达成初等函数，本题是常用的方法，即



,max

baba



，

,min

baba



。

★★★37．设xf在ba,上连续，且bdca，证明：在ba,上必存在点使：

fnmdnfcmf。

知识点：闭区间连续函数的最值与介值定理；

思路：先证明



dnfcmf



介于最值之间，再用介值定理；

证明：xf在ba,上连续，则必有最大值和最小值，分别记为

M和

m；

由bdca，得

1111

,MdfmMcfm,

则



1111M

dnfcmf

nMmM

dnfcmf

nmmm

















由介值定理，必存在ba,，使得



dnfcmf



；

即fnmdnfcmf。

★★★38．证明：若xf在,内连续，且Axf





lim，则xf在,

内有界。

知识点：闭区间连续函数的性质

思路：按定义将条件转化为代数表示

解：Axf





lim，则对1，存在0X，当Xx时，总有1Axf，即

1)(1AxfA，∴当Xx时，}1,1max{,

AAMMxf①；

又当Xx时，即XXx,，因为,,XX,则xf在XX,

上连续，由闭区间上连续函数的有界性定理知，存在正常数

M，XXxMxf,,

②；

记

,maxMMM，由①②知，,,xMxf；

即xf在,内有界。

课外习题

★1．设













1,0

1,1

xf，求xfff。

知识点：分段函数

思路：在相应范围内逐层代入。

解：由已知1xf，故1xff，显然1xfff

★★2．求

lim

xx





。

解：



2

3131

limlim

231xx

xxxx

xxxx













1

lim

xx





1

112

lim

2xx





★★3．求

lim

1





（m，n为自然数）。

解：



1

lim

x







11

lim

1



xxxx

xxx

n







1

lim

1



★★★4．

















































xxxx

cos

coslim。

解：





































xxx

cos

coslim

xxx

sin

cos

lim











































sin

cos

lim

































sin

lim





sin

sin1

lim





xsin



★5．设

a，

b，

c均为非负数列，且0lim



a，1lim



b，



clim，则必有（）

A

ba对任意n成立；B

cb对任意n成立；C



lim不存在；D



lim不

存在；

解：利用极限结果，只能判断数列中充分大的项的性质，数列的前面有限项与极限无关，所以由





alim



lim，判断

ba，对前面有限的n不一定成立，故A错误；同理B错误，B的

错误还包括：



clim中的也可能是；因0是不定式，其极限是可能存在的，故C错

误；D正确，极限非零的有界量与无穷大的乘积仍是无穷大。

★★★6．求

lim

















。



















lim

1lim



















32

lim1



















当0x，0



xxba

，则



baxxba























1lim；

又



baxx

lim





)

lim

lim(

00x











∵aa

lnln

)1ln(

limln

)1ln(

lim



















，同理b

lim







∴)

lim

lim(

00x









balnln

abln



则原极限3

abeab

（若用§3.2洛必达法则求该极限较简单）

★7．求极限n

52lim



。

解：n

52lim



lim515lim151

nn









5

★★8．确定下列无穷小的阶数：

（1）

12sin2n，n（2）xxsin1tan1，0x；

（3）xxx，0x；

思路：主要将式子变形到已知等价无穷小公式；

解：（1）

12sin2n

nn212sin2

nn12sin2



nn12sin2









nnnn







2sin



sin

1nn







，

而当n，0



nn



，故

sin

1nn





～

1nn





～



，故



12sin2n是

的同阶无穷小，是



的等价无穷小。

（2）xxsin1tan1



xx

xxxx

sin1tan1

sin1tan1sin1tan1







xx

sin1tan1

sintan





xx

sin1tan1

cos

sin

















，而

1

sin1tan1

cos

lim



















xx

，故xx

sin1tan1

cos

sin

















～xsin～x，

所以原式与x同阶。

（3）xxx1xxx

xxx14

，

11lim4





，故xxx14

～

x，所以xxx是x的

阶无穷小；

★★9．设



















2/arcsin

tan

xae

在0x处连续，求a。

解：由题意有xfxff

xx



limlim0，

而af0，

arcsin

limlim

tan

00x







tan

lim

x





lim2

x

，得2a；

★★10．



lim

2





nx

，求其间断点。

解：当0x时，



00lim

lim







nnnx

，当0x时，



lim















，

即

0,0

















，显然函数xf在,00,皆连续，而

xx

lim

，则函

数xf在0x处间断，且0x是第二类的无穷间断点

本文发布于:2023-03-15 23:41:05，感谢您对本站的认可！

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