二次函数知识点总结

-1-

二次函数知识点总结及相关典型题目

第一部分基础知识

1.定义:一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数,)0a，那么y叫做x的二次函数。

2。二次函数2axy的性质

(1）抛物线2axy的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.

（2）函数2axy的图像与a的符号关系.

①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点。

（3）顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a.

3。二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线。

4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中

a

bac

k

a

b

h

4

4

2

2

，。

5。二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2;

⑤

cbxaxy2。

6。抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①

a

的符号决定抛物线的开口方向:当0a时,开口向上；当0a时，开口向下;

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合)的直线记作hx。特别地，y轴记作直线0x.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数

a

相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，

只是顶点的位置不同。

8。求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：

a

bac

a

b

xacbxaxy

4

4

2

2

2

2

















，∴顶点是），（

a

bac

a

b

4

4

2

2

,对称轴是直线

a

b

x

2

.

（2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为khxay2的形式,得到顶点为（h，k),对称轴是直线

hx。

（3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称

-2-

轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9。抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用

（1)

a

决定开口方向及开口大小,这与2axy中的a完全一样。

（2）b和

a

共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线

a

b

x

2

,故：①0b时，对称轴为y轴；②0

a

b

（即

a

、b同号）时,对称轴在y轴左侧；③0

a

b

（即

a

、

b异号)时，对称轴在y轴右侧。

(3）

c

的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置。

当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，

c

）：

①0c，抛物线经过原点；②0c,与y轴交于正半轴;③0c，与y轴交于负半轴。

以上三点中，当结论和条件互换时,仍成立。如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0

a

b

。

10。几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

2axy

当0a时

开口向上

当0a时

开口向下

0x（y轴）

（0，0）

kaxy20x（y轴)

（0,k）

2hxay

hx（h，0)

khxay2hx（h，k)

cbxaxy2

a

b

x

2



(

a

bac

a

b

4

4

2

2

，）

11。用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式:

cbxaxy2。已知图像上三点或三对

x

、y的值，通常选择一般式。

（2）顶点式:khxay2

。已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3）交点式：已知图像与

x

轴的交点坐标

1

x、

2

x，通常选用交点式：

21

xxxxay。

12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线

cbxaxy2得交点为（0,

c

)。

-3-

（2)与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2）.

（3)抛物线与

x

轴的交点

二次函数cbxaxy2的图像与

x

轴的两个交点的横坐标

1

x、

2

x，是对应一元二次方程02cbxax的两

个实数根。抛物线与

x

轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

①有两个交点0抛物线与

x

轴相交；

②有一个交点(顶点在

x

轴上）0抛物线与

x

轴相切;

③没有交点0抛物线与

x

轴相离。

（4）平行于

x

轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐

标是kcbxax2的两个实数根。

(5)一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点,由方程组

cbxaxy

nkxy





2

的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时

l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点。

（6)抛物线与

x

轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与

x

轴两交点为00

21

，，，xBxA,由于

1

x、

2

x是方

程02cbxax的两个根，故

a

c

xx

a

b

xx

2121

,



aa

acb

a

c

a

b

xxxxxxxxAB























44

4

2

2

21

2

21

2

2121

第二部分典型习题

１。抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是（D）

A.（2，－2)B.（1，－2）C.(1,－3）D.（－1，－3）

２。已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列结论正确的是（C）

Ａ．ab＞0,c＞0Ｂ．ab＞0,c＜0Ｃ．ab＜0，c＞0Ｄ．ab＜0，c＜0

C

A

E

F

B

D

第２，３题图第4题图

-4-

３.二次函数cbxaxy＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ)

A．a＞0，b＜0，c＞0B．a＜0,b＜0，c＞0

C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0,b＞0，c＞0

４.如图，已知ABC中，BC=8,BC上的高h4，D为BC上一点，EFBC//,交AB于点E,交AC于点F（EF不过A、B），

设E到BC的距离为

x

，则DEF的面积y关于

x

的函数的图象大致为（Ｄ）

D

O

4

2

4

O

4

2

4

O

4

2

4

O

4

2

4

A

y

x

B

C

2

4

82,4

84

EFx

EFxyxx





５.抛物线322xxy与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为4．

6。已知二次函数11)(2k2－－＋＝xkxy与x轴交点的横坐标为

1

x、

2

x（

21

xx＜），则对于下列结论：①当x＝－2时,y

＝1；②当

2

xx＞时，y＞0；③方程011)(22＝－＋xkkx有两个不相等的实数根

1

x、

2

x；④1

1

＜x，1

2

＞－x；⑤

2

21

14k

xx

k

＋

－＝

，其中所有正确的结论是①③④（只需填写序号）．

7。已知直线02bbxy与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为cxbxy102。

（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线bxy2上，试确定这条抛物线的解析式；

(2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线bxy2的解析式.

解：（1)

102xy或642xxy

将0)b（，代入，得cb。顶点坐标为

21016100

(,)

24

bbb

，由题意得

21016100

2

24

bbb

b



,

解得

12

10,6bb。

（2)22xy

8。有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数,已知输入值为2,0,

1

时，相应的输出值

分别为5,3,4．

(1)求此二次函数的解析式；

-5-

第9题

（2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象写出当输出值y为正数时输入值

x

的取值范围.

解：（1）设所求二次函数的解析式为

cbxaxy2，

则





















4

300

5)2()2(

2

2

cba

cba

cba

,即

















1

42

3

ba

ba

c

,解得

















3

2

1

c

b

a

故所求的解析式为:

322xxy

。

（2)函数图象如图所示。

由图象可得，当输出值y为正数时，

输入值

x

的取值范围是1x或3x．

9。某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体

温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下

图．请根据图象回答：

⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温

从最低上升到最高需要多少时间？

⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?

⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到

22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解

析式．

解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的

体温是上升的

它的体温从最低上升到最高需要12小时

⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃

⑶2210242

16

1

2xxxy

10.已知抛物线4)3

3

4

(2xaaxy与x轴交于A、

B两点,与y轴交于点C．是否存在实数a，使得

△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不

存在,请说明理由．

解：依题意，得点C的坐标为(0,4）．

设点A、B的坐标分别为（

1

x，0），(

2

x，0)，

-6-

由04)3

3

4

(2xaax，解得3

1

x，

a

x

3

4

2

．

∴点A、B的坐标分别为（—3，0),（

a3

4

，0)．

∴|3

3

4

|

a

AB，522OCAOAC，

22OCBOBC224|

3

4

|

a

．

∴9

8

9

16

9

3

4

32

9

16

|3

3

4

|

22

22

aaaaa

AB，

252AC，16

9

16

2

2

a

BC．

〈ⅰ〉当222BCACAB时,∠ACB＝90°．

由222BCACAB，

得)16

9

16

(259

8

9

16

22



aaa

．

解得

4

1

a．

∴当

4

1

a时，点B的坐标为(

3

16

，0)，

9

625

2AB,252AC，

9

400

2BC．

于是222BCACAB．

∴当

4

1

a时，△ABC为直角三角形．

〈ⅱ〉当222BCABAC时，∠ABC＝90°．

由222BCABAC,得)16

9

16

()9

8

9

16

(25

22



a

a

a

．

解得

9

4

a．

当

9

4

a时,3

9

4

3

4

3

4







a

，点B（-3，0)与点A重合，不合题意．

<ⅲ〉当222ABACBC时，∠BAC＝90°．

由222ABACBC，得)9

8

9

16

(2516

9

16

22



a

aa

．

解得

9

4

a．不合题意．

综合<ⅰ〉、〈ⅱ>、〈ⅲ>，当

4

1

a时，△ABC为直角三角形．

11。已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2。

(1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝

5

，试求m的值;

-7-

（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值。

解：（1)Ａ（x

1

,0），B(x

2

，0）.则x

1

,x

2

是方程x2－mx＋m－2＝0的两根。

∵x

1

＋x

2

＝m,x

1

·x

2

=m－2＜0即m＜2;

又AB＝∣x

1

—x

2

∣＝

1212

45xxxx2（+）

，

∴m2－4m＋3=0。

解得：m=1或m=3（舍去），∴m的值为1.

（2）M(a，b）,则N(－a，－b).

∵M、N是抛物线上的两点，

∴

2

2

2,

2.

amamb

amamb















①

②

①＋②得:－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2。

∴当m＜2时,才存在满足条件中的两点M、N.

∴

2am

.

这时M、N到y轴的距离均为

2m

，

又点C坐标为（0，2－m）,而S△MNC

=27,

∴2×

1

2

×（2－m）×

2m

=27.

∴解得m=－7.

12。已知：抛物线

taxaxy＋＋＝42与x轴的一个交点为A（－1，0)．

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

(2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，

求此抛物线的解析式;

（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2)中的抛物线上，且

它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问:在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最

小？若存在,求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．

解法一：

(1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．

∵抛物线与x轴的一个交点为A(－1，0），

∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0)．

（2）∵抛物线

taxaxy＋＋＝42与x轴的一个交点为A(－1，0），

N

M

C

x

y

O

-8-

∴0)1(4)1(2＝＋－＋－taa．∴t＝3a．∴aaxaxy342＋＋＝．

∴D（0，3a）．∴梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线aaxaxy342＋＋＝上，

∵C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．

∵梯形ABCD的面积为9,∴9)(

2

1

＝ODCDAB．∴93)42(

2

1

＝＋a．

∴a±1．

∴所求抛物线的解析式为342＋＋＝xxy或342axxy＝．

（3）设点E坐标为（

0

x，

0

y）.依题意,0

0

＜x,0

0

＜y，

且

2

5

0

0＝

x

y

．∴

002

5

xy＝－．

①设点E在抛物线342＋＋＝xxy上，

∴

34

0

2

00

＋＋＝xxy

．

解方程组











34

,

2

5

0

2

00

00

＋＋＝

＝－

xxy

xy

得









；＝

，＝

15

6

0

0

y

x





















．＝

，＝

4

5

2

1

0

0

y

x

∵点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴点E坐标为(

2

1

，

4

5

）．

设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P,使△APE的周长最小．

∵AE长为定值，∴要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小．

∴点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3,0），

∴由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．

设过点E、B的直线的解析式为nmxy＋＝，

∴













.03

,

4

5

2

1

＝＋－

＝＋

nm

nm

解得















.

2

3

,

2

1

＝

＝

n

m

∴直线BE的解析式为

2

3

2

1

＋＝xy．∴把x＝－2代入上式，得

2

1

＝y．

∴点P坐标为(－2，

2

1

）．

②设点E在抛物线

342xxy＝上，∴

34

0

2

00

xxy＝

．

-9-

解方程组











.34

,

2

5

0

2

00

00

xxy

xy

＝

＝－

消去

0

y，得03x

2

3

x

0

2

0

＝＋．

∴△＜0。∴此方程无实数根．

综上,在抛物线的对称轴上存在点P（－2，

2

1

），使△APE的周长最小．

解法二：

（1）∵抛物线taxaxy＋＋＝42与x轴的一个交点为A（－1,0），

∴0)1(4)1(2＝＋－＋－taa．∴t＝3a．∴aaxaxy342＋＋＝．

令y＝0,即0342＝＋＋aaxax．解得1

1

＝－x,3

2

＝－x．

∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0)．

（2）由aaxaxy342＋＋＝，得D(0，3a）．

∵梯形ABCD中,AB∥CD，且点C在抛物线

aaxaxy342＋＋＝上,

∴C(－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．

∵梯形ABCD的面积为9，∴9)(

2

1

＝＋ODCDAB．解得OD＝3．

∴33＝a．∴a±1．

∴所求抛物线的解析式为

342＋＋＝xxy

或

342－－＝－xxy

．

（3）同解法一得,P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．

∴如图,过点E作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x轴的交点为F．

由PF∥EQ,可得

EQ

PF

BQ

BF

＝．∴

4

5

2

5

1PF

＝．∴

2

1

＝PF．

∴点P坐标为（－2，

2

1

）．

以下同解法一．

13。已知二次函数的图象如图所示．

(1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．

（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M

-10-

重合）,设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;

(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存

在，请说明理由；

（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩

形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(xxay，

∴)2(12a．∴1a．∴22xxy．

其顶点M的坐标是













4

9

2

1

，．

（2)设线段BM所在的直线的解析式为bkxy,点N的坐标为N（t，h），

∴















.

2

1

4

9

20

bk

bk，

．解得

2

3

k,3b．

∴线段BM所在的直线的解析式为3

2

3

xy．

∴3

2

3

th，其中2

2

1

t．∴tts)3

3

2

2(

2

1

21

2

1

1

2

1

4

3

2tt．

∴s与t间的函数关系式是1

2

1

4

3

2ttS，自变量t的取值范围是2

2

1

t．

（3)存在符合条件的点P，且坐标是

1

P













4

7

2

5

，，













4

5

2

3

2

，P．

设点P的坐标为P)(nm，，则22mmn．

222)1(nmPA，5)2(2222ACnmPC，．

分以下几种情况讨论：

i）若∠PAC＝90°，则

222ACPAPC．

∴















.5)1()2(

2

2222

2

nmnm

mmn，

解得:

2

5

1

m，1

2

m（舍去）．∴点











4

7

2

5

1

，P．

ii）若∠PCA＝90°，则

222ACPCPA．

-11-

∴















.5)2()1(

2

2222

2

nmnm

mmn，

解得:0

2

3

43

mm，（舍去）．∴点











4

5

2

3

2

，－P．

iii）由图象观察得,当点P在对称轴右侧时，ACPA，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．

（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA(或边OC）的对边上，如图a，此

时未知顶点坐标是点D（－1，－2），

以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E













5

2

5

1

，，

F













5

8

5

4

，．

图a图b

14。已知二次函数

22－＝axy

的图象经过点（1，－1)．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个

数．

解：根据题意，得a－2＝－1.

∴a＝1．∴这个二次函数解析式是22xy＝．

因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x轴有两个交点．

15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，

线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上,以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作

为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图(2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

-12-

(2)如果DE与AB的距离OM＝0。45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据：4.12，计算结果精确到1米）．

解：(1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为

10

9

2＋＝axy．

因为点A(

2

5

，0)（或B（

2

5

,0)）在抛物线上,所以

10

9

)

2

5

(02＋＝a，得

125

18

＝－a．

因此所求函数解析式为)

2

5

2

5

(

10

9

125

18

2xxy＋＝－．

（2)因为点D、E的纵坐标为

20

9

,所以

10

9

125

18

20

9

2＋－x，得2

4

5

＝x．

所以点D的坐标为(2

4

5

－，

20

9

），点E的坐标为（2

4

5

，

20

9

）．

所以

2

25

)2

4

5

(2

4

5

＝－＝DE．

因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000

2

25

＝(米）．

16。已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图．二次函数

cbxaxy＋＋＝2（a≠0）的图象经过点A、B,与y轴相交于点C．

(1）a、c的符号之间有何关系？

（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证

a、c互为倒数；

（3）在（2）的条件下，如果b＝－4，

34＝AB

，求a、c的值．

解:

（1）a、c同号．或当a＞0时，c＞0；当a＜0时，c＜0．

（2）证明：设点A的坐标为（

1

x，0)，点B的坐标为（

2

x，0)，则

21

0xx＜＜．

∴

1

xOA，

2

xOB，cOC．

据题意，

1

x、

2

x是方程)0(02acbxax＋＋的两个根．∴

a

c

xx

21

．

由题意，得2OCOBOA＝，即2

2cc

a

c

＝＝．

所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数．

(3）当4b时，由(2）知,0

4

21

＞＝＝－＋

aa

b

xx，∴a＞0．

-13-

解法一:AB＝OB－OA＝

21

2

2112

4)(xxxxxx＋＝－，

∴

aa

ac

a

c

a

AB

32416

)(4)

4

(

2

2



－

．

∵

34AB

，∴34

32

＝

a

．得

2

1

a．∴c＝2.

解法二：由求根公式，

aaa

ac

x

32

2

4164

2

4164

＝＝＝，

∴

a

x

32

1



＝,

a

x

32

2



＝．

∴

aaa

xxOAOBAB

323232

12

＝

－

－＝－＝－＝



．

∵

34＝AB

，∴34

32

＝

a

，得

2

1

＝a．∴c＝2．

17.如图,直线

3

3

3

xy

分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点．

(1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标;

（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：

(3)若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．

解：（1）连结EC交x轴于点N（如图）．

∵A、B是直线

3

3

3

xy

分别与x轴、y轴的交点．∴A(3，0），B)3,0(．

又∠COD＝∠CBO．∴∠CBO＝∠ABC．∴C是的中点．∴EC⊥OA．

∴

2

3

2

,

2

3

2

1



OB

ENOAON

．

连结OE．∴3OEEC．∴

2

3

ENECNC

．∴C点的坐标为（

2

3

,

2

3



）．

（2)设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为3xaxy．

∵C(

2

3

,

2

3



)．∴

)3

2

3

(

2

3

2

3

a

．∴

3

9

2

a

．

-14-

∴

xxy

8

32

9

32

2

为所求．

（3）∵

3

3

tanBAO

,∴∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．

由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴

3060

2

1

2

1

ABOOBD

．

∴OD＝OB·tan30°－1．∴DA＝2．

∵∠ADC＝∠BDO＝60°,PD＝AD＝2．

∴△ADP是等边三角形．∴∠DAP＝60°．

∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．

即直线PA是⊙E的切线．