指数函数运算法则

高中数学标准教材

学校：______________________

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高一数学：指数函数(教学设

计)

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数学教案

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---专业教学设计系列下载即可用---

高一数学：指数函数(教学设计)

教学目标

1.使学生掌握的概念,图象和性质.

(1)能根据定义判断形如什么样的函数是,了解对底数的限制条

件的合理性,明确的定义域.

(2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出的图象,能从数

形两方面认识的性质.

(3)能利用的性质比较某些幂形数的大小,会利用的图象画出

形如的图象.

2.通过对的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的

能力,进一步体会数形结合的思想方法.

教材简介:数学不仅是一门科学，而且是一种普遍适用的技术。它是科学的大门和钥匙，

学数学是令自己变的理性的一个很重要的措施，数学本身也有自身的乐趣，本教学设计

资料适用于高中高一数学科目,教案学习有利于教学目的、教学过程、教学评价一致进

行，配合教案教学可以让学生更容易学习到教材里的内容，下载后可以打印或者用于电

子教学。

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3.通过对的研究,让学生认识到数学的应用价值,激发学生学习

数学的兴趣.使学生善于从现实生活中数学的发现问题,解决问题.

教学建议

教材分析

(1)是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的

基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,

它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基

础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以应重点研究.

(2)本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质.

难点是对底数在和时,函数值变化情况的区分.

(3)是学生完全陌生的一类函数,对于这样的函数应怎样进行较

为系统的理论研究是学生面临的重要问题,所以从的研究过程中得

到相应的结论固然重要,但更为重要的是要了解系统研究一类函数

的方法,所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法,以便能将其

迁移到其他函数的研究.

教法建议

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(1)关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的

特征必须是的样子,不能有一点差异,诸如,等都不是.

(2)对底数的限制条件的理解与认识也是认识的重要内容.如

果有可能尽量让学生自己去研究对底数,指数都有什么限制要求,教

师再给予补充或用具体例子加以说明,因为对这个条件的认识不仅

关系到对的认识及性质的分类讨论,还关系到后面学习对数函数中

底数的认识,所以一定要真正了解它的由来.

关于图象的绘制,虽然是用列表描点法,但在具体教学中应避免

描点前的盲目列表计算,也应避免盲目的连点成线,要把表列在关键

之处,要把点连在恰当之处,所以应在列表描点前先把函数的性质作

一些简单的讨论,取得对要画图象的存在范围,大致特征,变化趋势

的大概认识后,以此为指导再列表计算,描点得图象.

教学设计示例课题

教学目标

1.理解的定义,初步掌握的图象,性质及其简单应用.

2.通过的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,

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进一步体会数形结合的思想方法.

3.通过对的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学

生的学习兴趣.

教学重点和难点

重点是理解的定义,把握图象和性质.

难点是认识底数对函数值影响的认识.

教学用具

投影仪

教学方法

启发讨论研究式

教学过程

一.引入新课

我们前面学习了指数运算,在此基础上,今天我们要来研究一类

新的常见函数-------.

1.6.(板书)

这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需

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要.比如我们看下面的问题:

问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4

个,……一个这样的细胞分裂次后,得到的细胞分裂的个数与

之间,构成一个函数关系,能写出与之间的函数关系式吗?

由学生回答:与之间的关系式,可以表示为.

问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪

去剩余绳子的一半,……剪了次后绳子剩余的长度为米,试写出

与之间的函数关系.

由学生回答:.

在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的

函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量均在指数的位置上,

那么就把形如这样的函数称为.

一.的概念(板书)

1.定义:形如的函数称为.(板书)

教师在给出定义之后再对定义作几点说明.

2.几点说明(板书)

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(1)关于对的规定:

教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若

学生感到有困难,可将问题分解为若会有什么问题?如,此时,

等在实数范围内相应的函数值不存在.

若对于都无意义,若则无论取何值,它总是1,对它

没有研究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定且.

(2)关于的定义域(板书)

教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师

可指出,其实当指数为无理数时,也是一个确定的实数,对于无理

指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数

范围扩充为实数范围,所以的定义域为.扩充的另一个原因是因为

使她它更具代表更有应用价值.

(3)关于是否是的判断(板书)

刚才分别认识了中底数,指数的要求,下面我们从整体的角度来

认识一下,根据定义我们知道什么样的函数是,请看下面函数是否是.

(1),(2),(3)

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(4),(5).

学生回答并说明理由,教师根据情况作点评,指出只有(1)和(3)

是,其中(3)可以写成,也是指数图象.

最后提醒学生的定义是形式定义,就必须在形式上一摸一样才

行,然后把问题引向深入,有了定义域和初步研究的函数的性质,此

时研究的关键在于画出它的图象,再细致归纳性质.

3.归纳性质

作图的用什么方法.用列表描点发现,教师准备明确性质,再由

学生回答.函数

1.定义域:

2.值域:

3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数

4.截距:在轴上没有,在轴上为1.

对于性质1和2可以两条合在一起说,并追问起什么作用.(确定

图象存在的大致位置)对第3条还应会证明.对于单调性,我建议找一

些特殊点.,先看一看,再下定论.对最后一条也是指导函数图象画图

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的依据.(图象位于轴上方,且与轴不相交.)

在此基础上,教师可指导学生列表,描点了.取点时还要提醒学

生由于不具备对称性,故的值应有正有负,且由于单调性不清,所

取点的个数不能太少.

此处教师可利用计算机列表描点,给出十组数据,而学生自己列

表描点,至少六组数据.连点成线时,一定提醒学生图象的变化趋势

(当越小,图象越靠近轴,越大,图象上升的越快),并连出光滑

曲线.

二.图象与性质(板书)

1.图象的画法:性质指导下的列表描点法.

2.草图:

当画完第一个图象之后,可问学生是否需要再画第二个?它是否

具有代表性?(教师可提示底数的条件是且,取值可分为两段)让

学生明白需再画第二个,不妨取为例.

此时画它的图象的方法应让学生来选择,应让学生意识到列表

描点不是唯一的方法,而图象变换的方法更为简单.即=与图

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象之间关于轴对称,而此时的图象已经有了,具备了变换的条件.

让学生自己做对称,教师借助计算机画图,在同一坐标系下得到的

图象.

最后问学生是否需要再画.(可能有两种可能性,若学生认为无

需再画,则追问其原因并要求其说出性质,若认为还需画,则教师可

利用计算机再画出如的图象一起比较,再找共性)

由于图象是形的特征,所以先从几何角度看它们有什么特征.教

师可列一个表,如下:

以上内容学生说不齐的,教师可适当提出观察角度让学生去描

述,然后再让学生将几何的特征,翻译为函数的性质,即从代数角度

的描述,将表中另一部分填满.

填好后,让学生仿照此例再列一个的表,将相应的内容填好.

为进一步整理性质,教师可提出从另一个角度来分类,整理函数的性

质.

3.性质.

(1)无论为何值,都有定义域为,值域为,都过点.

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(2)时,在定义域内为增函数,时,为减函数.

(3)时,,时,.

总结之后,特别提醒学生记住函数的图象,有了图,从图中就可

以能读出性质.

三.简单应用(板书)

1.利用单调性比大小.(板书)

一类函数研究完它的概念,图象和性质后,最重要的是利用它解

决一些简单的问题.首先我们来看下面的问题.

例1.比较下列各组数的大小

(1)与;(2)与;

(3)与1.(板书)

首先让学生观察两个数的特点,有什么相同?由学生指出它们底

数相同,指数不同.再追问根据这个特点,用什么方法来比较它们的

大小呢?让学生联想,提出构造函数的方法,即把这两个数看作某个

函数的函数值,利用它的单调性比较大小.然后以第(1)题为例,给出

解答过程.

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解:在上是增函数,且

1,.

解决后由教师小结比较大小的方法

(1)构造函数的方法:数的特征是同底不同指(包括可转化为

同底的)

(2)搭桥比较法:用特殊的数1或0.

三.巩固练习

练习:比较下列各组数的大小(板书)

(1)与(2)与;

(3)与;(4)与.解答过程略

四.小结

1.的概念

2.的图象和性质

3.简单应用

五.板书设计

探究活动

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(1)对于的图象和的图象大家都比较熟悉也能画出它的图

象,现在如果将和的图象画在同一坐标系中,你认为它们会有

几个交点呢?为什么?

答案：有两个交点.

(2)A先生从今天开始每天给你10万元,而你承担如下任务:第

一天给A先生1元,第二天给A先生2元,,第三天给A先生4元,第

四天给A先生8元,依次下去,…,A先生要和你签定15天的合同,你

同意吗?又A先生要和你签定30天的合同,你能签这个合同吗?

答案：15天的合同可以签,而30天的合同不能签.

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