数值计算方法

数值试题

1

数值计算方法试题一

一、填空题（每空1分，共17分）

1、如果用二分法求方程043xx在区间]2,1[

内的根精确到三位小

数，需对分（)次。

2、迭代格式)2(2

1



kkk

xxx

局部收敛的充分条件是取值在

（)。

3、已知

















31)1()1()1(

2

1

10

)(

23

3

xcxbxax

xx

xS

是三次样条函数,

则

a=（),b=（)，c=（）。

4、

)(,),(),(

10

xlxlxl

n



是以整数点n

xxx,,,

10



为节点的Lagrange插值基函

数，则







n

k

k

xl

0

)(

（），







n

k

kjk

xlx

0

)(

()，当2n时





)()3(2

0

4xlxx

kk

n

k

k

（）。

5、设1326)(247xxxxf

和节点

,,2,1,0,2/kkx

k则

],,,[

10n

xxxf

和



0

7f

。

6、5个节点的牛顿—柯特斯求积公式的代数精度为，5个节

点的求积公式最高代数精度为.

7、



0

)(

k

k

x

是区间

]1,0[

上权函数

xx)(

的最高项系数为1的正交多项

式族，其中

1)(

0

x

，则

1

0

4

)(dxxx

.

8、给定方程组









221

121

bxax

baxx

，a为实数，当a满足,且

20时,SOR迭代法收敛.

9、解初值问题00

(,)

()

yfxy

yxy











的改进欧拉法



















)],(),([

2

),(

]0[

111

]0[

1

nnnnnn

nnnn

yxfyxf

h

yy

yxhfyy

是

阶方法。

10、设























1

10

01

aa

a

a

A

，当a（）时，必有分解式TLLA，

其中L为下三角阵,当其对角线元素

)3,2,1(il

ii满足（）条

数值试题

2

件时,这种分解是唯一的。

二、二、选择题（每题2分）

1、解方程组bAx的简单迭代格式gBxxkk)()1(收敛的充要条件是

（）。

（1）

1)(A

，(2）

1)(B

,(3）1)(A

,(4)1)(B

2、在牛顿—柯特斯求积公式:







b

a

n

i

i

n

i

xfCabdxxf

0

)()()()(

中，当系数)(n

i

C

是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）

时的牛顿—柯特斯求积公式不使用.

（1）8n，（2）7n，（3)10n，（4）6n,

3、有下列数表

x00.511.522.5

f（x)—2—1.75-10。2524。25

所确定的插值多项式的次数是（）.

（1）二次;（2）三次；(3)四次；（4）五次

4、若用二阶中点公式

)),(

4

,

2

(

1nnnnnn

yxf

h

y

h

xhfyy

求解初值问题

1)0(,2



yyy,试问为保证该公式绝对稳定,步长h的取值范围为

()。

（1)20h,(2）20h,(3）20h,（4）20h

三、1、(8分）用最小二乘法求形如2bxay

的经验公式拟合以下数

据：

i

x19253038

i

y19。032.349。073.3

2、(15分）用8n的复化梯形公式（或复化Simpson公式)计算

dxex

1

0

时，

(1)（1）试用余项估计其误差。

（2）用8n的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分

的近似值.

四、1、(15分）方程013xx在5.1x附近有根,把方程写成三种不

同的等价形式（1）31xx对应迭代格式3

1

1

nn

xx

；(2)x

x

1

1

对

数值试题

3

应迭代格式n

nx

x

1

1

1



；(3)13xx对应迭代格式13

1



nn

xx

。判断

迭代格式在

5.1

0

x

的收敛性,选一种收敛格式计算5.1x附近的根，精

确到小数点后第三位.选一种迭代格式建立Steffenn迭代法,并进行

计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果.

2、（8分)已知方程组fAX

，其中

























41

143

34

A

,

























24

30

24

f

（1）(1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。

（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。

五、1、（15分）取步长1.0h，求解初值问题















1)0(

1

y

y

dx

dy

用改进的欧

拉法求

)1.0(y

的值；用经典的四阶龙格—库塔法求

)1.0(y

的值。

2、（8分)求一次数不高于4次的多项式)(xp

使它满足

)()(

00

xfxp

，

)()(

11

xfxp

，

)()(

00

xfxp







，

)()(

11

xfxp







，

)()(

22

xfxp

六、（下列2题任选一题，4分）

1、1、数值积分公式形如







1

0

)1()0()1()0()()(fDfCBfAfxSdxxxf

（1）（1）试确定参数

DCBA,,,

使公式代数精度尽量高;（2）

设

]1,0[)(4Cxf

，推导余项公式

1

0

)()()(xSdxxxfxR

，并估计

误差.

2、2、用二步法

)],()1(),([

111101



nnnnnnn

yxfyxfhyyy

求解常微分方程的初值问题











00

)(

),(

yxy

yxfy

时，如何选择参数

,,

10使方

法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。

数值计算方法试题二

一、判断题：(共16分，每小题２分)

１、若A是nn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵

U，使LUA唯一成立。(）

２、当8n时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。

数值试题

4

（）

3、形如

)()(

1

i

n

i

i

b

a

xfAdxxf







的高斯（Gauss)型求积公式具有最高代

数精确度的次数为12n.(）

４、矩阵























210

111

012

A

的２－范数2

A

＝９。（）

5、设























a

a

aa

A

00

00

02

，则对任意实数0a，方程组bAx都是病态

的.(用



）()

6、设nn

RA



,

nn

RQ





，且有

IQQ

T



（单位阵)，则有22

QAA

。

（）

7、区间

ba,

上关于权函数

)(xW

的直交多项式是存在的，且唯一。

（）

8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：





































































600

10

322

11

012

001

542

774

322

b

a

A

，则

ba,

的值分别为

a2,b2.()

二、填空题：（共20分,每小题2分)

1、设102139)(248xxxxf,则均差

]2,,2,2[810f

__________，]3,,3,3[910f

__________。

2、设函数)(xf

于区间

ba,

上有足够阶连续导数，

bap,

为

)(xf

的

一个m重零点,Newton迭代公式

)(

)(

'

1

k

k

kk

xf

xf

mxx



的收敛阶至少

是__________阶.

３、区间

ba,

上的三次样条插值函数

)(xS

在

ba,

上具有直到

__________阶的连续导数.

4、向量TX)2,1(

，矩阵























13

27

A

,则



1

AX

__________，



)(Acond__________。

5、为使两点的数值求积公式：







1

1

10

)()()(xfxfdxxf

具有最高的代

数值试题

5

数精确度，则其求积基点应为



1

x__________，

2

x__________.

6、设nn

RA



，AA

T

,则)(A

（谱半径)__________2

A

。（此处填

小于、大于、等于）

7、设























2

1

4

1

0

2

1

A

，则





k

k

Alim

__________。

三、简答题:（9分）

1、1、方程xx24在区间

2,1

内有唯一根*x，若用迭代公式：

2ln/)4ln(

1kk

xx



),2,1,0(k，则其产生的序列



k

x

是否收敛于

*x？说明理由.

2、2、使用高斯消去法解线性代数方程组,一般为什么要用选主

元的技术？

3、3、设001.0x，试选择较好的算法计算函数值2

cos1

)(

x

x

xf





。

四、（10分)已知数值积分公式为：

)]()0([)]()0([

2

)(''2

0

hffhhff

h

dxxfh

,试确定积分公式中的参

数

，使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。

五、(8分)已知求)0(aa的迭代公式为：

2,1,00)(

2

1

01





kx

x

a

xx

k

kk

证明：对一切

axk

k

,,2,1

，且序列



k

x

是单调递减的，

从而迭代过程收敛。

六、（9分）数值求积公式

3

0

)]2()1([

2

3

)(ffdxxf

是否为插值型求积公

式？为什么？其代数精度是多少？

七、（9分）设线性代数方程组bAX中系数矩阵A非奇异，X为精确

解，0b，若向量

~

X是bAX的一个近似解，残向量

~

XAbr,

证明估计式：

b

r

Acond

X

XX

)(

~





（假定所用矩阵范数与向量范数

相容）。

八、（10分）设函数

)(xf

在区间

3,0

上具有四阶连续导数，试求满足

下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式

)(xH

，并导出

其余项。

数值试题

6

i012

i

x012

)(

i

xf—113

)(

'

i

xf

3

九、（9分）设

)(x

n



是区间

],[ba

上关于权函数

)(xw

的直交多项式

序列，

)1,,,2,1(nnix

i



为

)(

1

x

n



的零点，

)1,,,2,1)((nnixl

i



是以



i

x

为基点的拉格朗日（Lagrange）插值

基函数,









1

1

)()()(

n

k

kk

b

a

xfAdxxwxf

为高斯型求积公式，证明：

（1）（1)当

jknjk,,0

时，

0)()(

1

1





ijik

n

i

i

xxA

（2）

b

a

jk

jkdxxwxlxl)(0)()()(

（3）









1

1

2)()()(

n

k

b

a

b

a

k

dxxwdxxwxl

十、（选做题8分)

若

)())(()()(

101nn

xxxxxxxxf





,

),,1,0(nix

i



互异，求

],,,[

10p

xxxf

的值，其中

1np.

数值计算方法试题三

一、（24分）填空题

(1)（1）（2分）改变函数fxxx()1(x1）的形式，

使计算结果较精确

。

(2)（2）（2分）若用二分法求方程

0xf

在区间[1,2]内的

根，要求精确到第3位小数，则需要对分次.

(3)（3）（2分）设























21

2

2

2

1

xx

xx

xf

，则

xf'

数值试题

7

(4)（4）(3分）设















21,

10,2

23

3

xcbxaxx

xx

xS

是3次样条

函数,则

a=，b=，c=。

(5)（5)（3分）若用复化梯形公式计算

1

0

dxex

，要求误差不

超过610,利用余项公式估计,至少用个求积节点.

(6)（6）（6分)写出求解方程组









24.0

16.1

21

21

xx

xx

的Gauss—Seidel

迭代公式

，迭代矩阵

为,

此迭代法是否收敛。

(7)(7)(4分）设

A













54

43

，则





A

，

Cond



A

。

(8)（8）（2分）若用Euler法求解初值问题

10,10'yyy

，

为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为

二.（64分）

(1)（1)(6分）写出求方程

1cos4xx

在区间[0,1］的根的收敛

的迭代公式，并证明其收敛性.

(2)(2）（12分)以100，121，144为插值节点，用插值法计算115

的近似值,并利用余项估计误差.

(3)（3)(10分)求

xexf

在区间［0,1］上的1次最佳平方逼近

数值试题

8

多项式。

(4)(4)（10分)用复化Simpson公式计算积分



1

0

sin

dx

x

x

I

的

近似值，要求误差限为5105.0。

(5)（5）(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

















2762

3453

2424

321

321

321

xxx

xxx

xxx

(6)（6）(8分)求方程组



























































1

2

5

11

21

31

2

1

x

x

的最小二乘解.

(7)(7）(8分)已知常微分方程的初值问题：











2)1(

2.11,

y

xyxdxdy

用改进的Euler方法计算

y(.)12

的近似值,取步长2.0h。

三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题）

(1)（1）(6分）求一次数不超过4次的多项式p(x）满足:

151p,

201'p

，

301''p,

572p

，

722'p

(2)（2）（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，

并求出其代数精度:

1

2

1

10

1

0

fAfAdxxxf















(3)（3）（6分）用幂法求矩阵



















11

110

A

的模最大的特征值

及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值

的距离小于0。05，取特征向量的初始近似值为

T0,1.

数值试题

9

(4)（4）(6分）推导求解常微分方程初值问题



0

,,,'yaybxaxyxfxy

的形式为



1101



iiii

ffhyy

，i=1,2，…，N

的公式,使其精度尽量高,其中



iii

yxff,

，

ihax

i



,i=0,1,…，

N，

Nabh

(5)（5）（6分）求出用差分方法求解常微分方程的边值问

题















0,0'

,0'''

byay

bxaxryxqyxpy

所得到的三对角线性方程

组。

数值计算方法试题三

一、（24分）填空题

(9)(1）（2分）改变函数fxxx()1（x1)的形式，

使计算结果较精确

。

(10)（2）（2分）若用二分法求方程

0xf

在区间［1，2]内

的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。

(11)(3）（2分）设























21

2

2

2

1

xx

xx

xf

,则

xf'

(12)（4）（3分)设















21,

10,2

23

3

xcbxaxx

xx

xS

是3次样条

函数，则

a=，b=，c=。

数值试题

10

(13)（5)（3分)若用复化梯形公式计算

1

0

dxex

，要求误差不超

过610，利用余项公式估计,至少用个求积节点。

(14)（6）（6分）写出求解方程组









24.0

16.1

21

21

xx

xx

的

Gauss—Seidel迭代公式

，迭代矩阵

为，

此迭代法是否收敛。

(15)(7)(4分）设

A













54

43

，则





A

,

Cond



A

。

(16)（8）（2分）若用Euler法求解初值问题

10,10'yyy,

为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为

二。(64分）

(8)（1）（6分）写出求方程

1cos4xx

在区间[0,1]的根的收

敛的迭代公式,并证明其收敛性。

(9)(2)(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的

近似值，并利用余项估计误差。

(10)（3)(10分)求

xexf

在区间[0，1]上的1次最佳平方逼近

多项式。

(11)（4)（10分）用复化Simpson公式计算积分



1

0

sin

dx

x

x

I

的

近似值，要求误差限为5105.0.

数值试题

11

(12)（5）（10分）用Gauss列主元消去法解方程组:

















2762

3453

2424

321

321

321

xxx

xxx

xxx

(13)(6)（8分）求方程组



























































1

2

5

11

21

31

2

1

x

x

的最小二乘解。

(14)（7)（8分）已知常微分方程的初值问题：











2)1(

2.11,

y

xyxdxdy

用改进的Euler方法计算

y(.)12

的近似值，取步长2.0h.

三．（12分,在下列5个题中至多选做3个题）

(6)（1）(6分)求一次数不超过4次的多项式p(x）满足:

151p,

201'p,

301''p,

572p

，

722'p

(7)（2）(6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，

并求出其代数精度：

1

2

1

10

1

0

fAfAdxxxf















(8)（3）（6分)用幂法求矩阵



















11

110

A

的模最大的特征值及

其相应的单位特征向量,迭代至特征值的相邻两次的近似值的

距离小于0。05，取特征向量的初始近似值为

T0,1.

(9)(4）（6分)推导求解常微分方程初值问题



0

,,,'yaybxaxyxfxy

的形式为



1101



iiii

ffhyy

，i=1，2，…,N

的公式,使其精度尽量高,其中



iii

yxff,

,

ihax

i



，

数值试题

12

i=0,1，…，N,

Nabh

(10)（5）（6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题















0,0'

,0'''

byay

bxaxryxqyxpy

所得到的三对角线性方程组.

数值计算方法试题一答案

一、一、填空题（每空1分，共17分）

1、（10）2、（

)0,

2

2

(

)

2

2

,0(

）3、a=(3），b=（3),c=

（1）

4、（1）、(j

x

）、(324xx)5、6、

25.236

4

945

2

6!7

7





6、

9

7、08、

1a

9、210、（2

2

,

2

2



）、

(

0

ii

l

)

二、二、选择题（每题2分)

1、（（2）)2、（（1））3、（(1））4、（(3)）

三、1、（8分）解：

},1{2xspan















222238312519

1111

TA

3.730.493.320.19Ty

解方程组

yAACATT

其中















35296033391

33914

AAT













7.179980

6.173

yAT

解得:















0501025.0

9255577.0

C

所以9255577.0a,0501025.0b

2、（15分)解：

001302.0

768

1

8

1

12

1

)(

12

][0

2

2





efh

ab

fR

T



])()(2)([

2

)8(

7

1







k

k

bfxfaf

h

T

]36787947.0)41686207.047236655.05352614.0

60653066.07788008.08824969.0(21[

16

1





6329434.0

数值试题

13

四、1、(15分）解：（1）

3

2

1(

3

1

)(



）xx

,

118.05.1



）（

，故收敛；

（2)x

x

x

1

12

1

)(

2





，

117.05.1



）（

,故收敛;

（3）23)(xx



，

15.135.12



）（

,故发散。

选择（1):

5.1

0

x

,3572.1

1

x,3309.1

2

x,

3259.1

3

x

，

3249.1

4

x

，

32476.1

5

x

,

32472.1

6

x

Steffenn迭代：kkk

kk

kkxxx

xx

xx







)(2))((

))((2

1



11211

)1(

3

3

3

2

3







kk

kk

k

xx

xx

x

计算结果：

5.1

0

x

,324899.1

1

x,324718.1

2

x有加速效果。

2、（8分)解:Jacobi迭代法：

































,3,2,1,0

)24(

4

1

)330(

4

1

)324(

4

1

)(

2

)1(

3

)(

3

)(

1

)1(

2

)(

2

)1(

1

k

xx

xxx

xx

kk

kkk

kk

Gauss-Seidel迭代法：

































,3,2,1,0

)24(

4

1

)330(

4

1

)324(

4

1

)1(

2

)1(

3

)(

3

)1(

1

)1(

2

)(

2

)1(

1

k

xx

xxx

xx

kk

kkk

kk































0

4

3

0

4

3

0

4

3

0

4

3

0

)(1ULDB

J

，

790569.0)

4

10

(

8

5

)(或

J

B

SOR迭代法:

































,3,2,1,0

)24(

4

)1(

)330(

4

)1(

)324(

4

)1(

)1(

2

)(

3

)1(

3

)(

3

)1(

1

)(

2

)1(

2

)(

2

)(

1

)1(

1

k

xxx

xxxx

xxx

kkk

kkkk

kkk













五、1、（15分）解：改进的欧拉法：

数值试题

14



















095.0905.0)],(),([

2

1.09.0),(

)0(

111

)0(

1

nnnnnnn

nnnnn

yyxfyxf

h

yy

yyxhfyy

所以

1)1.0(

1

yy

；

经典的四阶龙格—库塔法：



































),(

)

2

,

2

(

)

2

,

2

(

),(

]22[

6

34

23

12

1

43211

hkyhxfk

k

h

y

h

xfk

k

h

y

h

xfk

yxfk

kkkk

h

yy

nn

nn

nn

nn

nn

0

4321

kkkk

,所以1)1.0(

1

yy

。

2、(8分)解:设

)(

3

xH

为满足条件















1,0)()(

)()(

3

3

ixfxH

xfxH

ii

ii

的Hermite插值

多项式，

则2

1

2

03

)()()()(xxxxkxHxp代入条件)()(

22

xfxp

得：

2

12

2

02

232

)()(

)()(

xxxx

xHxf

k







六、(下列2题任选一题,4分）

1、解：将32,,,1)(xxxxf

分布代入公式得：

20

1

,

30

1

,

20

7

,

20

3

DBBA

构造Hermite插值多项式

)(

3

xH

满足















1,0)()(

)()(

3

3

ixfxH

xfxH

ii

ii

其中

1,0

10

xx

则有:

1

0

3

)()(xSdxxxH

,

22

)4(

3

)1(

!4

)(

)()(xx

f

xHxf



dxxx

f

dxxSxfxxR2

1

0

3

)4(

1

0

)1(

!4

)(

])()([)(



1440

)(

60!4

)(

)1(

!4

)()4()4(

1

0

23

)4(ff

dxxx

f







2、解:

])(

!3

)(

!2

)()()(1()([

))(

!3

)(

!2

)()(()(

)(

!3

)(

!2

)()()(

)4(

32

32

10

32

11,























































nnnnn

nnnnn

nnnnnnhn

xy

h

xy

h

xyhxyxyh

xy

h

xy

h

xyhxyxy

xy

h

xy

h

xyhxyyxyR





数值试题

15

)()()

2

1

66

1

()()1

22

1

(

)()11()()1(

4

1

3

1

2

110

hOxyhxyh

xyhxy

nn

nn



























所以





















01

22

1

0

01

1

1

10































2

3

0

1

1

0







主项:

)(

12

5

3

n

xyh



该方法是二阶的。

数值计算方法试题二答案

一、一、判断题：(共10分,每小题２分)

1、（Ⅹ）2、(∨）3、（Ⅹ）4、（∨）5、

（Ⅹ)6、（∨)7、（Ⅹ）8、(Ⅹ）

二、二、填空题:（共10分，每小题2分)

1、!89、02、__二___3、__二___4、_16、90__5、3

1

,

3

1



6、

=

7、0

三、三、简答题：（15分)

1、1、解：迭代函数为2ln/)4ln()(xx

1

2ln

1

24

1

2ln

1

4

1

)(

'













x

x

2、2、答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主

元素)(k

kk

a

全不为0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即

使

0)det(A

，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为

0，但若主元素)(k

kk

a

的绝对值很小，用它作除数,将使该步消元的

乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散,以致于方程组

解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元

素)(k

kk

a=0或)(k

kk

a

很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误

差扩大太大而使计算不稳定。

3、3、解：



)!2(

)1(

!4!2

1cos

242

n

xxx

x

n

n



)!2(

)1(

!4!2

cos1

2

1

42

n

xxx

x

n

n







)!2(

)1(

!4!2

1

)(

22

1

2

n

xx

xf

n

n

四、四、解：

1)(xf

显然精确成立;

数值试题

16

xxf)(时，

]11[]0[

22

2

2

0

hh

hh

xdxh

；

2)(xxf

时，12

1

2

2

]20[]0[

23

3

22

3

0

2h

h

hhh

hh

dxxh

；

3)(xxf

时,

]30[

12

1

]0[

24

223

4

0

3hhh

hh

dxxh

；

4)(xxf

时，6

]40[

12

1

]0[

25

5

324

5

0

4

h

hhh

hh

dxxh

；

所以，其代数精确度为3.

五、五、证明：

2,1,02

2

1

)(

2

1

1





ka

x

a

x

x

a

xx

k

k

k

kk

故对一切

axk

k

,,2,1

。

又

1)11(

2

1

)1(

2

1

2

1

k

k

k

x

a

x

x

所以kk

xx

1，即序列



k

x

是单调递减有

下界，

从而迭代过程收敛.

六、六、解：是。因为

)(xf

在基点1、2处的插值多项式为

)2(

12

1

)1(

21

2

)(f

x

f

x

xp













3

0

)]2()1([

2

3

)(ffdxxp

。其代数精度为1。

七、七、证明：由题意知:

rbXAbAX

~

,

rAXXrAXXrXXA

1

~

1

~~

)(





又

b

A

X

XAAXbbAX

1

所以

b

A

Acond

b

rAA

X

XX

)(

1

~







。

八、解:设

)2)(1()()(

2

xxaxxNxH

)1)(0(

2

1

21)1)(0](2,1,0[)0](1,0[)0()(

2

xxxxxfxffxN

数值试题

17

所以

)2)(1()1(

2

1

21)(xxaxxxxxH

由

3)0('H

得：4

1

a

所以

13

4

5

4

1

)(23xxxxH

令)()()(xHxfxR,作辅助函数)2)(1()()()()(2tttxktHtftg

则)(tg在]3,0[上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：21,0,，xt

反复利用罗尔定理可得：!4

)(

)(

)4(f

xk

，

)0)(()4(g

所以

)2)(1(

!4

)(

)2)(1()()()()(2

)4(

2xxx

f

xxxxkxHxfxR



九、九、证明：形如

)()()(

1

1

k

b

a

n

k

k

xfAdxxwxf







的高斯（Gauss）型求

积公式具有

最高代数精度2n+1次,它对

)(xf

取所有次数不超过2n+1次

的多项式均精确成立

1）

0)()()()()(

1

1









b

a

jkijik

n

i

i

dxxwxxxxA

2)因为

)(xl

i是n次多项式，且有











ji

ji

xl

ji

1

0

)(

所以

0)()()()()(

1

1







ijik

b

a

n

i

ijk

xlxlAdxxwxlxl

(jk

）

3)取

)()(

2

xlxf

i



，代入求积公式：因为

)(

2

xl

i是2n次多项式，

所以iji

b

a

n

j

ji

AxlAdxxwxl





2

1

1

)]([)()(















1

1

1

1

2)()()(

n

k

b

a

b

a

n

k

kk

dxxwAdxxwxl

故结论成立。

十、十、解：

np

xx

xf

xxxf

p

i

p

ij

j

ji

i

p













0

)(

)(

],,,[

0

0

10



1

)!1(

)(

],,,[

)1(

110









n

f

xxxf

n

n





数值计算方法试题三答案

数值试题

18

一。（24分)

（1)(2分）



xx

xf





1

1

(2)(2分）10

(3）(2分)

















12

21

22

xx

xx

(4）（3分)3—31（5）(3分）

477

(6)(6分)





,1,0,

4.02

6.11

1

1

1

2

2

1

1















k

xx

xx

kk

kk





















64.00

6.10

收敛

（7）（4分）991（8）（2分）h〈0。2

二.（64分）

(1）(6分）



nnn

xxxcos1

4

1

1







,n=0，1，2，…

1

4

1

sin

4

1

'xx

∴对任意的初值

]1,0[

0

x

，迭代公式都收敛.

（2）（12分）用Newton插值方法:差分表：

100

121

144

10

11

12

0.0476190

0.0434783

-0。

11510+0。0476190（115—100）—0。(115—100)

（115—121）

=10。7227555

2

5

8

3

'''xxf

数值试题

19





00163.029615100

8

3

6

1

5100115

!3

'''

2

5







f

R

（3）(10分)设

xccxcxcx

212211



























































2

1

2

1

2212

2111

,

,

,,

,,









f

f

c

c

,

1,1

0

11

dx

，



2

1

,1

0

21

xdx

,



3

1

,1

0

2

22

dxx

，

1)exp(,1

0

1

edxxf

,

1)exp(,1

0

2

dxxxf





















































1

1

3121

211

2

1

e

c

c

,



































690.1

8731.0

2

1

c

c

,

xx690.18731.0

xeex618104

=0.873127+1。69031x

（4)（10分）

0.946145881

2

1

40

6

1

1

































fffS

0.946086931

4

3

4

2

1

2

4

1

40

12

1

2





























































fffffS

5-

122

10933.0

15

1

SSSI

94608693.0

2

SI

或利用余项:







!9!7!5!3

1

sin8642xxxx

x

x

xf











!49!275

142

)4(

xx

xf

5

1

)4(xf



5

4

)4(

4

5

105.0

52880

1

2880











n

f

n

ab

R

，2n，



2

SI

(5)(10分)

3.00001。00005.000034.0000

0。00003。66670.333312.6667

数值试题

20

0。00005.3333—2。33334.3333

3.00001。00005.000034。0000

0.00005。3333—2.33334。3333

0.00000.00001。93759.6875

Tx0000.5,0000.3,0000.2

（6）（8分)

bAxAATT

，



















































20

8

146

63

2

1

x

x

，





















0000.2

3333.1

x

若用Houholder变换，则：































52073.236603.10

52073.136603.00

61880.446410.373205.1

,bA

























81650.000

82843.241421.10

61880.446410.373205.1

最小二乘解:（—1。33333,2。00000）T。

（7）（8分)

5.0,

001

yxfk

，

0.52380955.02.021.1,

1012

hkyxfk

1071429.25238095.05.01.02

22101

kk

h

yy

三。(12分）

（1)差分表：

115201571

数值试题

21

1

1

2

2

15

15

57

57

20

42

72

22

30

8



432

332

2345

2

xxxx

xxxxxxp





其他方法：设

baxxxxxp32111512015

令

572p

，

722'p,求出a和b

（2)取f（x）=1,x，令公式准确成立，得:

2

1

10

AA

，3

1

2

1

10

AA

3

1

0

A

,6

1

1

A

f(x)=x2时,公式左右=1/4;f(x)=x3时，公式左=1/5，公式右=5/24

∴公式的代数精度=2

（3）①



















1

10

01

Avu

,

00.10,

01

)1(

1

vu

，



















09950.0

9950.0

2

1

1

1u

u

v

②



















095.1

05.10

12

Avu

,

108.10,

12

)2(

1

vu

，



















1083.0

9941.0

2

2

2

2u

u

v

,

05.011.0)2(

1

)1(

1



③



















102.1

05.10

23

Avu

,

110.10,

23

)3(

1

vu

,



















1090.0

9940.0

2

3

3

3u

u

v

，

05.0002.0)3(

1

)2(

1



∴

11.10

1



，



















1090.0

9940.0

1

x

数值试题

22

（4）局部截断误差=



11



ii

yty





32

110

32

110

3

2

''

2

1

'1

''''

''

2

'

hOxyhxhy

hOxyhxhyxhyxy

hOxy

h

xhyxy

ii

iiii

iii

























令

01

10



，

0

2

1

1



得2

3

0



，2

1

1



,

计算公式为



11

3

2



iiii

ff

h

yy

，i=0,1,2,…

(局部截断误差=

43'''

12

5

hOxyh

i



）

(5）记Nabh)(

，

ihax

i



，



ii

xpp

,



ii

xqq

，



ii

xrr

，



ii

xyy

,i=0。。N



iiiiiiiii

ryqyy

h

pyyy

h



1111

22

1

2

1

,i=1.。N—1

即



iiiiiii

rhyp

h

yqhyp

h

2

1

2

12

12

2

1





























，i=1。。N—1(1）

043

210

yyy

，与（1）取i=1的方程联立消去y

2

得



1

2

111

2

01

2222rhyhpqhyp（2）

0

N

y

，与（1）取i=N-1的方程联立消去y

N

得



1

2

11

2

22

2

2

1



















NNNNN

rhyqhyp

h

(3）

所求三对角方程组：方程(2）,方程组（1）(i=1。。N-2）,方程（3）