向量的加法运算

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法OB+OA=OC。

a+b=(x+x',y+y’)。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a;

结合律：（a+b)+c=a+（b+c).

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0。0的反向量为0

向量的减法

AB-AC=CB.即“共同起点,指向被

向量的减法减"

a=(x,y）b=(x'，y’）则a-b=（x-x',y-y’）。

3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；

向量的数乘

当λ＜0时,λa与a反方向；

向量的数乘当λ=0时,λa=0，方向任意。

当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。

注：按定义知,如果λa=0，那么λ=0或a=0.

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压

缩.

当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0)或反方向（λ＜0）上伸长为原来

的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短

为原来的∣λ∣倍.

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=（a·λb).

向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb.

数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么

λ=μ。

4、向量的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b>

并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积(内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=｜

a|·|b|·cos〈a,b>；若a、b共线,则a·b=+—∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x’+y·y'。向量的数量积的运算律

a·b=b·a(交换律）；

(λa)·b=λ(a·b）(关于数乘法的结合律)；

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；

向量的数量积的性质

a·a=｜a|的平方。

a⊥b<=>a·b=0.

｜a·b｜≤｜a|·|b|.(该公式证明如下：｜a·b|=｜a|·|b|·｜cosα｜因为0≤｜cosα|

≤1,所以|a·b|≤|a｜·|b｜)

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即:（a·b）·c≠a·(b·c）；例如：（a·b）^2≠a^2·b^2。

2、向量的数量积不满足消去律,即：由a·b=a·c（a≠0)，推不出b=c.

3、|a·b|≠｜a|·｜b|

4、由｜a|=|b|，推不出a=b或a=-b。

5、向量的向量积

定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是

一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”)。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣

=|a｜·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右

手系.若a、b共线,则a×b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a垂直b〈=〉a×b=|a|｜b|.

向量的向量积运算律

a×b=—b×a；

(λa）×b=λ（a×b）=a×(λb)；

a×（b+c）=a×b+a×c。

注:向量没有除法，“向量AB/向量CD"是没有意义的。