罗尔中值定理

内容概要

名称主要内容（3.1、3.2）

3.1

中值

定理

名称条件结论

罗尔

中值

定理

)(xfy：（1）在][a,b上连续；（2）在)(a,b

内可导；（3）)()(bfaf

至少存在一点)(a,bξ使得

0)(/ξf

拉格

朗日

中值

定理

)(xfy：（1）在][a,b上连续；（2）在)(a,b

内可导

至少存在一点)b,a(使得

)(/ξf

ab

afbf







)()(

柯西

中值

定理

)(xf、)(xg：（1）在][a,b上连续，在)(a,b

内可导；（2）在)(a,b内每点处0)(/xg

至少存在一点)(a,bξ使得

ab

afbf

ξg

ξf







)()(

)(

)(

/

/

3.2

洛必

达

法则

基本形式

0

0

型与





型未定式

通分或取倒数化为

基本形式

1）型：常用通分的手段化为

0

0

型或





型；

2）0型：常用取倒数的手段化为

0

0

型或





型，即：

00

0

1/0





或0

1/0







；

取对数化为

基本形式

1）

00型：取对数得

00ln00e，其中

00

0ln00

1/0





或0ln00

1/0







；

2）

1型：取对数得

ln11e，

其中

00

ln10

1/0





或ln10

1/0







；

3）

0型：取对数得

ln00e，

其中

00

0ln0

1/0





或0ln0

1/0







。

课后习题全解

习题3-1

★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。

（1）]511[32)(2.,,xxxf；（2）]30[3)(,,xxxf。

知识点：罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/ξf，得到的根ξ便为所求。

解：（1）∵32)(2xxxf在]511[.,上连续，在)5.1,1(内可导，且0)51()1(.ff，

∴32)(2xxxf在]511[.,上满足罗尔定理的条件。令()410fξξ



得

)511(

4

1

.,ξ即为所求。

（2）∵xxxf3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(ff，

∴xxxf3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。令

()30

23

ξ

fξξ

ξ







，得)30(2,ξ即为所求。

★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423xxxy在区间]10[,上的正确性。

知识点：拉格朗日中值定理。

思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程

(1)(0)

()

10

ff

fξ









，若得到的根]10[,ξ则

可验证定理的正确性。

解：∵

32()452yfxxxx在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423xxxy在

区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。又2)0(2)1(,ff，

2()12101fxxx



，

∴要使

(1)(0)

()0

10

ff

f









，只要：

513

(01)

12

,



，

∴

513

(01)

12

,



，使

(1)(0)

()

10

ff

fξ









，验证完毕。

★3.已知函数

4)(xxf在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。

解：要使

(2)(1)

()

21

ff

fξ









，只要

3

3

15

415

4

ξ，从而

315

(12)

4

ξ,即为满足定理

的。

★★4.试证明对函数rqxpxy2

应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。

证明：不妨设所讨论的区间为][a,b，则函数rqxpxy2

在][a,b上连续，在)(a,b内可导，从

而有

()()

()

fbfa

fξ

ba









，即

ab

rqaparqbpb

qξ







)()(

2

22

，

解得

2

ab

ξ



，结论成立。

★5.函数

3)(xxf与1)(2xxg在区间]21[,上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满

足定理的数值ξ。

知识点：柯西中值定理。

思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程

()()()

()()()

fξfbfa

gξgbga











，得到的根ξ便为所求。

解：∵

3)(xxf及

2g()1xx在]21[,上连续，在)21(,内可导，且在)21(,内的每一点处有

()20gxx



，所以满足柯西中值定理的条件。要使

()(2)(1)

()(2)(1)

fξff

gξgg











，只要

3

7

2

32



ξ

ξ

，解

得)21(

9

14

,ξ，ξ即为满足定理的数值。

★★★6.设)(xf在]10[,上连续，在)10(,内可导，且0)1(f。求证：

存在)10(,ξ，使

()

()

fξ

fξ

ξ



。

知识点：罗尔中值定理的应用。

思路：从

ξ

ξf

ξf

)(

)(/结论出发，变形为0)()(/ξfξξf，构造辅助函数使其导函数为

)()(/xfxxf，然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常

用的方法。

证明：构造辅助函数)()(xxfxF，()()()Fxfxxfx





根据题意)()(xxfxF在]10[,上连续，在)10(,内可导，且0)1(1)1(fF，

0)0(0)0(fF，从而由罗尔中值定理得：存在)10(,ξ，使

()()()0Fξfξξfξ



，即

()

()

fξ

fξ

ξ



。

注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使

()

()

fx

fx

x



，只要

()1[()]

[ln()][ln][ln()]00[()]0

()()

fxxfx

fxxxfxxfx

fxxxfx







∴只要设辅助函数)()(xxfxF

★★7.若函数)(xf在)(a,b内具有二阶导函数，且)()()(

321

xfxfxf

)(

321

bxxxa，证明：在)(

31

,xx内至少有一点ξ，使得()0fξ



。

知识点：罗尔中值定理的应用。

思路：连续两次使用罗尔中值定理。

证明：∵)(xf在)(a,b内具有二阶导函数，∴)(xf在][

21

,xx、][

32

,xx内连续，

在)(

21

,xx、)(

32

,xx内可导，又)()()(

321

xfxfxf，

∴由罗尔定理，至少有一点)(

211

,xxξ、)(

322

,xxξ，

使得

1

()0fξ



、

2

()0fξ



；又()fx

在][

21

,ξξ上连续，在)(

21

,ξξ内可导，

从而由罗尔中值定理，至少有一点)(

21

,ξξξ)(

31

,xx，使得()0fξ



。

★★8.若4次方程0

43

2

2

3

1

4

0

axaxaxaxa有4个不同的实根，证明：

0234

32

2

1

3

0

axaxaxa

的所有根皆为实根。

知识点：罗尔中值定理的应用。

思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。

证明：令

43

2

2

3

1

4

0

)(axaxaxaxaxf

则由题意，)(xf有4个不同的实数零点，分别设为

4321

,x,x,xx，

∵)(xf在][

21

,xx、][

32

,xx、][

43

,xx上连续，在)(

21

,xx、)(

32

,xx、)(

43

,xx上可导，

又0)()()()(

4321

xfxfxfxf，

∴由罗尔中值定理，至少有一点)(

211

,xxξ、)(

322

,xxξ、)(

433

,xxξ

使得

123

()()()0fξfξfξ



，即方程0234

32

2

1

3

0

axaxaxa至少有3个实根，又

三次方程最多有3个实根，从而结论成立。

★★★9.证明：方程015xx只有一个正根。

知识点：零点定理和罗尔定理的应用。

思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来

讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。

解：令1)(5xxxf，∵)(xf在]10[,上连续，且01)1(f，01)0(f，

∴由零点定理，至少有一点)10(,ξ，使得01)(5ξξξf；

假设015xx有两个正根，分别设为

1

ξ、

2

ξ（

21

ξξ），

则)(xf在在][

21

,ξξ上连续，在)(

21

,ξξ内可导，且0)()(

21

ξfξf，

从而由罗尔定理，至少有一点)(

21

,ξξξ，使得

4()510fξξ



，这不可能。

∴方程015xx只有一个正根。

★★10.不用求出函数)4)(3)(2)(1()(xxxxxf的导数，说明方程()0fx



有几个实根，

并指出它们所在的区间。

知识点：罗尔中值定理的应用。

思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。

解：∵)4)(3)(2)(1()(xxxxxf在]21[,、]32[,、]43[,上连续，

在)21(,、)32(,、)43(,内可导，且0)4()3()2()1(ffff，

∴由罗尔中值定理，至少有一点)21(

1

,ξ、)32(

2

,ξ、)43(

3

,ξ，

使得

123

()()()0fξfξfξ



，即方程()0fx



至少有三个实根，

又方程()0fx



为三次方程，至多有三个实根，

∴()0fx



有3个实根，分别为)21(

1

,ξ、)32(

2

,ξ、)43(

3

,ξ。

★★★11.证明下列不等式：

（1）babaarctanarctan；（2）当1x时，exex；

（3）设0x，证明xx)1(ln；（4）当0x时，

xx



1

1

)

1

1(ln。

知识点：利用拉格朗日中值定理。

思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数()yfx，通过式子

()()

()

fbfa

fξ

ba









（或()()()()fbfafξba



）证明的不等式。

证明：（1）令xxfarctan)(，∵)(xf在][a,b上连续，在)(a,b内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得

2

1

arctanarctan()()

1

abfξbababa

ξ







。

（2）令

xexf)()1(x，∵)(xf在]1[,x上连续，在)1(,x内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得eex)(xeξ1，

∵xξ1，∴eexxexeeeξx)1()1(，从而当1x时，exex。

（3）令)1ln()(xxf)0(x，∵)(xf在]0[,x上连续，在)0(,x内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得

1

ln(1)ln(1)ln(10)()(0)

1

xxfξxx

ξ







，

∵xξ0，∴xx

ξ



1

1

，即0x，xx)1ln(。

（4）令xxfln)()0(x，∵)(xf在]1[xx,上连续，在)1(xx,内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得

11

ln(1)ln(1)ln()(10)xxfξ

xξ



，

∵xξx1，∴

xξ



1

11

，即当0x时，

xx



1

1

)

1

1ln(。

★★12.证明等式：)1(

1

2

arcsinarctan2

2





xπ

x

x

x.

知识点：()0()fxfxC



（C为常数）。

思路：证明一个函数表达式)(xf恒等于一个常数，只要证()0fx





证明：令)1(

1

2

arcsinarctan2)(

2





x

x

x

xxf，

当1x时，有π1arcsin1arctan2；当1x时，有

22

22222

2

2

2

212(1)222122

()

1(1)1(1)

1

2

1()

1

xxxx

fx

xxxx

x

x

x

















0)

1

2

(

1

2

22







xx

，∴()(1)fxCf；

∴)1(

1

2

arcsinarctan2

2





xπ

x

x

x成立。

★★★13.证明：若函数)(xf在)(,-内满足关系式()()fxfx



，且1)0(f，则

xexf)(。

知识点：()0()fxfxC





思路：因为()()1xxfxeefx，所以当设()()xFxefx时，只要证()0Fx



即可

证明：构造辅助函数()()xFxefx，

则()()()0xxFxefxefx

；

∴()(0)1xF(x)efxCF

∴

xexf)(。

★★★14.设函数)(xf在][a,b上连续，在)(a,b内有二阶导数，且有

bcac,fbfaf)(0)(0)()(，

试证在)(a,b内至少存在一点ξ，使()0fξ



。

知识点：拉格朗日中值定理的应用。

思路：关于导函数)()(ξfn

在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析

各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。

证明：∵)(xf在][a,c、][c,b上连续，在)(a,c、)(c,b内可导，

∴由拉格朗日中值定理，至少有一点)(

1

a,cξ、)(

2

c,bξ，

使得

2

()()

()0

fcfb

fξ

cb









，

1

()()

()0

fafc

fξ

ac









；

又()fx



在][

21

,ξξ上连续，在)(

21

,ξξ内可导，从而至少有一点)(

21

,ξξξ，

使得

21

21

()()

()0

fξfξ

fξ

ξξ











。

★★★15.设)(xf在][a,b上可微，且()0()0()()fa,fb,fafbA,





试证明)(/xf在

)(a,b内至少有两个零点。

知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。

思路：要证明在某个区间)(a,b内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在][a,b上有三个零点，即可

以利用罗尔中值定理，得出结论。

证明：∵

()()

()lim0

xa

fxfa

fa

xa













，由极限的保号性知，

)(

1

a,δ



（不妨设

21

b-a

δ），对于)(

1

a,δx



，均有0

)()(







ax

afxf

，

特别地，)(

11

a,δx



，使得0

)()(

1

1





ax

afxf

，∴得Aafxf)()(

1

；

同理，由()0fb,





得)(

22

b,δx



（

22

b-a

δ），使得0

)()(

2

2





bx

bfxf

，

从而得Abfxf)()(

2

；

又∵)(xf在][

21

,xx上连续，∴由介值定理知，至少有一点)(

21

,xxξ使得Aξf)(；

∵)(xf在][a,ξ、][ξ,b上连续，在)(a,ξ、)(ξ,b内可导，且Abfξfaf)()()(，

∴由罗尔中值定理知，至少有一点)(

1

a,ξξ、)(

2

ξ,bξ，使得

12

()()0fξfξ



，结论成立。

★★★16.设)(xf在闭区间][a,b上满足()0fx



，试证明存在唯一的bcc,a，使得

()()

()

fbfa

fc

ba









。

知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。

思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的

单调性得出结论。

证明：存在性。

∵)(xf在][a,b上连续，在)(a,b内可导，∴由拉格朗日中值定理知，至少有一点)(a,bc，使得

()()

()

fbfa

fc

ba









。

唯一性的证明如下：

方法一：利用反证法。假设另外存在一点)(a,bd，使得

()()

()

fbfa

fd

ba









，

又∵()fx



在][c,d（或][d,c）上连续，在)(c,d（或)(d,c）内可导，

∴由罗尔中值定理知，至少存在一点)()(a,bc,dξ（或)()(a,bd,cξ），使得()0fξ



，

这与)(xf在闭区间][a,b上满足()0fx



矛盾。从而结论成立。

方法二：∵)(xf在闭区间][a,b上满足()0fx



，∴()fx



在][a,b单调递增，

从而存在存在唯一的)(a,bc，使得

()()

()

fbfa

fc

ba









。结论成立。

★★★17.设函数)(xfy在0x的某个邻域内具有n阶导数，且

(1)(0)(0)(0)0nfff,

试用柯西中值定理证明：

)10(

)()()(

θ

n!

θxf

x

xfn

n

。

知识点：柯西中值定理。

思路：对)(xf、

nxxg)(在]0[,x上连续使用n次柯西中值定理便可得结论。

证明：∵)(xf、

nxxg)(及其各阶导数在]0[,x上连续，在)0(,x上可导，

且在)0(,x每一点处，

(1)()!0ngxnx，又

(1)(0)(0)(0)0nfff,

，

∴连续使用n次柯西中值定理得，

(1)(1)

1

11

11(1)

111

()(0)

()()(0)

()()(0)

(0)(0)(0)

nn

n

nnnnn

n

fξf

ffξf

fxfxf

xxgnnξgn!ξg



























)10(

)()(

θ

n!

θxfn

，从而结论成立。

习题3-2

★★1.用洛必达法则求下列极限：

（1）

x

eexx

xsin

lim

0







；（2）

x-a

ax

ax

sinsin

lim





；（3）

2

2

)2(

sinln

lim

xπ-

x

π

x

；（4）

xarc

x

xcot

)

1

1ln(

lim





；

（5）

x

x

x2tanln

7tanln

lim

0

；（6）

ee

xx

x

x





ln1

lim

3

1

；（7）

xx-

xx

xsin

tan

lim

0





；（8）xx

x

2cotlim

0

；

（9）2

1

2

0

limx

x

ex



；（10）)1(lim

1





x

x

ex；（11）)

1

11

(lim

0





x

xe

x

；（12）)

ln

1

1

(lim

1xx-

x

x





；

（13）

x

xx

a

)1(lim



；（14）

x

x

xsin

0

lim



；（15）

x

xx

tan

0

)

1

(lim



；（16）

xx-

xex

xarctan

1)1ln(

lim

0





；

（17）

x

x

x

1

0

)sin1(lim



；（18）

x

xx

)

1

(lnlim

0

；（19）

x

x

xx

1

2)1(lim



；（20）

2)

1

tan(limn

nn

n



。

知识点：洛必达法则。

思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：

0

0

型与





型未定

式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于型与0型的未定式，可通过通分或者取倒数的

形式化为基本形式；对于

00型、

1型与

0型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可

以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。

解：（1）2

cos

lim

sin

lim

00













x

ee

x

eexx

x

xx

x

；

（2）a

x

ax

ax

axax

cos

1

cos

lim

sinsin

lim







；

（3）

8

1

8

sin

lim

)2(4

cos

lim

)2(4

sin

cos

lim

)2(

sinln

lim

222

2

2

















x

πx

x

πx

x

x

xπ

x

π

x

π

x

π

x

π

x

；

（4）1

)1(

1

lim

1

1

)1(

1

lim

cot

)

1

1ln(

lim

2

2





















xx

x

x

xx

xarc

x

xxx

；

（5）1

7cos27tan

2tan2cos7

lim

2tan

2c2

7tan

7c7

lim

2tanln

7tanln

lim

2

2

0

2

2

00









xx

xx

x

x

x

x

x

x

xxx

；

（6）

e

e

x

x

ee

xx

x

x

x

x

4

1

3

lim

ln1

lim

2

1

3

1













；

（7）

22

3

0000

tanc12tanc2

limlimlimlim2

sin1cossincosxxxx

xxxxx

xxxxx







；

（8）

2

1

2c2

1

lim

2tan

lim2cotlim

2

000



x

x

x

xx

xxx

；

（9）









2

2

2

2

1

0

3

1

3

0

2

1

0

1

2

0

lim

2

2

lim

1

limlimx

x

x

x

x

x

x

x

e

x

e

x

x

e

ex；

（或解为：

2

2

1

1

2

0

limlimlim

1

u

uu

x

x

xuu

ee

xe

u





）

（10）1lim

1

1

lim

1

)1(

lim)1(lim

1

2

1

2

1

1















x

x

x

x

x

x

x

x

e

x

e

x

x

e

ex；

（或解为：∵当x时，

11

1~xe

x

，∴

1

1/11/

lim(1)limlim1

1/1/

x

x

xxx

ex

xe

xx



）

（11）

(1)~

2

0000

111111

lim()limlimlim

1(1)22

xxxx

ex

xx

xxxx

exexe

xexexx











；

（12）

2

1

2ln

ln1

lim

1

ln

ln

lim

ln)1(

1ln

lim)

ln

1

1

(lim

1111





















x

x

x

x

x

x

xx

xxx

xx

x

xxxx

；

（或解为：

ln(1)~

1

2

100

ln1(1)ln(1)(1)ln(1)

limlimlim

(1)lnln(1)

uu

ux

xuu

xxxuuuuuu

xxuuu













0

ln(1)1

lim

22u

u

u



）

（13）

ln(1)

limln(1)limlim

11lim(1)xxx

aa

a

xx

x

xa

x

x

xx

a

e

x

eee







；

（14）0000

ln1tansin

limsinlnlimlimlim

sin0

csccotcsc

0

lim1xxxx

xxx

xx

x

xxxxx

x

xeeeee









；

（15）

2

2

000

1

lnsin

limlimlim

tan0

cot

csc

0000

1

lim()limlimlim1xxx

xx

x

x

xx

x

xxxx

eeee

x















；

（16）

2

2

0

2

00)1(

)1)(1(

lim

1

1

1

1

1

lim

arctan

1)1ln(

lim

xx

exex

x

x

e

xx

xexx

x

x

x

x

x





















2

00

(1)1

limlim

22

xxx

xx

xeexe

xx



；

（17）eeexx

x

x

x

x)(

x

x

x

xx







sin1

cos

lim

0

sin1ln

lim

0

1

0

00limlim)sin1(lim；

（18）

0

0

2

00

11

()

ln[ln]

ln

lim

lim

1

1

1

limlim

ln1/

0

1

lim(ln)1x

x

xx

x

xx

x

x

xx

xx

x

eeee

x



























；

（19）1)1(lim22

2

2

1

1

lim

1

1

1

lim

)1ln(

lim

1

2











xxx

x

x

x

xx

x

x

xx

xeeexx；

（20）令

2)

1

tan()(x

x

xxf，则

2

2

2

0

1

lntanln

1

lim

0

1tan

lim(tan)lim()t

t

tt

x

x

t

t

x

t

t

xe

xt

















22

23323

0000

1

sin2

ctanctansincos

2

limlimlimlim

2tan22cos2tttt

tt

ttttttttt

tttttteeee









2

2

22

00

(1cos)~

1cos22

1

limlim

2

66

3tt

x

x

tt

tteee









∴2

1

3

1

lim(tan)n

n

ne

n



★★2.验证极限

x

xx

x

sin

lim





存在，但不能用洛必达法则求出。

知识点：洛必达法则。

思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决

所有的未定型极限问题。

解：∵101)

sin

1(lim

sin

lim



x

x

x

xx

xx

，∴极限

x

xx

x

sin

lim





存在；

若使用洛必达法则，得

x

xx

x

sin

lim





x

x

xx

coslim1

1

cos1

lim







，

而x

x

coslim



不存在，所以不能用洛必达法则求出。

★★★3.若)(xf有二阶导数，证明

2

0

()2()()

()lim

h

fxhfxfxh

fx

h





。

知识点：导数定义和洛必达法则。

思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于h的导数，然后利用导数定义得结论。

证明：∵

2

00

()2()()()()

limlim

2hh

fxhfxfxhfxhfxh

hh







0

()()()()

lim

2h

fxhfxfxfxh

h







//

00

1()()1()()

limlim()

22hh

fxhfxfxhfx

fx

hh









，∴结论成立。

★★★4.讨论函数















,e

,

e

x

xf

x

x

2

1

1

1

]

)1(

[

)(

0

0





x

x

在点0x处的连续性。

知识点：函数在一点连续的概念。

思路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念。

解：∵

1

2

000

1

1

1

1(1)ln(1)

1

limlnlimlim

1

2

00

(1)

lim()lim[]

x

xxx

xxx

x

x

xex

x

x

xx

x

fxeee

e



















0

11

lim

21

x

xe





)0(2

1

fe

，∴)(xf在0x处右连续；

又∵)0()(lim2

1

0

fexf

x





，∴)(xf在0x处左连续；

从而可知，















,e

,

e

x

xf

x

x

2

1

1

1

]

)1(

[

)(

0

0





x

x

在点0x处连续。

★★★5.设)(xg在0x处二阶可导，且0)0(g。试确定a的值使)(xf在0x处可导，并求

(0)f

，其中

()

,0

()

,0

gx

x

fx

x

ax

















。

知识点：连续和可导的关系、洛必达法则。

思路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。

解：要使)(xf在0x处可导，则必有)(xf在0x处连续，

又∵)(xg在0x处(0)0g，∴

x

xg

xfa

xx

)(

lim)(lim

00

)0(

0

)0()(

lim/

0

g

x

gxg

x











；

由导数定义，

0

()(0)

(0)lim

0x

fxf

f

x







2

00

()

(0)

()(0)

limlim

0xx

gx

g

gxgx

x

xx













0

()(0)1

lim(0)

22x

gxg

g

x







。

内容概要

名称主要内容（3.3）

3.3泰

勒公式

泰勒中值定理：如果)(xf在含有

0

x的某个开区间)(a,b内具有1n阶的导数，则对任一

)(a,bx，有2

0

0

//

00

/

0

)(

!2

)(

))(()()(xx

xf

xxxfxfxf

)()(

!

)(

0

0

)(

xRxx

n

xf

n

n

n

，此公式称为n阶泰勒公式；

其中

1

0

)1(

)(

)!1(

)(

)(







n

n

n

xx

n

f

xR



（介于

0

x于x之间），称为拉格朗日型余项；或

])[()(

0

n

n

xxoxR，称为皮亚诺型余项。

n阶麦克劳林公式：

)(

!

)0(

!2

)0(

)0()0()(

)(

2

//

/xRx

n

f

x

f

xffxf

n

n

n



其中

1

)1(

)!1(

)(

)(





n

n

n

x

n

xf

xR



（10）或)()(n

n

xoxR。

常用的初等函数的麦克劳林公式：1）)(

!!2

1

2

n

n

xxo

n

xx

xe

2）)(

)!12(

)1(

!5!3

sin22

1253









n

n

nxo

n

xxx

xx

3）)(

)!2(

)1(

!6!4!2

1cos12

2642

n

n

nxo

n

xxxx

x

4）)(

1

)1(

32

)1ln(1

132









n

n

nxo

n

xxx

xx

5）)(1

1

1

2nnxoxxx

x







6）)(

!

)1()1(

!2

)1(

1)1(2nnmxox

n

nmmm

x

mm

mxx













习题3-3

★1.按)1(x的幂展开多项式43)(24xxxf。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法。求)(xf按)(

0

xx的幂展开的n阶泰勒公式，则依次求)(xf直到1n阶的导

数在

0

xx处的值，然后带代入公式即可。

解：

3()46fxxx



，(1)10f



；

2()126fxx



，f(1)18



；

()24fxx



，(1)24f



；24)()4(xf；24)1()4(f；0)()5(xf；

将以上结果代入泰勒公式，得

(4)

234

(1)(1)(1)(1)

()(1)(1)(1)(1)(1)

1!2!3!4!

ffff

fxfxxxx





432)1()1(4)1(9)1(108xxxx。

★★2.求函数xxf)(按)4(x的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：同1。

解：

1

()

2

fx

x



，

1

(4)

4

f



；

3

2

1

()

4

fxx

，

1

(4)

32

f



；

5

2

3

()

8

fxx

，

3

(4)

256

f



；2

7

4

16

15

)(xxf)(

；将以上结果代入泰勒公式，得

(4)

234

(4)(4)(4)()

()(4)(4)(4)(4)(4)

1!2!3!4!

ffffξ

fxfxxxx





4

2

7

32)4(

128

5

)4(

512

1

)4(

64

1

)4(

4

1

2x

ξ

xxx，（ξ介于x与4之间）。

★★★3.把

2

2

1

1

)(

xx

xx

xf





在0x点展开到含

4x项，并求)0()3(f。

知识点：麦克劳林公式。

思路：间接展开法。)(xf为有理分式时通常利用已知的结论)(1

1

1

2nnxoxxx

x





。

解：

322

2

2

2

1

1

)1(21

1

2

1

1

21

1

1

)(

x

xx

xx

x

xx

xxx

xx

xx

xf





















)(2221))(1)(1(2144233xoxxxxoxxx；

又由泰勒公式知

3x前的系数

(0)

0

3!

f



，从而(0)0f



。

★★4.求函数xxfln)(按)2(x的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，)(xf为对数函数时，通常利用已知的结论

xx)1ln(

)(

1

)1(

32

1

132









n

n

nxo

n

xxx

。

方法一：（直接展开）

1

()fx

x



，

1

(2)

2

f



；

2

1

()fx

x



，

1

(2)

4

f



；

3

2

()fx

x



，

1

(2)

4

f



；

n

nn

x

n

x,f

)!1(

)1()(1)(



，

n

nn

n

f

2

)!1(

)1()2(1)(





；

将以上结果代入泰勒公式，得

(4)

234

(2)(2)(2)(2)

ln(2)(2)(2)(2)(2)

12!3!4!

ffff

xfxxxx

!





n

(n)

x

n

f

)2(

!

)2(

))2((nxo2

3

)2(

2

1

)2(

2

1

2lnxx



3

3

)2(

23

1

x

))2(()2(

2

1

)1(1nn

n

nxox

n





。

方法二：

2)

2

2

(

2

1

2

2

2ln)

2

2

1ln(2ln)22ln(ln)(













xxx

xxxf

2

3

13)2(

2

1

)2(

2

1

2ln))

2

2

(()

2

2

(

1

)1()

2

2

(

3

1













xx

x

o

x

n

x

nnn

))2(()2(

2

1

)1()2(

23

1

13

3

nn

n

nxox

n

x







。

★★5.求函数

x

xf

1

)(按)1(x的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，)(xf为有理分式时通常利用已知的结论

21

2

11

1

1(1)

nn

n

xxxx

x









。

方法一：

2

1

()fx

x



，(1)1f



；

3

2

()fx

x



，(1)2f



；

4

6

()fx

x



，

(1)6f





1

)(

!

)1()(





n

nn

x

n

x,f，!

)1(

!

)1()1(

1

)(n

n

f

n

nn







；

将以上结果代入泰勒公式，得

23

1(1)(1)(1)

(1)(1)(1)(1)

1!2!3!

fff

fxxx

x







n

n

x

n

f

)1(

!

)1()(





1

)1(

)1(

)!1(

)(









n

n

x

n

ξf

nxxxx)1()1()1()1(1321

2

1

)1(

)1(











n

n

n

x

ξ

（ξ介于x与1之间）。

方法二：

nxxxx

xx

)1()1()1()1(1[

)1(1

11

32





])1(

)1(

1

2

1











n

n

n

x

ξ

n32)1()1()1()1(1xxxx1

2

1

)1(

)1(











n

n

n

x

ξ

（ξ介于x与1之间）。

★★6.求函数

xxey的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林展开式。

知识点：麦克劳林公式。

思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。)(xf中含有

xe时，通常利用已知结论

)(

2

1

2

n

n

xxo

n!

x

!

x

xe。

方法一：(1)xyxe



，(0)1y



；(2)xyxe



，(0)2y



；x(n)enx,y)(，

nyn)0()(

，将以上结果代入麦克劳林公式，得

23

(0)(0)(0)(0)

(0)()

1!2!3!!

(n)

xnn

ffff

xefxxxxox

n







!2

3

2

x

xx

)!1(



n

xn

)(nxo。

方法二：







!2

))(

)!1(!2

1(

3

21

12x

xxxo

n

xx

xxxen

n

x

)!1(



n

xn

)(nxo。

★★7.验证当

2

1

0x时，按公式

62

1

32xx

xex计算

xe的近似值时，所产生的误差小于

010.，并求e的近似值，使误差小于010.。

知识点：泰勒公式的应用。

思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。

解：010

192

1

2

1

!4

2

!4!4

)(

4

4

2

1

4

3

.x

e

x

e

xR

ξ

；6460

48

1

8

1

2

1

1.e。

★★8.用泰勒公式取5n，求21ln.的近似值，并估计其误差。

知识点：泰勒公式的应用。

解：设)1ln()(xxf，则

(5)

25

(0)(0)(0)

()(0)

1!2!5!

fff

fxfxxx





2

2x

x

5

5x

，从而18230

5

20

4

20

3

20

2

20

20)20(21ln

5432

.

....

..f.；其

误差为：00001070

6

20

)1(6

1

)(

6

6

6

5

.

.

x

ξ

xR



。

★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限：

（1）)3(lim2

3

3xxxx

x





；（2）

2

22

0sin)(cos

1

2

1

1

lim

2xex

xx

x

x





。

知识点：泰勒展开式的应用。

思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。

解：（1）])

1

1()

3

1([lim)3(lim2

1

3

1

2

2

3

3

x

x

x

xxxxx

xx





))]

1

(

1

2

)1

2

1

(

2

1

)

1

(

2

1

1())]

1

(o

3

3

1

1([lim

2222x

o

x

x

x

xx

x

x









2

1

))

1

(

8

9

2

1

(lim

x

o

xx

。

（2）

2

2

1

22

0

2

22

0)(cos

)1(

2

1

1

lim

sin)cos(

1

2

1

1

lim

22xex

xx

xex

xx

x

x

x

x











12

1

)(

2

3

)(

8

1

lim

)))(1()(

2

1(

)(

2

)1

2

1

(

2

1

2

1

1(

2

1

1

lim

4

4

44

0

2222

2

4422

0





















xo

x

xox

xxoxxo

x

xo)xxx

xx

。

★★10.设0x，证明：)1ln(

2

2

x

x

x。

知识点：泰勒公式。

思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展

开的一部分时，可考虑用泰勒公式。

解：

3

32

)1(3

2

)1ln(

ξ

xx

xx



（ξ介于0与x之间），∵0x，∴0

)1(33

3



ξ

x

，

从而

2

)1(3

2

)1ln(

2

3

32x

x

ξ

xx

xx



，结论成立。

（也可用§3.4函数单调性的判定定理证明之）

★★11.证明函数)(xf是n次多项式的充要条件是0)()1(xfn

。

知识点：麦克劳林公式。

思路：将)(xf按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。

解：必要性。易知，若)(xf是n次多项式，则有0)()1(xfn

。

充分性。∵0)()1(xfn

，∴)(xf的n阶麦克劳林公式为：

2(0)

()(0)(0)

2!

fx

fxffx







3()(1)1(0)(0)()

3!!(1)!

nnnnfxfxfξx

nn







2(0)

(0)(0)

2!

fx

ffx







3(0)

3!

fx





!

)0()(

n

xfnn

，即)(xf是n次多项式，结论成立。

★★★12.若)(xf在][a,b上有n阶导数，且

(1)()()()()()0nfafbfbfbfb



证明在)(a,b内至少存在一点ξ，使)(0)()(bξaξfn。

知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。

思路：证明)(0)()(bξaξfn，可连续使用拉格朗日中值定理，验证)()1(xfn

在][a,b上满足

罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据)(xf在bx处的泰勒展开式及已知条件得结论。

方法一：∵)(xf在][a,b上可导，且)()(bfaf，

∴由罗尔中值定理知，在)(a,b内至少存在一点

1

ξ，使得

1

()0fξ



；

∵()fx



在][][

1

a,b,bξ上可导，且()0fb



，

∴由罗尔中值定理知，在)()(

1

a,b,bξ内至少存在一点

2

ξ，使得

2

()0fξ



；

依次类推可知，)()1(xfn

在][

1

,bξ

n

][a,b上可导，且0)()()1(

1

)1(



bfξfn

n

n

，

∴由罗尔中值定理知，在)()(

1

a,b,bξ

n





内至少存在一点ξ，使得0)()(ξfn

。

方法二：根据已知条件，)(xf在bx处的泰勒展开式为：

(1)()

21

()()()

()()()()()()()

2!(1)!!

nn

nn

fbfbfξ

fxfbfbxbxbxbxb

nn













n

n

bx

n

ξf

)(

!

)()(



)(bξx，

∴)(af

0)(

!

)()(

n

n

ba

n

ξf

，从而得0)()(ξfn

，结论成立。

内容概要

名称主要内容（3.4）

3.4函

数的单

调性与

曲线的

凹凸性

函数单调性的判别法：设)(xfy在][a,b上连续，在)(a,b内可导，则

（1）若在)(a,b内()0fx



，则)(xfy在][a,b上单调增加；

（2）若在)(a,b内()0fx



，则)(xfy在][a,b上单调减少。

1）曲线凹凸性的概念：设)(xf在区间I内连续，如果对I上任意两点

21

,xx，恒有

2

)()(

)

2

(2121

xfxfxx

f







，则称)(xf在I上的图形是凹的；如果恒有

2

)()(

)

2

(2121

xfxfxx

f







，则称)(xf在I上的图形是凸的。

2）拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。

曲线凹凸性的判别法：设)(xf在][a,b上连续，在)(a,b内具有一阶和二阶导数，则

（1）若在)(a,b内()0fx



，则)(xfy在][a,b上的图形是凹的；

（2）若在)(a,b内()0fx



，则)(xfy在][a,b上的图形是凸的。

习题3-4

★1.证明函数)1ln(2xxy单调增加。

知识点：导数的应用。

思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间I上，()0fx



（()0fx



），

则)(xf在I单调增加（减少）。

证明：∵

2

22

2(1)

10

11

xx

y

xx









（仅在1x处0y



），

∴)1ln(2xxy在)(,内是单调增加的。

★2.判定函数)20(sin)(πxxxxf的单调性。

解：∵()1cos0fxx



（仅在πx处()0fx



），

∴)20(sin)(πxxxxf是单调增加的。

★★3.求下列函数的单调区间：

（1）13

3

1

23xxxy；（2）)0(

8

2x

x

xy；（3）

3

2

3

2

xxy；

（4）)1ln(2xxy；（5）xxy)1(；（6）xxyln22。

知识点：导数的应用。

思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域

划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨

论，使得思路更清晰一些。

解：（1）13

3

1

23xxxy的定义域为)(,；令

2230yxx



，

得1

1

x，3

2

x。列表讨论如下：

x

)1(,

1

)31(,

3

)3(,

()fx





0－0



)(xf

↗↘↗

由上表可知，13

3

1

23xxxy在)1(,、)3(,内严格单增，而在)31(,内严格单减。

（2）在)0(,内，令

2

8

20y

x



，得2x；

当)20(,x时，有0y



；当)2(,x时，有0y



；

∴)0(

8

2x

x

xy在)20(,内严格单增，在)2(,内严格单减。

（3）

3

2

3

2

xxy的定义域为)(,；令

1

3

3

3

222(1)

0

33

3

x

yx

x





，

得1x；0x为不可导点。列表讨论如下：

x

)0(,

0

)10(,

1

)1(,

()fx





0－0



)(xf

↗↘↗

由上表可知，

3

2

3

2

xxy在)0(,、)1(,内严格单增，而在)10(,内严格单减。

（4）)1ln(2xxy的定义域为)(,，

222

11

(1)

111

x

y

xxxx







0，

∴)1ln(2xxy在)(,内严格单增。

（5）xxy)1(的定义域为)0[,，∵

3

2

3

()10

2

yxxx



，

∴xxy)1(在)0[,上严格单增。

（6）xxyln22的定义域为)0(,，令

2141

40

x

yx

xx





，得

2

1

x；

当)

2

1

0(,x时，0y



；当)

2

1

(,x时，0y



；

∴xxyln22在)

2

1

0(,内严格单增，在)

2

1

(,内严格单减。

★★4.证明下列不等式：

（1）当0x时，xx1

2

1

1；（2）当4x时，

22xx；

（3）当0x时，xxxarctan)1ln()1(；（4）

2

0

π

x时，

3

3

1

tanxxx。

知识点：导数的应用或者泰勒公式的应用。

思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题3-3第10题），利用函数单调性也是证明不等式常用的

方法。

解：（1）方法一：令xxxf1

2

1

1)(，

则当0x时，

11

()

2

21

fx

x







)

1

1

1(

2

1

x

0，

∴xxxf1

2

1

1)(在)0[,上严格单增；从而0)0()(fxf，

即xx1

2

1

1，结论成立。

方法二：由泰勒公式，得

2

3

2

2

3

2

)1(8

)

)1(8

2

1

1(

2

1

11

2

1

1)(

ξ

x

ξ

x

xxxxxf







（xξ0），

∴0

)1(8

)(

2

3

2







ξ

x

xf，从而得xx1

2

1

1，结论成立。

（2）方法一：令

22)(xxfx，则当4x时，()2ln22xfxx



，

222222()2ln22(4)16ln22(ln4)2(ln)20xfxfe



，

∴()2ln22xfxx



在)4(,内严格单增，

从而()2ln22(4)16ln244(ln161)0xfxxf



，

∴

22)(xxfx在)4(,内严格单增，在)4(,内08)4(2)(2fxxfx

，

∴

22xx，结论成立。

注：利用()fx



的符号判断()fx



的单调性，利用()fx



的单调性判断其在某区间上的符号，从而得出

)(xf在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。

方法二：令xxxfln22ln)(，

当4x时，0

2

1

4ln

2

1

2

1

2ln

2

2ln)(/

x

xf，

∴xxxfln22ln)(在)4(,内严格单增，

∴04ln22ln4)4(ln22ln)(fxxxf，从而有，xxln22ln，

∴

xxeeln22ln，即

22xx，结论成立。

（3）令xxxxfarctan)1ln()1()(，

则当0x时有

2

1

()ln(1)10

1

fxx

x







（仅在0x时，()0fx



），

∴)(xf在)0[,上严格单增，从而有0)0()(fxf，

即xxxarctan)1ln()1(，结论成立。

（4）令xxxgtan)(，则当

2

0

π

x时，有

22()c1tan0gxxx





从而xxxgtan)(在)

2

0(

π

,内严格单增，∴0)0()(gxg，即在)

2

0(

π

,内xxtan；

再令

3

3

1

tan)(xxxxf，

则当

2

0

π

x时，

2222()c1tan0fxxxxx



，

从而

3

3

1

tan)(xxxxf在)

2

0(

π

,内严格单增，∴0)0()(fxf，

即在)

2

0(

π

,内

3

3

1

tanxxx，结论成立。

★★★5.试证方程xxsin只有一个实根。

知识点：导数的应用。

思路：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。

解：易知，00sin，即0x是方程的一个根；

令xxxfsin)(，则()1cos0fxx



（仅在)(2Zkkπx处()0fx



），

∴xxxfsin)(在)(,内严格单增，从而)(xf只有一个零点，

即方程xxsin只有一个实根。

★★6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子：xxxfsin)(。

知识点：导数的应用。

思路：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。

解：单调函数的导函数不一定为单调函数。

∵()1cos0fxx



（仅在)()12(Zkπkx处()0fx



），

∴xxxfsin)(在)(,内严格单增；

而()1cosfxx



在))12(,2(πkkπ内严格单减，在)2,)12((kππk内严格单增，从而在

)(,上不单调。

★★7.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：

（1）)0(

1

x

x

xy；（2）

12



x

x

xy；（3）xxyarctan；

（4）

xexy4)1(；（5）)1ln(2xy；（6）

xeyarctan。

知识点：导数的应用。

思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将

定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可

列表讨论，使得思路更清晰一些。

解：（1）

2

1

1y

x



，

2

2

y

x



，∵当0x时，0y



，

∴

x

xy

1

在)0[,上为凹函数，没有拐点。

（2）

12



x

x

xy的定义域为)1()11()1(,,,；

2

22

1

1

(1)

x

y

x









，

2

23

2(3)

(1)

xx

y

x









，令0y



，得0x；

当1x或10x时，0y



；当01x或1x时，0y



；

∴

12



x

x

xy的凹区间为)01(,、)1(,，凸区间为1),(、1),0(；∴拐点为)00(,。

（3）xxyarctan的定义域为)(,，

2

arctan

1

x

yx

x







，

22

2

0

(1)

y

x







，

∴xxyarctan在整个定义域上为凹函数，没有拐点。

（4）

xexy4)1(的定义域为)(,，