成考数学

成考数学试卷(文史类)题型分类

一、集合与简易逻辑

2001年

(1)设全集M={1,2,3,4,5}，N={2,4,6}，T={4,5,6}，则(MT)N是（）

(A)}6,5,4,2{(B)}6,5,4{(C)}6,5,4,3,2,1{(D)}6,4,2{

(2)命题甲：A=B，命题乙：sinA=sinB.则（）

(A)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件；(B)甲是乙的充分必要条件；

(C)甲是乙的必要条件但不是充分条件；(D)甲是乙的充分条件但不是必要条件。

2002年

（1）设集合}2,1{A，集合}5,3,2{B，则BA等于（）

（A）{2}（B）{1,2,3,5}（C）{1,3}（D）{2,5}

（2）设甲：3x，乙：5x，则（）

（A）甲是乙的充分条件但不是必要条件；（B）甲是乙的必要条件但不是充分条件；

（C）甲是乙的充分必要条件；（D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.

2003年

（1）设集合22(,)1Mxyxy，集合22(,)2Nxyxy，则集合M与N的关系是

（A）MN=M（B）MN=（C）NM（D）MN

（9）设甲：1k，且1b；乙：直线ykxb与yx平行。则

（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件；（B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件；

（C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件；（D）甲是乙的充分必要条件。

2004年

（1）设集合,,,Mabcd，,,Nabc，则集合MN=

（A）,,abc（B）d（C）,,,abcd（D）

（2）设甲：四边形ABCD是平行四边形；乙：四边形ABCD是平行正方，则

（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件；（B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件；

（C）甲是乙的充分必要条件；（D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.

2005年

（1）设集合P=1234,，，，5，Q=2,4,6,8,10，则集合PQ=

（A）24，（B）12,3,4,5,6,8,10，（C）2（D）4

（7）设命题甲：1k，命题乙：直线ykx与直线1yx平行，则

（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件；（B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件；

（C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件；（D）甲是乙的充分必要条件。

2006年

（1）设集合M=1012，，，，N=123，，，则集合MN=

（A）01，（B）012，，（C）101，，（D）10123，，，，

（5）设甲：1x；乙：20xx.

（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件；（B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件；

（C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件；（D）甲是乙的充分必要条件。

2007年

（8）若xy、为实数，设甲：220xy；乙：0x，0y。则

（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件；（B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；

（C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件；（D）甲是乙的充分必要条件。

2008年

（1）设集合A=246，，，B=123，，，则AB=

（A）4（B）1,2,3,4,5,6（C）2,4,6（D）1,2,3

（4）设甲：

1

,:sin

62

xx



乙，则

（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件；（B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；

（C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件；（D）甲是乙的充分必要条件。

二、不等式和不等式组

2001年

(4)不等式53x的解集是（）

(A)}2|{xx(B){|82}xxx或(C)}0|{xx(D)}2|{xx

355>358>282xxxxx或

2002年

（14）二次不等式0232xx的解集为（）

（A）}0|{xx（B）}21|{xx（C）}21|{xx（D）}0|{xx

2003年

（5）、不等式2|1|x的解集为（）

（A）}13|{xxx或（B）}13|{xx（C）}3|{xx（D）}1|{xx

2004年

（5）不等式123x的解集为

（A）1215xx（B）1212xx（C）915xx（D）15xx

2005年

（2）不等式327

4521

x

x





的解集为

（A）(,3)(5,+)（B）(,3)[5,+)（C）(3,5)（D）[3,5)1

2

3

327390

(39)(525)0

452152505

x

xx

xx

xxx



















2006年

（2）不等式31x的解集是

（A）42xx（B）2xx（C）24xx（D）4xx

（9）设,abR，且ab，则下列不等式中，一定成立的是

（A）22ab（B）(0)acbcc（C）

11

ab

（D）0ab

2007年

（9）不等式311x的解集是

（A）R（B）

2

0

3

xxx









或

（C）

2

3

xx









（D）

2

0

3

xx









2008年

（10）不等式23x的解集是

（A）51xxx或（B）51xx（C）15xxx或（D）15xx

(由x2332315xx)

三、指数与对数

2001年

(6)设7.6log

5.0

a，3.4log

2

b，6.5log

2

c，

则,,abc的大小关系为（）

(A)acb(B)bca

(C)cba(D)bac

(

0.5

logax是减函数,>1x时,a为负；

2

logbx是增函数，>1x时a为正.故

0.522

log6.7

2002年

（6）设

a2log

3

，则9log

2

等于（）

（A）

a

1

（B）

a

2

33

2

3

log92log3

2

log9

log2aa









（C）2

2

3

a（D）2

3

2

a

（10）已知

3

104

log)2(

2





x

xf，则)1(f等于（）

（A）

3

14

log

2

（B）

2

1

（C）1（D）22222

4/2102102110

()loglog(1)loglog42

333

xx

fxf



，

（16）函数

2

1

2xy

的定义域是1xx。1

2

1

20log21

2

xxx









2003年

（2）函数51-xyx（）的反函数为

（A）

5

log(1),(1)yxx（B）15,()xyx

（C）

5

log(1),(1)yxx（D）151,()xyx

555

5

5151log5log(1)log(1)

log(1)10,1

xx

xy

yyxyxy

yxxx









按习惯自变量和因变量分别用和表示定义域：；

（6）设01x，则下列不等式成立的是

（A）2

0.50.5

loglogxx

（B）222xx（C）2sinsinxx（D）2xx

0.5

logbx

2

logbx

x

b

a

b

c

22yx

2xy

0.5

logyX

sinyx

2sinyx

x

y

（8）设4

5

log22

4x

，则x等于

（A）10（B）（C）2（D）4

[

415

4

444

5

lg2

555

4

log22=log22log2lglg2lglg22

lg444xxx

xxx

x

（），，，]

2004年

（16）

2

3

2

1

64log=

16

122

2

342

3

3

22

1

64log4log24412

16











2005年

（12）设0m且1m，如果

log812

m

，那么log3

m



（A）

1

2

4

1111

log3log3log812

4442mmm









（B）

1

2

（C）

1

3

（D）

1

3



2006年

（7）下列函数中为偶函数的是

（A）2xy（B）2yx（C）

2

logyx（D）2cosyx

（13）对于函数3xy，当0x时，y的取值范围是

（A）1y（B）01y（C）3y（D）03y

（14）函数2

3

()log(3)fxxx

的定义域是

（A）(,0)(3,+)（B）(,3)(0,+)（C）(0,3)（D）(3,0)

223>03<003xxxxx

（19）

1

2

2

log816=

1

1

3

2

222

log816log243log24341









2007年

（1）函数lg-1yx（）的定义域为

（A）R（B）0xx（C）2xx（D）1xx

（2）

0

44

1

lg8lg2=

4









（A）3（B）2（C）1

0

31

22

4444

131

lg8lg2=lg4lg41=1=1

422

















（D）0

（5）

2xy的图像过点

（A）

1

(3,)

8

（B）

1

(3,)

6

（C）(3,8)（D）(3,)

2

2

01

22

2

22

0.50.50.5

B

C

D

A

2(0,2)

2>2

(1,2)

2

01,sin

01

01,logloglog

x

x

x

yx

x

y

xxxxx

xxx

xxxXxx



































为增函数值域

排除（）；

值域

为增函数

排除（）；

排除（）；

为减函数，故选（）

，

，

，

，

（15）设1ab，则

（A）log2log2

ab

（B）

22

loglogab（C）

0.50.5

loglogab（D）log0.5log0.5

ba



2008年

（3）0

2

1

log4()=

3



（A）9（B）3（C）2（D）102

22

1

log4()=log21=21=1

3









（6）下列函数中为奇函数的是

（A）

3

logyx（B）3xy（C）23yx（D）3sinyx

（7）下列函数中，函数值恒大于零的是

（A）2yx（B）2xy（C）

2

logyx（D）cosyx

（9）函数

lg3-yxx

的定义域是

（A）（0，∞）（B）（3，∞）（C）(0，3]（D）（∞，3]

[由lgx得>0x，由

3-x

得3x，03=0<3xxxxxx故选（C）]

（11）若1a，则

（A）

1

2

log0a（B）

2

log0a（C）10a（D）210a

11

22

1

1

2

loglog,,0A

1

log0A

2

y

a

yayay

yaay























分析①：故选

分析②：是减函数，由的图像知在点（10）右边，故选（）

设，，（）

四、函数

2001年

(3)已知抛物线

22axxy的对称轴方程为1x,则这条抛物线的顶点坐标为（）

(A))3,1((B))1,1((C))0,1((D))3,1(

0

0

22

0

1,

=12

2

4(2)(2)4(2)

3

44

x

a

xa

a

y























x

y

1.3

logyx

2

logyx

0.5

logyx

0.77

logyx

330.30.3

0.40.30.40.3

()()

[(1,0)][(1,0)]

()()

.loglogloglog

.

.

loglogloglog

0.50.4,45;

0.5>0.5,5<

数数

点的左边点的右边

函数函数

①同底异真对数值大小比较：

增函数真大对大，减函数真大对小如

②异底同真对数值大小比较：

同性时：左边底大对也大，右边底大对却小

异性时：左边减大而增小，右边减小而增大

如

0.4343

343434

loglogloglog

loglogloglogloglog

5;0.5>0.5,5<5

lg2lg2lg2lg2

68(61,81,68)

lg3lg4lg3lg4



③异底异真对数值大小比较：

同性时：分清增减左右边，去同剩异作比较.

异性时：不易不求值而作比较，略.

如：

(7)如果指数函数xay的图像过点)

8

1

,3(，则a的值为（）

(A)2(B)2(C)

2

1

(D)

2

1

(10)使函数)2(log2

2

xxy为增函数的区间是（）

(A)),1[(B))2,1[(C)]1,0((D)]1,(

(13)函数

2

655

)(

x

xf

xx





是（）

(A)是奇函数(B)是偶函数

(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数又不是偶函数

(16)函数)34(log

3

1

xy的定义域为____________。

(21)(本小题11分)假设两个二次函数的图像关于直线1x对称，其中一个函数的表达式为

122xxy,求另一个函数的表达式。

解法一函数

122xxy的对称轴为1x，

顶点坐标:

0

=1x，

2

0

241(1)

2

441

y

a







设函数2yxbxc



与函数122xxy关于1x对称，则

函数2yxbxc



的对称轴3x





顶点坐标:

0

=3x



，

0

2y





由

02

b

x

a





得：

0

22136bax



，

由

2

00

4

4

bac

yy

a







得：

2

2

0

4

4(2)6

7

44

ayb

c

a









所以，所求函数的表达式为267yxx





解法二函数

122xxy的对称轴为1x，所求函数与函数122xxy关于1x对称，则

所求函数由函数

122xxy向

x

轴正向平移4个长度单位而得。

设

00

(,)Mxy是函数122xxy上的一点，点(,)Nxy是点

00

(,)Mxy的对称点，则

x

y

(0,1]

1

3

log(43)0

3

0<4313<441

4

x

xxx

















减函数，真数须在之间，对数才为正

x

y

22

2

2

2

202002

2

2

1

22(1)

(01]log(2).

xxxxx

yxx

b

x

a

yxx

























开口向下，对称轴为：

为增区间

∵

∴，的

2

2

log(2)yxx

2=2yxx

2

000

21yxx，0

0

4xx

yy











，将0

0

4xx

yy











代入2

000

21yxx

得:267yxx.即为所求。

(22)(本小题11分)某种图书定价为每本

a

元时，售出总量为b本。如果售价上涨x%，预计售出总量将

减少0.5x%，问x为何值时这种书的销售总金额最大。

解涨价后单价为(1)

100

x

a元/本，售量为

0.5

(1)

100

x

b本。设此时销售总金额为y，则：

20.50.50.5

=(1)(1)=(1)

10

xxxx

yabab，令

0.5

=()=0

10010000

x

yab



，得50x

所以，50x时，销售总金额最大。

2002年

（9）若函数)(xfy在],[ba上单调，则使得)3(xfy必为单调函数的区间是（）

A．]3,[baB．]3,3[baC．]3,3[baD．],3[ba

()(3)()(3)

(3)()3

()(3)3-3;

()(3)3-3.

(3)[3,

yfxyfxyfxyfx

fxyfx

fafxxaxa

fbfxxbxb

yfxab











因与对应关系相同，故它们的图像相同；因与的

自变量不同，故它们的图像位置不同，的图像比左移个长度单位.

因时，必有，即

时，必有，即

所以，的单调区间是3]

















（10）已知

3

104

log)2(

2





x

xf，则)1(f等于（）

（A）

3

14

log

2

（B）

2

1

（C）1（D）2

2222

4/2102102110

()loglog,(1)loglog42

333

xx

fxf











，

（13）下列函数中为偶函数的是（）

（A）)1cos(xy（B）xy3（C）2)1(xy（D）xy2sin

（21）（本小题12分）已知二次函数23yxbx的图像与

x

轴有两个交点，且这两个交点间的距离

为2，求b的值。

解设两个交点的横坐标分别为

1

x和

2

x，则

1

x和

2

x是方程23=0xbx的两个根，

得：

12

xxb，

12

3xx

又得：22

2

12121212

4122xxxxxxxxb，b=4

（22）（本小题12分）计划建造一个深为4m，容积为31600m的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造

价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？

解设池底边长为

x

、y，池壁与池底造价的造价之和为

u

，则

1600

400

4

xy，

400

y

x



400400

40204(22)40400204(22)16000160()uxyxyxx

xx



2

20

16000160()40x

x









故当

20

0x

x

，即当20x时，池壁与池底的造价之和最低且等于：

400400

16000160()16000160(20)22400()

20

ux

x

元

答：池壁与池底的最低造价之和为22400元

2003年

（3）下列函数中，偶函数是

（A）33xxy（B）233yxx（C）1sinyx（D）tanyx

（10）函数3221yxx在1x处的导数为

（A）5（B）2（C）3（D）42

11

(62)624

xx

yxx











（11）2lg(1)yxx的定义域是

（A）1xx（B）2xx（C）12xxx或（D）

（17）设函数2(-1)22fttt，则函数2()1fxx

（20）（本小题11分）设()fxax，

()

b

gx

x



，

1

(2)g()=8

2

f•

，

11

()g(3)=

33

f

，求ab、的值.

解依题意得：

1

(2)()228

2

11

()(3)

3333

fgab

ab

fg



••











，

•2

1

ab

ab











即

①

②

，12

12

21

12

aa

bb













解得，

（21）（本小题12分）设22()2fxxaxa满足(2)()ffa，求此函数的最大值.

解依题意得：

2222442aaaaa，即240aa，得：

12

2aa

222()44(44)(2)8fxxxxxx

，

可见，该函数的最大值是8（当2x时）

2004年

（10）函数3()sinfxxx

（A）是偶函数（B）是奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）既不是奇函数也又是偶函数

（15）3()3fxx，则(3)=f



（A）27（B）18（C）16（D）12

（17）5sin12cosyxx13

5125

13(sincos)13(sincoscossin)=sincos=

131313

yxxxxx









（），，

（20）（本小题满分11分）设函数()yfx为一次函数，(1)=8f，(2)=1f，求(11)f

解依题意设()yfxkxb，得(1)8

(2)21

fkb

fkb





，得3

5

k

b





，()35fxx，(11)=38f

222lg(1)011201212xxxxxxxxxxx







或或

x

y

（22）（本小题满分12分）在某块地上种葡萄，若种50株，每株产葡萄70kg；若多种一株，每株减产1kg。

试问这块地种多少株葡萄才能使产量达到最大值，并求出这个最大值.

解设种

x

（50x）株葡萄时产量为S，依题意得

270-(-50)120Sxxxx

，

0

120

60

221

b

x

a



（）

，2

0

S=1206060=3600(kg)

所以，种60株葡萄时产量达到最大值，这个最大值为3600kg.

2005年

（3）设函数2()1fxx，则(2)fx

（A）245xx（B）243xx（C）225xx（D）223xx

（6）函数1yx的定义域是

（A）1xx（B）1xx（C）1xx（D）11xxx或

1011111xxxxx即：或，

（9）下列选项中正确的是

（A）sinyxx是偶函数（B）sinyxx是奇函数

（C）sinyxx是偶函数（D）sinyxx是奇函数

（18）设函数()fxaxb，且

5

(1)

2

f，(2)4f，则(4)f的值为7

注：

53

33

(1)

()1(4)417

22

22

(2)241

faba

fxxf

fabb

















（23）（本小题满分12分）

已知函数2

1

25yxx

的图像交y轴于A点，它的对称轴为l；函数

2

1xyaa（）

的图像交y轴

于B点，且交l于C.

（Ⅰ）求ABC的面积

（Ⅱ）设3a，求AC的长

解（Ⅰ）2

1

25yxx

的对称轴方程为：

2

1

22

b

x

a





依题意可知ABC、、各点的坐标为A(0,5)、B(0,1)、C(1,)a

得：22AB=(00)(51)=4

在ABC中，AB边上的高为1（1x），因此，

ABC

1

S=41=2

2



（Ⅱ）当3a时，点C的坐标为C（1，3），故22AC=(0)(5)=5

2006年

（4）函数223yxx的一个单调区间是

（A）0,（B）1,（C）,2（D）,3

（7）下列函数中为偶函数的是

（A）

2xy（B）2yx（C）

2

logyx（D）2cosyx

C

A

B

l2

3xy

2

1

25yxx

x

y

（8）设一次函数的图像过点（1，1）和（2，0），则该函数的解析式为

（A）

12

33

yx（B）

12

33

yx（C）21yx（D）2yx

112

112

110112

3(1)1

11(2)333

yyyy

y

yxyx

xxxxx















（10）已知二次函数的图像交

x

轴于（1，0）和（5，0）两点，则该图像的对称轴方程为

（A）1x（B）2x（C）3x（D）4x

（17）已知P为曲线3yx上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是

（A）320xy（B）340xy（C）320xy（D）320xy

2

11

33,(1,1),13(1)320

xx

kyxPyxxy











点的坐标：

（20）直线

32yx

的倾斜角的度数为60

180<0,tan323,arctan360yx













2007年

（1）函数lg-1yx（）的定义域为

（A）R（B）0xx（C）2xx（D）1xx

（5）2xy的图像过点

（A）

1

(3,)

8

（B）

1

(3,)

6

（C）(3,8)（D）(3,)

（6）二次函数245yxx图像的对称轴方程为

（A）2x（B）1x（C）0x（D）1x

（7）下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是

（A）

2

1

()

1

fx

x





（B）2()fxxx（C）()cos

3

x

fx（D）

2

()fx

x



2

22()()

(B)()()()

()

fxxx

fxxxxx

fx

















（10）已知二次函数2yxpxq的图像过原点和点(40)，，则该二次函数的最小值为

（A）－8（B）－4（C）0（D）12

22

min

0

(0,0)(4,0)4(2)44

16404

q

yxxxy

pp

















函数图像过和

（18）函数2yxx在点(1,2)处的切线方程为31yx

11

(21)3,2(1)31

xx

kyxykxyx









（21）设2

1

()

24

x

fxx，则()fx22xx22

1

()(2)22

4

fxxxxx









2008年

（5）二次函数222yxx图像的对称轴方程为

（A）1x（B）0x（C）1x（D）2x

（6）下列函数中为奇函数的是

（A）

3

logyx（B）3xy（C）23yx（D）3sinyx

（7）下列函数中，函数值恒大于零的是

（A）2yx（B）2xy（C）

2

logyx（D）cosyx

（8）曲线21yx与直线ykx只有一个公共点，则k=

（A）2或2（B）0或4（C）1或1（D）3或7

（9）函数

lg3-yxx

的定义域是

（A）（0，∞）（B）（3，∞）（C）(0，3]（D）（∞，3]

[由lgx得>0x，由

3-x

得3x，03=0<3xxxxxx故选（C）]

（13）过函数

6

y

x

上的一点P作x轴的垂线PQ，Q为垂足，O为坐标原点，则OPQ的面积为

（A）6（B）3（C）12（D）1

[设Q点的坐标为

x

，则

Q

116

3

22OP

Syxx

x

]

五、数列

2001年

(11)在等差数列

n

a中，8

5

a，前5项之和为10，前10项之和等于（）

(A)95(B)125(C)175(D)70

注：1555

5

5()5(4)

5(848)

S====10

222

aaada

d





，=3d

106555

10555

5()5(5+)5(26)

5(2863)

S=S=S=S=10=95

2222

aaadadad





(23)(本小题11分)设数列

n

a，

n

b满足1

1

a，0

1

b且

nn

nn

n

n

ba

ba

b

a

2

32

1

1

















,......3,2,1n。

(i)求证

nn

ba3和nn

ba3都是等比数列并求其公比；

(ii)求

n

a，

n

b的通项公式。

证(i)





11

-1-1

1272923

014432

nnn

nnn

aab

bab















：，，，，，

：，，，，



nn

ba3:3

nn

ab，，，，，



nn

ba3:3

nn

ab，，，，，

可见

nn

ba3与nn

ba3的各项都不为0.

11

3=23323=2+3323=2+33

nnnnnnnnnn

ababababab







11

3

==2+3

3

nn

nn

ab

q

ab







，所以，

nn

ba3是等比数列且其公比为=2+3q

11

3=23323=23323=233

nnnnnnnnnn

ababababab





2yx

2yx

x

y

2

22

2

2

2

121

1

221,2

2

yxyxyx

yx

y

yxyxxky

x

yx

































的切线就与只有一个公共点，

11

3

=23

3

nn

nn

ab

ab









所以，3

nn

ab是等比数列且其公比为=23q

(ii)由1

1

n

n

aaq得

n1

n1

3=(23)

3=(23)

nn

nn

ab

ab



















，得：

n1n1

n1n1

1

=(23)(23)

2

3

=(23)(23)

6

n

n

a

b



























2002年

（12）设等比数列}{

n

a的公比2q，且

24

8aa•，则

71

aa•等于（）

（A）8B．16（C）32（D）64

322

2

17424

•8232

a

aaaqaaq

q

（）

（24）（本小题12分）数列}{

n

a和数列}{

n

x的通项公式分别是

22

12

12

2





nn

n

a

n

，

2

12

(1)1

nn

xnaaa。

（Ⅰ）求证{}

n

x是等比数列；

（Ⅱ）记

nn

xxxS

21

，求

n

S的表达式。

证（Ⅰ）因>0

n

a，2(1)1>n，故}{

n

x为正数列。当n>2时

222

12

2

222

1

121

2

2

2

2

(1)1(1)1(1)1

21

===21

22

111

(1)1

1

=2=2

22

1

n

n

n

n

n

naaann

x

n

a

x

nn

naaann

n

n

nn

n























可见

}{

n

x的公比是常数2，故}{

n

x是等比数列。

（Ⅱ）由

1

3

5212

5

x，

1

2n

n

x

q

x



得：

3

1

12

32332

(1)

2(12)

2(21)(21)(21)(22)

1

12

2222(2)(2)222

n

n

nn

nn

nnnn

aq

Sxxx

q















2003年

（23）已知数列

n

a的前

n

项和23

nn

Sa.

（Ⅰ）求

n

a的通项公式，

（Ⅱ）设

2

n

n

n

na

b，求数列

n

b的前n项和.

解（Ⅰ）当1n时，

111

23aSa，故

1

3a，

当2n时，

-111

23(23)22

nnnnnnn

aSSaaaa



，

故

1

2

nn

aa



，1

11

2

2nn

nn

aa

q

aa





，所以，11

1

32nn

n

aaq

（Ⅱ）

1323

2

22

n

n

n

nn

na

nn

b



，

∵

1

3

2

3(1)1

2

n

n

n

b

n

q

bnn







，∴

n

b

不是等比数列

∵

1

3(1)

33

222nn

n

n

dbb





，∴

n

b

是等差数列



n

b

的前n项和：1

33

()

()

3

22

(1)

224

n

n

nn

bbn

n

Sn







2004年

（7）设

n

a为等差数列，

5

9a，

15

39a，则

10

a

（A）（B）（C）（D）

1510515

1

9,2182,()24

2

aadaaadaaaaaaa









是的等差中项，和

（23）（本小题满分12分）设

n

a为等差数列且公差d为正数，

234

15aaa，

2

a，

3

1a，

4

a成

等比数列，求

1

a和d.

解由

2343

315aaaa，得

3

5a，

24

10aa①

由

2

a，

3

1a，

4

a成等比数列，得22

243

(1)(51)16aaa②

由24

24

10

16

aa

aa











①

②

，得1

2

2

23

2

8(,)

a

aa















大于舍去

，32

12

523

231

daa

aad











2005年

（13）在等差数列

n

a中，

3

1a，

8

11a，则

13

a

（A）（B）（C）（D）22

83133

831381331383

(83)1511,2,(133)110110221

2==2=2111=21

aadddaadd

aaaaaaaaa











或者这样解：是的等差中项和，+，

（22）（本小题满分12分）已知等比数列

n

a的各项都是正数，

1

2a，前3项和为14。求：

（Ⅰ）数列

n

a的通项公式；

（Ⅱ）设

2

log

nn

ba，求数列

n

b的前20项之和。

解（Ⅰ）

3

32

1

3

(1)

2(1)2(1)(1)

14

111

aq

qqqq

S

qqq









，

得26qq，1

2

,

2

3()

q

q











不合题意舍去

，所以，11

1

222nnn

n

aaq

（Ⅱ）

22

loglog2n

nn

ban

，

数列

n

b的前20项的和为

20

(120)20

12320210

2

S





2006年

（6）在等差数列

n

a中，

3

1a，

5

7a，则

7

a

（A）11（B）13（C）15（D）17



5375

(73)127,4,272(4)=15aadddaad

（22）（本小题12分）已知等比数列

n

a中，

3

16a，公比

1

2

q。求：

（Ⅰ）数列

n

a的通项公式；

（Ⅱ）数列

n

a的前7项的和。

解（Ⅰ）2

31

aaq，

2

1

1

=16

2

a









，

1

=64a，

1

17617

1

1

642222

2

n

nnnn

n

aaq













（Ⅱ）

7

7

1

7

1

641

2

(1)

11

1281=1281127

1

12128

1

2

naq

S

q







































2007年

（13）设等比数列

n

a的各项都为正数，

1

1a，

3

9a，则公比q

（A）3（B）2（C）－2（D）－3

（23）（本小题满分12分）已知数列

n

a的前n项和为(21)

n

Snn,

（Ⅰ）求该数列的通项公式；

（Ⅱ）判断

39

n

a是该数列的第几项.

解（Ⅰ）当2n时，

-1

(21)(1)2(1)141

nnn

aSSnnnnn

当1n时，

11

1(211)3aS，满足41

n

an，

所以，

41

n

an

（Ⅱ）

4139

n

an，得10n.

2008年

（15）在等比数列

n

a中,

2

=6a，

4

=24a，

6

=a

（A）8（B）24（C）96

2

2

2

4

2646

2

24

96

6

a

aaaa

a









（D）384

（22）已知等差数列

n

a中，

1

9a，

38

0aa

（Ⅰ）求等差数列的通项公式

（Ⅱ）当

n

为何值时，数列

n

a的前

n

项和

n

S取得最大值，并求该最大值

解（Ⅰ）设该等差数列的公差为d，则

31

2aad，

81

7aad，

38111

27290aaadadad

将

1

9a代入

1

290ad得：2d，

该等差数列的通项公式为

1

(-1)9(-1)(2)112

n

aandnn

（Ⅱ）数列

n

a的前

n

项之和

2

1

()

(9112)

10

22

n

n

naa

nn

Snn







1020

n

Sn



令，5n，2

max5

(10)25

nn

Snn





六、导数

2001年

(22)(本小题11分)某种图书定价为每本

a

元时，售出总量为b本。如果售价上涨

x

%，预计售出总量将

减少0.5x%，问

x

为何值时这种书的销售总金额最大。

解涨价后单价为(1)

100

x

a元/本，售量为

0.5

(1)

100

x

b本。设此时销售总金额为y，则：

20.50.50.5

=(1)(1)=(1)

10

xxxx

yabab,令

0.5

=()=0

10010000

x

yab



，得50x

所以，50x时，销售总金额最大。

2002年

（7）函数21

3

2

yxx

的最小值是

（A）

5

2



（B）

7

2



（C）3（D）4

2

min

1117

21,,23

2222

yxxy











（）（）

（22）（本小题12分）计划建造一个深为4m，容积为31600m的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造

价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？

解设池底边长为x、y，池壁与池底造价的造价之和为u，则

1600

400

4

xy，

400

y

x



2

2

400400

40204(22)40400160()16000160()160(1)

400

1020(20)u=

uxyxyxyxu=

x

x

xx

x







令0，得舍去

，

，

min20

400400

16000160()16000160(20)22400()

20x

ux

x









元

答：池壁与池底的最低造价之和为22400元

2003年

（10）函数3221yxx在1x处的导数为

（A）5（B）2（C）3（D）42

11

(62)4

xx

yxx











2004年

（15）3()3fxx，则(3)=f



（A）272

3

(3)327

x

fx





（B）18（C）16（D）12

2005年

（17）函数(1)yxx在2x处的导数值为5

22

(21)5

xx

yx









（21）求函数33yxx在区间[0,2]的最大值和最小值（本小题满分12分）

解令22333(1)3(1)(1)0yxxxx



，得

1

1x，

2

1x（不在区间[0,2]内，舍去）

33

012

0,1312,2322

xxx

yyy





可知函数33yxx在区间[0,2]的最大值为2，最小值为2.

2006年

（17）已知P为曲线3yx上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是

（A）320xy（B）340xy（C）320xy（D）320xy

2

11

33,(1,1),13(1)320

xx

kyxPyxxy











点的坐标：

2007年

（12）已知抛物线24yx上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为

（A）

44

55

或（B）

55

44

或

（C）11或（D）

33或

22

1

24=,5441

2

y

ypxyxpxpxyk

x









由和得2

（18）函数2yxx在点（1，2）处的切线方程为31yx

［

1

1

(21)3

x

x

kyx







，2(1)ykx，即31yx］

2008年

（8）曲线21yx与直线ykx只有一个公共点，则k

（A）2或2（B）0或4（C）1或1（D）3或7

（25）已知函数425fxxmx（），且224f



（）

（Ⅰ）求

m

的值

（Ⅱ）求fx（）在区间22，上的最大值和最小值

解（Ⅰ）342fxxmx



（），32422224fm



（），2m

（Ⅱ）令3342=440fxxmxxx



（），得：

1

0x，

2

1x，

3

1x

=5f（0），1=125=4f（），=125=4f（1），=1685=13f（-2），=1685=13f（2）

所以，fx（）在区间22，上的最大值为13，最小值为4.

七、平面向量

2001年

(18)过点(2,1)且垂直于向量(1,2)a的直线方程为20xy。

1

(1,2)21(2)

2

kkykx











所在直线的斜率与垂直的直线的斜率所求直线，，aa

2002年

（17）已知向量

(3,4)a

，向量b与a方向相反，并且

||10b

，则b等于

(6,8)b

。

解设(,)bxy，因向量b与a方向相反（一种平行），故

34

xy

，即43xy①，

22•34||||cos180341050abxyab②

将①与②组成方程组：

43

34=50

xy

xy











①

②

，解得：

6

8

x

y











，故

(6,8)b

也可这样简单分析求解：

因

||5a

，

||10b

，

||b

是||a的二倍，b与a方向相反，故

2=2(3,4)=(6,8)ba

2003年

(13)已知向量

a

、b满足||=4a，||=3b，

=30a,b

，则=•ab

（A）

3

（B）

63=cos=43cos30=63



••



ababa,b（C）6（D）12

2004年

（14）如果向量(3,2)a，(1,2)b，则(2)()•a+ba-b等于

（A）28（B）20（C）24（D）10

2=2(3,2)=(6,4),2=(6,4)+(1,2)=(5,2)=(3,2)(1,2)=(4,4)

(2)()=(5,2)(4,4)=28







•



，aa+bab

a+bab

2yx

2yx

x

y

2

22

2

2

2

121

1

221,2

2

yxyxyx

yx

y

yxyxxky

x

yx

































的切线就与只有一个公共点，

2005年

（14）已知向量a,b满足3a，4b，且

a

和b的夹角为120，则•ab

（A）

63

（B）

63

（C）（D）6

2006年

（3）若平面向量(3,)xa，(4,3)b，ab，则

x

的值等于

（A）1（B）2（C）3（D）434(3)0,4xx

2007年

（3）已知平面向量

AB=(2,4)

，

AC=(1,2)

，则BC=

（A）(3,6)（B）(1,2)（C）(3,6)(1,2)(2,4)=(3,6)（D）(2,8)

2008年

（18）若向量2x（，）a，23（，）b，//ab，则

x

4

3



24

,

223

x

x











八、三角的概念

2001年

(5)设角的终边通过点512P（，），则sincot等于（）

(A)

13

7

(B)

13

7

(C)

156

79

(D)

156

79



22

5121251279

cot=,sin==,cotsin==

(5)12















（5）已知

5

1

cossin，

7

sincos

5

，则tan等于（）

（A）

3

4

（B）

4

3

（C）1（D）－1

18

8

sincos2sin=

2sin4

5

55

,,tan===

76

2cos63

sincos2cos=

5

55





































得

得

①①+②：

②①-②：

2003年

（4）已知<<

2



，则24sinsin=

（A）sinco（B）sinco（C）sin2（D）sin2

242222

24

sincos(sincos>0)

sinsin=sin1sin=sincos=sincos=

sincos,(sincos<0)

<<,sin>0,cos<0,sincos<0,sinsin=sincos

2



































，时

（）

时

∵∴∴

2007年

（11）设

1

sin=

2

，为第二象限角，则

cos=

（A）

3

2



=150

cos150=













（B）

2

2

（C）

1

2

（D）

3

2

九、三角函数变换

2002年

（3）若]2,[x，

2

3

cosx，则x等于（）

（A）

6

7

（B）

3

4

（C）

3

5

（D）

6

11



[,2]

2150()

37

arccos()=210210

21806

2210()

x

xnx

xx

xnx



































在第二象限时

在第三象限时

2003年

（19）函数cos3sin3yxx的最大值是2

222

maxsin61

cos3sin32cos3sin31sin6,=1sin6,2

x

yxxxxxyxyy









2004年

（9）sincos=

1212



（A）

1

2

（B）

1

4

11

sin

264











原式（C）

3

2

（D）

3

4

（17）函数5sin12cosyxx的最小值为13

5125

13(sincos)13(sincoscossin)=sincos=

131313

yxxxxx









（），

2005年

（10）设(0,)

2



，

3

cos=

5

，则sin2=

（A）

8

25

（B）

9

25

（C）

12

25

（D）

24

25

2

2

3324

(0,),sin>,sin2=2sincos=21coscos=21=

25525





















∵∴0

2006年

（）在ABC中，C=30，则cosAcosBsinAsinB的值等于

（A）

1

2

（B）

3

2

（C）

1

2

（D）

3

2



22

=cosAcos(150A)sinAsin(150A)

=cosA(cos150cosAsin150sinA)sinA(sin150cosAcos150sinA)

3

=cosAcos150sinAcos150=cos150=

2























原式

2007年

（19）

sin(45)coscos(45)sin

的值为

sin(45)coscos(45)sin=sin(45)=sin45





十、三角函数的图像和性质

2001年

(14)函数

xxy3sin33cos

的最小正周期和最大值分别是（）

(A)

2

1

3



，(B)

2

2

3



，(C)22，(D)21，

13

cos33sin3=2(cos3sin3)=2(sincos3cossin3)=2cos(3)

22

2213

sincoscos(3)=1

322

yxxxxxxx

Tx

























当时函数取得最大值，，，，2

2005年

（4）函数sin

2

x

y的最小正周期是

（A）8（B）4

2

4

1/2

T













（C）2（D）



（20）（本小题满分11分）

（Ⅰ）把下表中

x

的角度值化为弧度值，计算tan-sinyxx的值填入表中：

x

的角度值

x

的弧度值

10



tan-sinyxx

(精确到

（Ⅱ）参照上表中的数据，在下面的直角坐标系中画出函数tan-sinyxx在区间0

4









，上的图像

解（Ⅰ）

x

的角度值

x

的弧度值0

20



10

3

20



5



4



tan-sinyxx

(精确到

0

（Ⅱ）

20



10

3

20



4



5



/xrad

y

0

0.1

0.2

0.3

20



10

3

20



4



5



/xrad

y

0

0.1

0.2

0.3

2006年

（18）函数sin2yx的最小正周期是

2007年

(4)函数

1

sin

3

yx的最小正周期为

（A）

3



（B）2（C）6（D）8

2008年

（2）函数ycos

3

x

的最小正周期是

（A）6（B）3（C）2（D）

3



十一、解三角形

2001年

(20)(本小题11分)在ABC中，已知45A，30B，AB=23.26，求AC（用小数表示，

结果保留到小数点后一位）。

解

ABAC

=

sinCsinB

，

23.26AC

=

sin(1804530)sin30

，

23.26sin30

AC=12.0

sin75



2002年

（20)（本小题11分）在ABC中，已知60A，且

2BCAB

，求sinC（精确到0.001）。

解

ABBC

=

sinC

sin60

ABAB33

sinC=sin60==0.612

BC2

2AB22



2003年

（22）（本小题12分）

如图，某观测点B在A地南偏西10方向，由A地出发有一条走向为南偏东12的公路，由观测点B发

现公路上距观测点10km的C点有一汽车沿公路向A驶去，到达D点时，测得90DBC，10BDkm，

问汽车还要行驶多少km才可到达A地（计算结果保留两位小数）

解101222BAD

∵90DBC，BCBD，

∴BCD是等边直角三角形，45BDC

452223ABDBDCBAD

10

sinsin2310.43()

sin

sin22

BD

ADABDkm

BAD





答：为这辆汽车还要行驶10.43km才可到达A地

2004年

（21）（本小题满分12分）已知锐角ABC的边长AB=10，BC=8，面

积S=32.求AC的长（用小数表示，结果保留小数点后两位）

A

B

C

60

2AB

A

东

D

C

B

北

10

12

10km

10km

A

B

C

2

22222

11

S=ABBCsinB=108sinB=32

22

443

sinB=cosB=1sinB=1=

555

3

AC=ABBC2ABBCcosB=1082108=68

5

AC=688.25

••









•



2

得：

，

，

解

2006年

（23）（本小题12分）已知在ABC中，BAC=60，边长AB=5，AC=6.

（Ⅰ）求BC的长

（Ⅱ）求ABAC•值

22

22

BC=ABAC2ABACcosBAC

=56256cos60=31





（Ⅰ）解

（Ⅱ）ABAC=ABACcosBAC=56cos60=15••

2007年

（22）（本小题满分12分）已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，1）、B（1，0）、C（3，0），求

（Ⅰ）B的正弦值；

（Ⅱ）ABC的面积.

解（Ⅰ）B=45，

2

sinB=sin45=

2



（Ⅱ）ABC的面积

ABC

1

S=21=1

2



2008年

（20）在ABC中，若

1

sinA=

3

，C=150，BC=4，则AB=

sin4sin150

,6

1

sinsinsin

3

BCABBCC

AB

ACA













（23）如图，塔PO与地平线AO垂直，在A点测得塔顶P的仰角45PAO，沿AO方向前进至B点，

测得仰角60PBO，A、B相距44m，求塔高PO。（精确到0.1m）

解由已知条件得：30BPO，AOPO，

3

tantan30

3

BOPOBPOPOPO

3

44

3

ABAOBOPOBOPOPO

44

104.1()

3

1

3

POm



十二、直线

2001年

A

60

C

B

5

6

A

BC

12

3

1

0

x

y

P

O

B

A

C

B

A

(18)过点21（，）且垂直于向量(1,2)a的直线方程。

(,)(2,1)(2,1)(1,2)=020xyxyxyxy设在所求直线上取点得向量则，，，即：，bab

2002年

（4）点P(3,2)关于y轴的对称点的坐标为（）

（A）)2,3(（B）(3,2)（C）)2,0(（D）)2,3(

（18）在

x

轴上截距为3且垂直于直线02yx的直线方程为。

2(2)

11

20,2

2

kyxxyk

k













的斜率所求直线的斜率为所求直线的方程：，

2003年

（16）点P(12)，到直线21yx的距离为

00

2222

21(1)21

5

5

2(1)

AxByC

d

AB













2004年

（4）到两定点(1,1)A和(3,5)B距离相等的点的轨迹方程为.

（A）40xy（B）50xy（C）50xy（D）20xy

2222(1)(1)(3)(5)40xyxyxy







，

（12）通过点(3,1)且与直线1xy垂直的直线方程是.

（A）20xy（B）380xy（C）320xy（D）20xy

（20）（本小题满分11分）设函数()yfx为一次函数，(1)=8f，(2)=1f，求(11)f

解依题意设()yfxkxb，得(1)8

(2)21

fkb

fkb





，得3

5

k

b





，()35fxx，(11)=38f

2005年

（16）过点21（，）且与直线1yx垂直的直线方程为3yx

2006年

（8）设一次函数的图像过点(1,1)）和(2,1)，则该函数的解析式为

（A）

12

33

yx（B）

12

33

yx（C）21yx（D）2yx

（20）直线

32yx

的倾斜角的度数为60arctan360

2008年

（14）过点(1,1)且与直线210xy垂直的直线方程为

（A）210xy（B）230xy（C）230xy（D）210xy

［直线210xy的斜率为

1

2

k，所求直线的斜率为2k



，由点斜式方程可知应选（A）］

（19）若



是直线2yx的倾斜角，则

=

3

4



3

tan1,0,arctan(1)145=

4













十三、圆

2006年

（24）（本小题12分）

已知o的圆心位于坐标原点,o与

x

轴的正半轴交于A，与y轴的正半轴交于B，AB=22

（Ⅰ）求o的方程；

（Ⅱ）设P为o上的一点，且OP//AB，求点P的坐标。

解（Ⅰ）依题设得

2

22=ABr，

2

222

AB

=2

22

r，

故o的方程：224xy

（Ⅱ）因为A(2,0)，B(0,2)，所以AB的斜率为1。

过

o

且平行于AB的直线方程为yx.

由

224

yx

xy











得：1

1

2

2

x

y















，2

2

2

2

x

y















所以，点P的坐标为

(2,2)

或

(2,2)

2008年

（24）已知一个圆的圆心为双曲线

22

1

412

xy

的右焦点，并且此圆过原点.

（Ⅰ）求该圆的方程；

（Ⅱ）求直线

3yx

被该圆截得的弦长.

解（Ⅰ）224124cab，

双曲线

22

1

412

xy

的右焦点坐为40（，），

圆心坐标O



40（，），圆半径为4r。

圆的方程为22416xy（）

（Ⅱ）因直线

3yx

的倾角为60，

故OA=OBcosAOB=24cos60=4

所以，直线

3yx

被该圆截得的弦长为4

十四、圆锥曲线

2001年

(3)已知抛物线22axxy的对称轴方程为1x,则这条抛物线的顶点坐标为（）

(A))3,1((B))1,1((C))0,1((D))3,1(

2

0000

1,2,21(2)123

2

a

xayxax









(8)点P为椭圆

22592522yx上一点，

1

F和

2

F是焦点，则

21

PFPF的值为（）

(A)6(B)5(C)10(D)3

22

12

2592255,22510xyaPFPFa

(9)过双曲线1

936

22



yx

的左焦点

1

F的直线与这双曲线交于A,B两点，且3AB，

2

F是右焦点，则

22

BFAF的值为（）

(A)21(B)30(C)15(D)27

O



A

B

22

1

412

xy



22416xy（）

3yx

x

y

1

P

x

B

A

y

2

P

，

(24)(本小题11分)已知椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

和点P(,0)a，设该椭圆有一关于

x

轴对称的内接正三角形，

使得P为其一个顶点。求该正三角形的边长。

解设椭圆的关于

x

轴对称的内接正三角形为PAB，A,xy，则：

3

ax

y



，

2

2

3

ax

y



，

2

2

3

ax

y



，

22

22

()

1

3

xax

ab



，

222

222222

22

33

(2)3,1230

bxb

aaxxbxaxab

aa











2

42222

222

22

2

2

1

22

222

2

22

3

33

24413

3

22

3

33

212

b

aabab

aaab

ab

a

a

xa

a

x

ab

bab

xa

aa











































由于

axa

，所以，

22

22

3

3

ab

xa

ab







因

-

3

ax

y

，

-

3

ax

y，AB=2y，于是PAB的边长为

2222222

222222

-22323343

AB=2211==

333

3333

axaxaabaababab

y

a

ababab



















2002年

（8）平面上到两定点)0,7(

1

F，)0,7(

2

F距离之差的绝对值等于10的点的轨迹方程为（）

（A）

2

21

10016

y

x

（B）

2

21

10049

y

x

（C）

2

21

2524

y

x

（D）

2

21

2524

y

x



2(C)(A)(B);210525aaa







点的轨迹为双曲线，排除排除、，，，

x

y

B

A(,)xy

P

b

b

aa

x

y

B

A(,)xy

P

b

b

aa

x

y

A

B

1

F

2

F

11

122222

12

ABAFBF=3

AFAF=2=12AFBF3=24AFBF=27

BFBF=2=12

a

a

































（23）（本小题12分）设椭圆)0(1

62

22





yx

的焦点在

x

轴上，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两

点，使得OP所在直线的斜率为1，OPOQ，若POQ的面积恰为

32

4

，求该椭圆的焦距。

解设

11

(,)Pxy、

22

Q(,)xy，因OPOQ，故POQ=90.又因OP所在直线的斜率为1，故

22222222

Q11221122

1132

224PO

SOPOQxyxyxyxy



•。

将

22

11

32

4

xy代入)0(1

62

22





yx

，得：

3232

1(0)

244







，即2426=0，

解得：1

222

22

=2

=32(==18>=6,)ba













舍去

由2

222=6==2=2ab，得该椭圆的焦距：

22222624cab

2003年

（14）焦点(50)，、(50)，且过点(30)，的双曲线的标准方程为

（A）

2

2

1

169

y

x

（B）

2

2

1

94

y

x

（C）

2

2

1

916

y

x

（D）

2

2

1

916

y

x



222(A)(D)5,3,(B),(C)5316,xcab







焦点在轴，排除、；排除选

（15）椭圆

2

2

1

49

y

x

与圆22(4)2xy的公共点的个数是

（A）4（B）2（C）1（D）0

（24）已知抛物线28yx的焦点为F，点A、C在抛物线上（AC与

x

轴不垂直）.

（Ⅰ）若点B在抛物线的准线上，且A、B、C三点的纵坐标成等差数列，求证BFAC；

（Ⅱ）若直线AC过点F，求证以AC为直径的圆与定圆22(-3)9xy相内切.

证明：（Ⅰ）由28yx得抛物线准线方程

8/4

2

22

p

x，F(2,0)

设

2

1

1

(,)

8

y

Ay、

2

2

2

(,)

8

y

Cy，则12(2,)

2

yy

B



，

AC的斜率21

22

2112

8

88

AC

yy

k

yyyy









，BF的斜率

12

12

0

2

2(2)8BF

yy

yy

k











PQ

x

y

0.5

2.5

0.5

0.5

0.5

2.5

x

y

22(4)2

(4,0),.>2

x

x

xy















椭圆与轴的交点是2，圆的圆

心是与轴的交点是4-因4-

故椭圆与圆相离，没有交点.

22，

∵12

12

8

1