整体思想

穷人思维总是找借口富人的思维是来解决问题的

穷人思维总是找借口富人的思维是来解决问题的

数学思想方法一

整体思想

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、

整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能

化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式

有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中

的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因

此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层

次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．

一．数与式中的整体思想

例1.已知

11

4

ab

，则

2

227

aabb

abab





的值等于（）

A.6B.6C.

12

5

D.

2

7



分析：根据条件显然无法计算出

a

，b的值，只能考虑在所求代数式中构造出

11

ab

的

形式，再整体代入求解．

解：

11

2

242

b

6

11

2272(4)7

2()7

aabb

a

abab

ba











说明：本题也可以将条件变形为4baab，即4abab，再整体代入求解．

例2．已知代数式

253

42

()

2

xaxbxcx

xdx







，当1x时，值为3，则当1x时，代数

式的值为

解：因为当1x时，值为3，所以23

1

abc

d







，即1

1

abc

d







，从而，当1x

时，原式

()

2121

1

abc

d







例3．已知2002007ax，2002008bx，2002009cx，求多项式

222abcabbcac的值．

分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到

222abcabbcac222

1

()()()

2

abbcca







，只要求得ab，bc，

穷人思维总是找借口富人的思维是来解决问题的

穷人思维总是找借口富人的思维是来解决问题的

ca这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．

解：由已知得，1abbc，2ca，所以，

原式222

1

(1)(1)23

2







说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含

有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．

二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想

例4．已知

241

22

xyk

xyk











，且03xy，则k的取值范围是

分析：本题如果直接解方程求出

x

，y再代入03xy肯定比较麻烦，注意到条件

中xy是一个整体，因而我们只需求得xy，通过整体的加减即可达到目的．

解：将方程组的两式相加，得：3()53xyk，所以

5

1

3

xyk，从而

5

013

3

k，解得

36

55

k

例5．已知关于

x

，y的二元一次方程组

35

11

xay

xby











的解为

5

6

x

y











，那么关于

x

，y

的二元一次方程组

3()()5

()11

xyaxy

xybxy











的解为为

分析：如果把

5

6

x

y











代入

35

11

xay

xby











，解出

a

，b的值，再代入

3()()5

()11

xyaxy

xybxy











进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐．

若采用整体思想，在方程组

3()()5

()11

xyaxy

xybxy











中令

xym

xyn











，则此方程组变

形为

35

11

man

mbn











，对照第一个方程组即知

5

6

m

n











，从而

5

6

xy

xy











，容易得到第二个方

程组的解为

11

2

1

2

x

y



















，这样就避免了求

a

，b的值，又简化了方程组，简便易操作．

穷人思维总是找借口富人的思维是来解决问题的

穷人思维总是找借口富人的思维是来解决问题的

解：

11

2

1

2

x

y



















说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解

答直接简便．

例6．解方程2

2

5

234

23

xx

xx





分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，

将分式方程转化为整式方程来解．

解：设223xxy，则原方程变形为

5

4y

y

，即2450yy，解得

1

5y，

2

1y，所以2235xx或2231xx，从而解得

1

5

2

x，

2

1x，

3

1

2

x，

4

1x，经检验

1

x，

2

x，

3

x，

4

x都是原方程的解．

说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，

用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234yxx，将

方程变形为

5

4

y

y





来解．

（2）利用整体换元，我们还可以解决形如

2

2

315

122

xx

xx







这样的方程，只要设

21

x

y

x





，从而将方程变形为

15

3

22

y

y

，再转化为一元二次方程来求解．

例7．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4

件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？

分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1

件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能

解决．

解：设购甲、乙、丙各1件分别需

x

元、y元、z元．

依题意，得

37315

410420

xyz

xyz











.

.

，即

23315

33420

()().

()().

xyxyz

xyxyz











解关于xy3，xyz的二元一次方程组，可得xyz105.（元）

答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元．

说明：由于我们所感兴趣的不是

x

、y、z的值，而是xyz这个整体的值，所以

穷人思维总是找借口富人的思维是来解决问题的

穷人思维总是找借口富人的思维是来解决问题的

第9题

Y

X

O1

-1

第10题

6

5

4

3

2

1

I

H

G

F

E

D

C

B

A

目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果．

三．函数与图象中的整体思想

例8．已知ym和xn成正比例（其中

m

、

n

是常数）

（1）求证：y是x的一次函数；

（2）如果y15时，x1；x7时，y1，求这个函数的解析式.

解：（1）因ym与xn成正比例，故可设ymkxnk()()0

整理可得ykxknm()

因k0，k、()knm为常数，所以y是x的一次函数.

（2）由题意可得方程组











15

17

kknm

kknm

()

()

解得k2，knm13.

故所求的函数解析式为yx213．

说明：在解方程组时，单独解出k、

m

、

n

是不可能的，也是不必要的．故将knm

看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．

例9．若关于

x

的一元二次方程22(1)20xaxa有一根大于1，一根小于1，

求

a

的取值范围．

分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为困难．整体考虑，把一元二

次方程22(1)20xaxa与二次函数22(1)2yxaxa联系起来，利用二次

函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易．

解：由题意可知，抛物线与

x

轴的交点坐标，

一个交点在点(1,0)的右边，另一个交点在点

(1,0)的左边，抛物线图象开口向上，则可得：

当1x时,0y，当1x时，0y，即

2

2

20

0

aa

aa











，∴20a．

说明：（1）由于当1x,1x时，0y，

所以解答过程中不必再考虑0了．

（2）利用函数与图象，整体考察，是解决

涉及方程（不等式）有关根的问题最有效的方法

在之一，在数学教学中应当引起足够的重视．

四．几何与图形中的整体思想

例10．如图，

穷人思维总是找借口富人的思维是来解决问题的

穷人思维总是找借口富人的思维是来解决问题的

第11题

O

P

F

E

D

C

B

A

123456

分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将

12视为一个整体，那么应与△ABC中BAC的外角相等，同理34，56

分别与ABC，ACB的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．

解：因为12DAB，34IBA，56GCB,根据三

角形外角定理，得360DABIBAGCB°，

所以123456360°．

说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键．

例11．如图，菱形ABCD的对角线长分别为3和

4，P是对角线AC上任一点（点P不与A，C重

合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于

F，则图中阴影部分的面积为．

解：不难看出，四边形AEPF为平行四边形，

从而△OAF的面积等于△OAE的面积，

故图中阴影部分的面积等于△ABC的面积，

又因为

1

2ABCABCD

SS





11

343

22

，所以图中阴影部分的面积为3.

说明：本题中，△OAF与△OAE虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的．因

而，可以将图中阴影部分的面积转化为△ABC的面积．我们在解题过程中，应仔细分析题

意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．

例12．如图，在正方形ABCD中，E为BC边的中点，AE平分BAF，试判断AF

与BCCF的大小关系，并说明理由．

解：AF与BCCF的大小关系为AFBCCF．

分别延长AE，DC交于点G，因为E为BC边的中点，因而易证△ABE≌△GCE，

所以ABGC，并且BAECGE，ABBC，从而BCCFGF．由于AE平

分BAF，所以BAEFAE，故FAECGE，即△AFG为等腰三角形，即

AFGF，所以，AFBCCF．

说明：证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证

明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将BCCF转化为FG这一整体，从

穷人思维总是找借口富人的思维是来解决问题的

穷人思维总是找借口富人的思维是来解决问题的

而达到了解决问题的目的．

用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思

考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观

念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．

练习

一、选择题

1.（2011盐城，4，3分）已知a﹣b=1，则代数式2a﹣2b﹣3的值是（）

A.﹣1B.1C.﹣5D.5

2.（2011，台湾省，26,5分）计算（250+0.9+0.8+0.7）2

﹣（250﹣0.9﹣0.8﹣0.7）

2

之值为

何？（）

A、11.52B、23.04

C、1200D、2400

3.10（2011山东淄博10，4分）已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则

22

21

1aaa





错误!

未找到引用源。的值为（）

A.

15

2



错误!未找到引用源。B.

15

2



错误!未找到引用源。C.﹣1

D.1

二、填空题

1.（2011•德州，14，4分）若x

1

，x

2

是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=．

2.（2011年山东省威海市，16，3分）分解因式：16–8（x–y）+（x–y）2=．

3.（2011四川达州，15，3分）若2231210aabb错误!未找到引用源。，则

2

2

1

ab

a

错误!未找到引用源。=．

三、解答题

1.（2011•江苏宿迁，21，8）已知实数a、b满足ab=1，a+b=2，求代数式a2b+ab2

的值．

2.（2010重庆，21，10分）先化简，再求值：

2

2

122

121

xxxx

xxxx













，其中x满足

x2－x－1＝0．

穷人思维总是找借口富人的思维是来解决问题的

穷人思维总是找借口富人的思维是来解决问题的

答案：ADD；3，（4-x+y）2，6；2,1