旋转的性质

-

.z.

旋转知识点归纳

知识点1:旋转的定义及其有关概念

在平面，将一个图形绕一个定点O沿*个方向转动一个角

度，这样的图形运动称为旋转，定点O称为旋转中心，转动

的角称为旋转角;如果图形上的点P经过旋转到点

P

,则这两个

点叫做这个旋转的对应点.如图1,线段AB绕点O顺时针转动

090

得到

BA

,这就是旋转,点O就是旋转中心,

AAOBBO







,

都是旋转角.

说明:旋转的围是在平面旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面〞这一条件

不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向.

知识点2:旋转的性质

由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等

的.由此得到如下性质：

⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿一样方向转动了一样的角度，对应点的排

列次序一样.

⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角.

⑶对应点到旋转中心的距离相等.

⑷对应线段相等，对应角相等.

例1、如图2，D是等腰Rt△ABC一点，BC是斜边，如果

将△ADB绕点A逆时针方向旋转到△

CDA

的位置，则ADD





的度数是〔〕Ｄ

Ａ．25Ｂ．30Ｃ．35Ｄ．45

分析:抓住旋转前后两个三角形的对应边相等、对应角相等等

性质，此题就很容易解决.由△

CDA

是由△ADB旋转所得,可知

△ADB≌△

CDA

,∴AD=

DA

,∠DAB=∠

ACD

,∵∠DAB+∠DAC=090

,

∴∠

ACD

+∠DAC=090

,∴∠045



DAD

,应选Ｄ．

评注:旋转不改变图形的大小与形状,旋转前后的两个图形是全等的,紧紧抓住旋转前后图

形之间的全等关系,是解决与旋转有关问题的关键.

知识点3:旋转作图

O

B



A



B

A

图1

C

D



A

D

B

图2

-

.z.

1.明确作图的条件:(1)旋转中心;(2)旋转方向与旋转角.

2.理解作图的依据:(1)旋转的定义:在平面，将一个图形绕一个定点O沿*个方向转动一个

角度的图形变换叫做旋转;(2)旋转的性质:经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿一样的

方向转动了一样的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角,对应点到

旋转中心的距离相等.

3.掌握作图的步骤:(1)分析题目要求,找出旋转中心、旋转角；〔2〕分析图形，找出构成图

形的关键点；〔3〕沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，找出各个关键点；

〔4〕连接作出的各个关键点，并标上字母；〔5〕写出结论.

例2如图3，小明将△ABC绕O点旋转得到△

CBA

，其中点

CBA



、、

分别是A、B、

C的对应点.随即又将△ABC的边AC、BC及旋转中心O擦去(不留痕迹),他说他还能把旋转

中心O及△ABC的位置找到,你认为可以吗"假设可以,试确定旋转中心及的位置;如不可以,

请说明理由.

分析:此题的关键是要学生先确定旋转中心的位置.根据“对应点到旋转中心的距离相

等〞这一特征，可推断出旋转中心是对应点连线〔

AA

和

BB

〕的垂直平分线的交点.这样旋

转中心就可以确定了，从而△ABC的位置也就可以确定了.

解：连接

AA

，

BB

,分别作

AA

，

BB

的垂直平分线，相交于O点，则O点即为旋转中

心.再作

C

关于点的对应点,连接,则的位置就确定了.如图4所示.

评注:旋转角相等及对应点到旋转中心的距离相等是解决这类问题的关键.

考点4:钟表的旋转问题

钟表的时针与分针每时每刻都以

轴心为旋转中心作旋转运动,其中时针

12小时旋转一周,则每小时旋转

,30

12

360

0

0

这样时针每分钟旋转

;5.00分针每小时旋转一周,则每分钟旋转.6

60

360

0

0



例3从1点到1点25分,分针转了多少度角"时针转了多少度角"1点25分时时针与分针

的夹角是多少度"

分析:从1点到1点25分,分针与时针都转了25分钟,所以分针旋转的角度为,15025600

时针旋转的角度为;5.12255.0001点整的时候，分针与时针的夹角为030

,分针与时针分别

C



B



A



图4

C

B

A

O

图3

C



B



A



-

.z.

同时旋转0150

与05.12

后,分针与时针的夹角为

.5.1075.

解:分针旋转的角度为;15025600时针旋转的角度为;5.12255.000

分针与时针的夹角为

.5.1075.

评注:(1)时针每分钟旋转05.0;(2)分针每分钟旋转.60这两个条件是旋转问题中的隐含条

件,也是解决此类问题的突破口

解读生活中的旋转

一.旋转及其根本性质

1.旋转的概念

在平面,将一个图形绕一个定点沿着*个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这

个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.

2.旋转的根本性质

(1)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等;

(2)对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.

3.理解旋转中的不变量

图形旋转的主要因素是旋转的方向和旋转的角度,图形在旋转过程中,图形中的每一点都

按同样的方向旋转了一样的角度.图形在旋转后点的位置改变,但线段的长度不变,对应点到

旋转中心的距离不变,每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等.

总结:旋转过程中,每一个点都绕旋转中心沿一样的方向旋转了一样的角度,任意一对对应

点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.

二.旋转前后两个图形的比拟

图形是由点组成的,图形中的主要元素有线段和角,也有一些其他可度量的元素,所以从这

两个方面加以分析.旋转的特点有以下几个方面:

(1)旋转前后两个图形的形状和大小没有发生改变,位置发生了改变;

(2)对应线段相等，对应角相等;

(3)每对对应点与旋转中心连线所成的角都是相等的，它们都是旋转角.

三.旋转作图

1.旋转作图的依据是:图形上的每一点都绕旋转中心沿一样方向转动了一样的角度,对应

点到旋转中心的距离相等.

2.旋转作图的条件

-

.z.

(1)图形原来所在的位置;(2)旋转中心;(3)图形旋转的方向;(4)图形的旋转角度.

3.旋转作图的具体步骤为:

(1)分析题目的要求,找出旋转中心、旋转角；

(2)分析所作的图形，找出构造图形的关键点；

(3)沿一定的方向，按一定的角度，通过攫取线段的方法，旋转各个关键点。

①连：即连图形中的每一个关键点与旋转中心；

②转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度；

③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；为了防止

作图时的混乱，每个点独立完成后，再进展下一个点的旋转；

(4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母；

(5)写出结论〔方格纸作图可以略写结论〕.

四.旋转作图的考察形式

(1)原图、旋转中心和一对对应点，求作旋转后的图形；

(2)原图、旋转中心和一对对应线段，求作旋转后的图形；

(3)原图、旋转中心和旋转角，求作旋转后的图形.

五.典例剖析

例1如图1，D是等腰RtABC△一点，BC是斜边，如果将ABD△绕点A逆时针方

向旋转到ACD



△的位置，则ADD



的度数是〔Ｄ〕

Ａ．25Ｂ．30

Ｃ．35Ｄ．45

解析：根据旋转性质可知△ABD≌△DAC



，

∴∠BAD=∠DCA



，AD=DA



，

∵∠BAD+∠CAD=090，

∴∠DCA



+∠CAD=090，

∴ADD



=

2

1

，故应选Ｄ．

评注：此题应用旋转性质得到两三角形全等，然后根据全等三角形的性质和三角形角和

定理求解即可.

例2如图2，该图形围绕自己的旋转中心，按以下角度旋转后，

C

D



A

D

B

图1

图2

-

.z.

不能

．．

与其自身重合的是〔〕

Ａ．72Ｂ．108Ｃ．144Ｄ．216

解析：整个图形可以看作是图形的五分之一绕中心位置，按照同一方向连续旋转

72、144、216、0288、0360和原来图形共同组成的，所以此题应选Ｂ。

评注：解决此题的关键是通过动手操作和动脑分析，找到“根本图案〞，并分析得到旋

转角，对此题来说，只要找到了“根本图案〞，所有的旋转角一定都是72的倍数.

例3在如图3的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC△的三个

顶点都在格点上〔每个小方格的顶点叫格点〕．

〔1〕画出ABC△向平移4个单位后的

111

ABC△；

〔2〕画出ABC△绕点O顺时针旋转90后的

222

ABC△，并求点A旋转到

2

A所经过的

路线长．

分析:在作图的时候要找到关键

点的位置,此题有两步作图,第一步

是平移,第二步是旋转,按照平移和

旋转的作图步骤容易得到最后的图

形.

点A旋转到

2

A所经过的路线长为以OA为半径,圆心角为90的弧长.

解：〔1〕画出

111

ABC△．〔2〕画出△

222

ABC．

连结OA，

2

OA，222313OA

．

点A旋转到

2

A所经过的路线长为.

2

13

180

1390









l

评注:在方格纸上作简单的旋转图形,旋转角度通常是90,这样旋转前后图形的对应点与

旋转中心的连线互相垂直,实际上就是在方格纸上找垂线,再根据旋转的性质找线段相等，从

而确定每个对应点.

学好旋转的三个要点

旋转在实际生活中随处可见．因此，学好旋转的知识有利于我们解决实际问题，学

习时应注意把握好以下几点：

图4

图3

-

.z.

一、正确理解旋转的概念

在平面，将一个图形绕一个定点沿*个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，

这个定点叫做旋转中心．旋转不改变图形的形状和大小．

理解这个概念应注意以下两点：

1．旋转和平移一样，是图形的一种根本变换；

2．图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角

度．

例如图1，ABC△是等腰直角三角形，

90ABACBAC，∠

，D是BC上一点，ACD△经过旋转后到达ABE△的位置．

〔1〕旋转中心是哪一点.

〔2〕旋转了多少度.

〔3〕假设P是AC的中点，则经过上述旋转后，点P旋转到了什么位置.

解：〔1〕点A是旋转中心；

〔2〕顺时针旋转了90；

〔3〕点P旋转到了AB的中点．

二、掌握旋转的特征

图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；对应点到旋转中心的距离相

等，对应线段、对应角都相等；旋转前后图形的大小、形状都不发生变化．

例2如图2所示，是国际奥林匹克运动会会旗〔五环旗〕的

标志图案，它是由五个半径一样的圆组成的，它象征着五的体育健

儿，为开展奥林匹克精神而团结起来，携手拼搏．观察此图案，结

合我们所学习的图形变换知识，完成以下题目：

〔1〕整个图案可以看做是什么图形.

〔2〕此图案可以看做是把一个圆经过屡次什么变换运动得到的.

解：〔1〕这个图案是轴对称图形．

〔2〕既可以看做是由一个圆经过4次平移得到的，又可以看做是一个圆经过4次旋

转得到的〔你能分析吗，提示：旋转中心可以不在图案上〕．

三、会寻找旋转中心

知道了旋转中心及旋转角，可以作出一个图形旋转后的图形．则知道一个图形及其

A

C

D

B

E

P

图1

图2

-

.z.

旋转后的图形时，如何确定旋转中心呢.

确定旋转中心的关键是确定两个图形上的两组对应点构成的对应线段的旋转中心，

由旋转特征可知，这两组对应点的旋转中心就是整个图形的旋转中心．

由旋转特征可知，如果图形上点A关于旋转中心O的对应点是A



，则有OAOA



，

所以点O必在线段AA



的垂直平分线上；如果图形上点B关于旋转中心O的对应点是B



，

则OBOB



，所以点O必在线段BB



的垂直平分线上．这样两个对应点A和A



以及B和B



连线的垂直平分线的交点就是旋转中心．

例3如图3所示，四边形ABCD绕*点旋转后到四边形ABCD



，你能确定旋转中

心吗"试一试．

分析：我们可以用待定位置法．假定点O就是旋转中心，由于对应点到旋转中心的

距离相等，则有

OAOAOBOB



，

，从而O一定是线段AA



和线段BB



的垂直平分线的交

点上．

解：如图3所示，连结

AABB



，

．

分别作

AABB



，

的垂直平分线，两直线交于点O．则点O就是旋转中心．

例2如图4，ABC△是等边三角形，点

DG，

分别是

ABAC，

的中点，四边形BDEF

和四边形AGHK都是正方形．

〔1〕试确定正方形AGHK绕*点旋转得正方形EFBD的旋转中心．

〔2〕正方形BDEF旋转多少度时可以与正方形AGHK重合.

分析：因为四边形AGHK和四边形BDEF都是正方形，所以情况较多，我们只选择

其中一个讲解，其它情况请同学们自己探索，欢送你把自己的探索成果告诉我们．

解：〔1〕选择BD和GH作为对应线段〔点B对应点G，点D的对应点为点H〕．

连接

DGDHBG，，

，则易知DBDGGH，连接点D与线段BG的中点M并延长，

连接点G与线段DH的中点并延长，两直线相交于点O，则有GO垂直平分

DHDO，

垂直

平分BG，则点O就是旋转中心．BOG∠为旋转角．

〔2〕150DGHDGAAGH∠∠∠，

1

75

2

NGHDGH∠∠

，

75MGONGH∠∠〔对顶角〕．

又90GMO∠，所以15MOG∠．

所以旋转角230BOGMOG∠∠．

图1

图4

-

.z.

所以当正方形BDEF绕点O顺时针旋转30时，可与正方形GHKA重合．

旋转坐标新意多

求旋转后点的坐标的问题是学习旋转是常见的问题。这类问题新意颇多，下面举例说明，

供同学们学习时参考

1、求旋转90°后点的坐标

例1、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，将线段OA绕点O顺时针旋

转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是．

分析：在平面直角坐标系中，先做出OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OA′，

然后根据点A′的特征求出点A′的坐标

解：如下图，做出OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OA′，则A′的坐标为(4，

－1)

规律总结：点A的坐标为()ab，，O为坐标原点，连结OA，将线段OA绕点O按顺时

针方向旋转90°得

1

OA，则点

1

A的坐标为()ba，，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转

90°得

2

A，则点

2

A的坐标为()ba，，

2、求旋转180°后点的坐标

例2、在平面直角坐标系xOy中，点A(2，3)，假设将OA绕原点O逆时针旋转180°得

到0A′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在

A第一象限B第二象限c第三象限D第四象限

分析：将OA绕原点O逆时针旋转180°得到0A′，则点A′与点A关于原点成中心对

称，根据点A的坐标即可求出点A′的坐标，从而确定A′在平面直角坐标系中的位置

解：因为OA绕原点O逆时针旋转180°得到0A′，所以点A′与点A关于原点成中心

对称，又因为点A得坐标为(2，3)，所以点A′的坐标为〔-2，-3〕，所以点A′在第三象限，

选C

规律总结：点A的坐标为()ab，，O为坐标原点，连结OA，将线段OA绕点O按顺时

针方向〔或逆时针方向〕旋转180°得

1

OA，则点

1

A的坐标为,)ab（，

3、求旋转135°后点的坐标

例3、点A的坐标为〔2，0〕，把点A绕着坐标原点顺时针旋转135º到点B，则点B

-

.z.

的坐标是_________．

分析：如下图，在平面直角坐标系中，小格点正方形的边长为1，在图中先通过旋转作

图确定点B的位置，然后再求出它的坐标

解：点A的坐标为〔2，0〕，则点A在*轴的正半轴上，把点A绕着坐标原点顺时针

旋转135º到点B，则点B在第三象限且在第三象限的角平分线上，由于OB=OA=2，所

以点B就在边长为1的格点正方形的顶点上，则点B的坐标为〔-1，1〕

4、求屡次旋转后点的坐标

例4、如图，在直角坐标系中，点

)0,3(A

，

)4,0(B

，对△OAB连续作旋转变换，依次得

到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为________

析解：认真观察图形可知，连续作旋转变换依次得到三角形①的直角顶点的坐标为〔0，

0〕，三角形②的直角顶点的坐标未知，三角形③的直角顶点的坐标为〔12，0〕，三角形④的

直角顶点的坐标为〔12，0〕，…，由此可见其中的规律：三角形的直角顶点的纵坐标总是0，

二横坐标每经过三次变换增加12，依此类推三角形⑩的直角顶点的坐标为〔36，0〕

点评：解决此题的关键是找出△OAB连续作旋转变换中三角形的直角顶点的坐标的变化

规律，要求同学们具有一定的探索和想象能力。

旋转常见错解剖析

一、分析旋转作图时语言表达不准确

例1分析图1的旋转现象.

错解：此题是由图案的

1

4

绕图案中心分别旋转

四次，每次旋转90°形成的.

剖析：分析旋转图案的方法：〔1〕找准旋转图案

的根本图案，此题取图案的

1

4

或

1

2

；〔2〕找出旋图1

转中心；〔3〕算准旋转的角度.

正解：是由一个梯形绕图案中心依次旋转90°，180°，270°而形成的，也可以看

做是由两个相邻的梯形绕图案的中心旋转180°而形成的.

二、弄错图形的旋转方向

例2如图2，将网格中的△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的图形.

-

.z.

错解：作∠ACD=∠BCE=90°并截取CA/=CA，CB/=CB；连结CB/、B/A/、CA/就

得到了旋转后的图形△CB/A/.

剖析：这种作法显然没有注意到是逆时针方向旋转，同学们可以按照逆时针方向作

一下，看看是不是与图3所示一样.

三、无视分类讨论

例3在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，将△ABC绕点A旋转30°后与△AB

1

C

1

重合，求∠BAC

1

的度数.

错解：如图4，因为在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，所以∠BAC=75°.所以

∠BAC

1

=∠BAC+∠CAC

1

=75°+30°=105°.

AA

C

1

B

1

C

BCC

1

B

1

B

图4图5

剖析：此题将△ABC绕点A旋转30°，并未指明旋转方向，故应分两种情况，错解

只考虑了一种情况.

正解：当△ABC绕点A逆时针方向旋转30°时，作法同错解；当△ABC绕点A顺

时针方向旋转30°时，如图9，∠BAC

1

=∠BBAC－∠CAC

1

=75°－30°=45°.

四、对旋转角的概念理解不准确

例4如图6，P等边△BDE是由等边△ABC经过旋转得到的.试判断旋转中心和旋

转角及旋转方向.

错解：等边△BDE是由等边△ABC绕旋转中心B

按逆时针方向旋转∠ABE的度数形成的.

剖析：错误的原因在于没有正确找出对应线段，

从而把旋转的角度弄错了.

正解：△BDE是由等边△ABC绕旋转中心B按逆

时针方向，旋转∠DBA的度数形式的.

五、旋转作图中，找不准关键点，错用旋转的性质

AA

A/

A/BB

B/

B/C

CE

D

图2图3

B

E

A

C

D

图6

-

.z.

例5如图7所示，请将方格纸中的图形以点O为旋转中心，顺时针旋转90°，再

向左平移两格，你能作出相应的图形吗.

错解：如图8所示.

剖析：未找准关键点关于旋转中心的对称点.

正解：如图9所示.

OO

O

图7图8图9