悬链线方程

第四章均布荷载下架空线的计算

在架空输电线路的设计中，不同气象条件下架空线的弧垂、应力和线长占有十分重要

的位置，是输电线路力学研究的主要内容。这是因为架空线的弧垂和应力直接影响着线路的

正常安全运行，而架空线线长的微小变化和误差都会引起弧垂和应力相当大的改变。设计弧

垂小，架空线的拉应力就大，振动现象加剧，安全系数减小，同时杆塔荷载增大因而要求强

度提高。设计弧垂过大，满足对地安全距离所需杆塔高度增加，线路投资增大，而且架空线

的风摆、舞动和跳跃会造成线路停电事故，若加大塔头尺寸，必然会使投资再度提高。因此，

设计合适的弧垂是十分重要的。本章研究垂直均布荷载和水平均布荷载作用下的架空线有关

计算问题。

第一节架空线悬链线方程的积分普遍形式

图4-1架空线悬挂曲线受力图

（a）分离体受力图；（b）整档架空线受力图；

图4-1（b）所示为某档架空线，A、B均为两悬挂点。沿架空线线长作用有均布比载，

方向垂直向下。在比载作用下，架空线呈曲线形状，其最低位置在点，在悬挂点A、B

处，架空线的轴向应力分别为

A

和

B

。选取线路方向（垂直于比载）为坐标系的x轴，

平行于比载方向为y轴。在架空线上任选一点C，取长为

OC

L的一段架空线作为研究对象，

受力分析如图4-1(a)所示。列研究对象的力平衡方程式，有

0

cos,0X

X(4-1)

OC

X

LYsin,0(4-2)

式（4-1）表明，架空线上任一点C处的轴向应力

X

的水平分量等于弧垂最低点处的

轴向应力

0

，即架空线上轴向应力的水平分量处处相等，式（4-2）表明，架空线上任一点

轴向应力的垂向分量等于该点到弧垂最低点间线长

OC

L与比载之积。以上两式相除可得

tg=

OC

L

0





dx

dy

=

OC

L

0





(4-3)

上式为悬链线方程的徽分形式。从中可以看出，当比值/

0

一定时，架空线上任一点

处的斜率与该点至弧垂最低点之间的线长成正比。在弧垂最低点O处，曲线的斜率为零，

即＝0，将式(4-3)写成

OC

Ly

0









两边微份

dxydydxLdyd

C

2

0

2

0

0

0

1)(2

















分离变量后两端积分









dx

y

yd

0

21





)()(

1

0

Cxyarcsh







或写成

dx

dy

=sh)(

1

0

Cx





(4-4)

上式两端积分，得

y=





0ch

21

0

)(CCx





(4-5)

式(4-5)是架空线悬链线方程的积分普遍形式。其中

1

C、

2

C为积分常数，其值取决于坐

标系的原点位置。

第二节等高悬点架空线的弧垂、线长和应力

一、等高悬点架空线的悬链线方程

等高悬点是指架空线的两个悬挂点高度相同。由于对称性，等高悬点架空线的弧垂最低

点位于档距中央，将坐标原为取在该点，如图4-2所示。

图4-2等高悬点架空线的悬链线

当x=0时，

dx

dy

=0,代入式(4-4)可解得

1

C＝0；当x=0时，y=0，代入式(4-5)并利用

1

C＝

0,解得





0

1

C，将

1

C、

2

C的值代回式(4-5)，并加以整理即可得到架空线的悬链线方程

y=





0)1(ch

0

x





(4-6)

由式(4-6)可以看出，架空线的悬链线具体形状完全由比值/

0

决定，即无论是何种

架空线，何种气象条件，只要/

0

相同，架空线的悬挂曲线形状就相同。在比载一定的

情况下，架空线的水平应力

0

是决定悬链线形状的唯一因素，所以架线时的水平张力对架

空线的空间形状有着决定性的影响。

在导出式(4-6)的过程中，并没有用到等高悬点的限定条件，因此式(4-6)同样可用于不

等高悬点的情况。

二、等高悬点架空线的弧垂

架空线上任一点的弧垂是指该点距两悬挂点连线的垂向距离。在架空输电线路设计中，

需计算架空线任一点x处的弧垂

X

f，以验算架空线对地安全距离，参见图4-2，显然

yyf

BX



而



B

y





0（ch1

2

0





rl

）

所以



X

f]

2

)2(

2

[]

2

[

0

1

0

0

00

0



















xlr

ch

l

ch

x

ch

l

ch



(4-7)

利用恒等式ch-ch=

2

sh

2

2sh



对上式进行变换，可以得到



X

f

0

1

0

1

0

2

)(

2

2



xlr

sh

rx

sh



(4-8)

在档距中央，弧垂有最大值f，此时x=0或x1＝

2

l

，所以有

0

2

0

0

0

4

2

]1

2

(

















l

sh

l

chyf

B

(4-9)

除非特别说明，架空线的弧垂一般指的是最大弧垂。最大弧垂在线路的设计、施工中占

有十分重要的位置。

三、等高悬点架空线的线长

弧垂最低点O与任一点C之间的架空线长度

OC

L(参见图4-1)可由式（4-3）和式（4-4）

联立求解，并考虑到0

1

C而得到。线长

OC

L计算式为

0

0





rx

shL

OC



或记为

0

0





rx

shL

X



将

2/lX

代入上式，可得到半档距架空线的长度

2/lX

L



，整档架空线的线长L是

2/lX

L



的2倍，即



2/

2

lX

LL

0

0

2

2





rl

sh(4-10)

上式表明，在档距l一定时，架空线的线长随比载和水平应力

0

的变化而改变，即架

空线的线长是其比载的应力的函数。应该指出，式(4-10)计算得出的是按架空线的悬挂曲线

几何形状的计算长度，与架空线的制造长度不尽相同。

四、等高悬点架空线的应力

架空线上任一点C处的应力指的是该点的轴向应力，其方向同该点线轴方向，如图4-1

（a）所示。轴向应力

x

可视为水平应力

0

和垂向应力

0

的合成。

0

是架空线最低点处

的应力，工程上常作为已知条件。当架空线的比载也已知时，任一点的应力为



0

2

0

0

0

2

0

2

0

1

2

2







rx

sh

rx

shrL

OCx





















根据恒等变换ch21sh，可得

0

0



rx

ch

x

(4-11)

在两等高悬挂点A、B处，有

0

02



rl

ch

BA

(4-12)

如果用弧垂表示，则为

rf

BA



0



上式表明，等高悬点处架空线的应力等于其水平应力和作用在其上的比载与中央弧垂的

乘积的和。必须指出，悬挂点处的应力除按式（4-12）计算的静态应力外，还有线夹的横

向挤压应力，考虑刚度时的附加弯曲应力和振动时产生的附加动应力等。

第三节不等高悬点架空线的弧垂、线长和应力

地形的起伏不平或杆塔高度的不同，将造成架空线悬挂高度不相等。同一档距两悬挂点

间的高度差简称为高差，两悬挂点连线与水平面的夹角称为高差角。

一、不等高悬点架空线的悬链线方程

为应用方便起见，取坐标原点位于左侧悬挂点处，如图4-3所示。

图4-3不等高悬点架空线的悬链线

在所选坐标系中，当x=

a

时，

0/

xy

dd，代入式（4-4）求得aC

1

；当x=0时，

y=0，代入式（4-5）并注意到aC

1

，求得

0

0

2



ra

ch

r

C，将C1、C2之值再代回到

式（4-5），有

00

0

00

0

2

)2(

2

2

]

)(

[





















ax

sh

x

sh

ra

ch

ax

chy







(4-13)

上式即为不等高悬点架空线的悬链线方程，但式中架空线最低点至左侧低悬挂点的水平

距离

a

待求。将x=l时y=h的边界条件代入式(4-13)，可以得到

0

0

0

2

2

2









x

sh

r

h

arcsh

r

l

a

上式中反双曲线函数一项的分母，实际上就是式（4-10）表示的等高悬点架空线的档内

悬链线长度，记为

0h

L，即

0

0

02

2









l

shL

h





(4-10/)

所以

0

0

2





h

L

h

arcsh

r

l

a



(4-14)

相应地，弧垂最低点距右侧高悬挂点的水平距离为

0

0

2





h

L

h

arcsh

r

l

b



(4-15)

由于

0

2

000

00

2

00

00

000

2

)(

)(1

2

)(

2

)(

)(1

2

)(

]

2

)(

[

]

2

[

2

)2(

































xl

sh

L

hxl

ch

L

h

L

hlx

ch

L

hlx

sh

L

h

arcsh

lx

sh

ax

sh

ax

sh

hh

hh

h

































上式代入式（4-13），便可得到坐标原点位于左悬点时的不等高悬点架空线的悬链线方

程为

]

2

)(

2

2

[)(1]

2

)(

2

2

[

]

2

)(

)(1

2

)(

[

2

2

]

2

)2(

2

2

00

0

2

000

0

0

0

2

0000

0

00

0









































xlr

sh

x

sh

L

hxlr

ch

x

sh

L

h

xl

sh

L

hxlr

ch

L

hx

sh

ax

sh

x

shy

hh

hh

























(4-16)

当h=0时，即得到坐标原点位于左悬挂点时的等高悬点的架空线悬链线方程

00

0

2

)(

2

2













xl

sh

x

shy



(4-17)

二、不等高悬点架空线的弧垂

根据弧垂的定义，不等高悬点架空线任一点处的弧垂为

]

2

)(

2

2

[)(1]

2

)(

2

2

[

2

)2(

2

2

00

0

2

000

0

0

00

0

































xlr

sh

x

sh

L

hxl

ch

x

sh

L

h

x

l

h

ax

sh

x

shx

l

h

yx

l

h

f

hh

x















(4-

18)

等高悬点h=0时，有

00

0

)0(2

)(

2

2













xl

sh

x

shf

hx







这与式（4-8）是一致的。

架空输电线路最常用的是档距中央弧垂，最低点弧垂和最大弧垂（斜切点弧垂），在档

距中央x=l/2，代入式（4-18）并化简后得到档距中央弧垂的计算式

)1

2

()(1

0

0

2

0

2

1







rl

ch

L

h

f

h

(4-19)

最低点弧垂出现在x=

a

处，代入任一点弧垂公式（4-18）并注意到式（4-4），适当整理

后得

)1

2

)(1[

00

2

0

0

0



hh

L

h

arcsh

l

hrl

ch

L

h

f





(4-20)

同式（4-19）相比较，上式可写成

2

00

0

2

10

)(11[





hh

L

h

L

h

sharc

l

h

ff





(4-20/)

最大弧垂出现在0

dx

df

x处，即

0

)(

)]

)(

([

)(

0

00

0





















axr

sh

l

h

ra

ch

axr

ch

r

x

l

h

dx

d

yx

l

h

dx

d

dx

df

x

解得出现最大弧垂的位置

)(

2

0

00





h

mL

h

arcsh

l

h

arcsh

r

l

l

h

arcsh

r

ax



(4-21)

从上式可以看出，不等高悬点架空线的最大弧垂不在档距中央。由于

0h

L>l，所以

m

x>2/l，说明最大弧垂位于档距中央稍偏向高悬挂点一侧的位置。将式(4-21)代入任一

点弧垂公式(4-18)，可求得不等高悬点的最大弧垂为

])(1

2

)(1)([2

0

2

00

0

l

hrl

ch

L

h

L

h

arcsh

l

h

arcsh

l

h

f

hh

m









(4-22)

与式(4-19)比较，最大弧垂公式可表示为

)])(1)(1()([2

0

2

0

0

2

1





hh

mL

h

l

h

L

h

arcsh

l

h

arcsh

l

h

ff





(4-22/)

由于上式两个小括号内的值均为正值且均小，前者略大于后者，所以最大弧垂大于档距

中央，弧垂，但二者非常接近。

对于等高悬点架空线，有

)1

2

(

0

0

0

2

1







rl

chfff

m

上式表明，等高悬点架空线的最大弧垂、档距中央弧垂和最低点弧垂三者重合，位于档

距中央，这是很明显的。

三、不等高悬点架空线的线长

不等高悬点架空线的线长可利用弧长微分公式通过积分求得。根据式（4-4）有

)()(

0

1

0

ax

r

shCx

r

sh

dx

dy



（4-23）

所以

dx

axr

chdx

axr

shdx

dx

dy

dL

00

22

)()(

1)(1











架空线上任一点至左悬挂点间的线长为

00

0

00

0

0

0

2

)2(

2

2

]

)(

[

)(











axr

ch

rx

sh

r

ra

sh

axr

sh

r

dx

axr

chL

x

x















（4-24）

当x=l时，即得到整档线长

00

0

2

)2(

2

2





alr

ch

rl

sh

r

L



（4-25）

将x=l代入式(4-13)，有

00

0

2

)2(

2

2





alr

ch

rl

sh

r

h



（4-26）

将式（4-25）的平方减去上式的平方

0

2

)

2

(2

0

22

0

2

2

h

L

rl

sh

r

hL





所以

L=22

0

hL

h





(4-27)

由上式可以看出，高差h的存在，使得不等高悬点架空线的线长大于等高悬点时的线长。

如果视高差h，等高悬点时的线长

h

L=0为直角三角形的两条直角边，那么不等高悬点时的

线长就是该直角三角形的斜边，这样理解三者之间的关系就容易记忆了。