投入产出模型

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§1.5投入产出模型的基本假设和求解条件

任何经济数学模型都是都实际经济活动的抽象，都是在若干基本假设下建立的，或者只

有在若干基本假设下才能成立。关键在于所舍弃的是事物的本质方面还是非本质方面。

一、投入产出模型的基本假设

投入产出模型是在如下重要假设下建立的。

⒈不可替代假设

投入产出模型假设一个部门只生产一种产品，而且只采用一种技术生产；同时，一种产

品只由一个部门生产。

为什么要作出该假设？

实际经济活动是否满足这一假设？

⒉线性假设

投入产出模型假设投入量与产出量是成正比的，比例系数就是直接消耗系数。

为什么要作出该假设？

实际经济活动是否满足这一假设？

⒊系数不变假设

投入产出模型假设直接消耗系数在一个周期内是不变的。

为什么要作出该假设？

实际经济活动是否满足这一假设？

⒋关于生产周期的假设

投入产出模型假设每个部门的生产经营活动，从生产要素的投入到产出的分配与使用，

都在一个周期内完成。

为什么要作出该假设？

实际经济活动是否满足这一假设？如何处理？

二、投入产出模型的求解条件

所谓“投入产出模型的求解条件”，是指投入产出模型能够求解的条件。

⒈投入产出模型能够求解的条件

投入产出模型YAIX1)(能够求解的条件是矩阵)(AI有逆，且逆矩阵的元素不

为负。是从数学和经济意义两方面提出的。

⒉价值型投入产出模型求解条件的证明

对于价值型投入产出模型，其直接消耗系数满足：

nja

n

i

ij

,,2,11

1





即满足：

njaa

jj

n

ji

i

ij

,,2,11

1







而在矩阵)(AI中，主对角线元素为

jj

a1，其它元素为

ij

a。所以该矩阵是主对角线元

素占优势的矩阵。由线性代数知识可知，0AI。所以矩阵)(AI有逆。

又因为对于矩阵)(AI，不仅存在

2

njaa

jj

n

ji

i

ij

,,2,11

1







而且存在

njaa

jj

n

ji

i

ij

,,2,11

1







所以有

0AI

对于矩阵)(AI的逆矩阵：

AI

C

AI



1)(

其分子为矩阵)(AI对应元素的代数余子式作为元素构成的伴随矩阵，而这些代数余子式

都是大于0，所以)(AI的逆矩阵的元素的都大于0。

⒊实物型投入产出模型求解条件的证明

如果实物型投入产出模型的划分与价值型投入产出模型一致，那么存在：

j

i

p

ij

s

ijp

pa

a

其中上标“s”表示价值型模型的部门，上标“p”表示实物型模型的产品，p表示产品的价

格。该式表示，实物型直接消耗系数乘以所在行的产品的价格，再除以所在列的产品的价格，

就得到对应的价值型直接消耗系数。于是可以推得：

1PAIPAI

ˆ

)(

ˆ

)(sp

其中带“＾”者表示对角阵。也就是说，实物型的)(AI矩阵经过一系列的初等变换，每

行乘以所在行的产品的价格，每列除以所在列的产品的价格，就得到对应的价值型的)(AI

矩阵。而初等变换不改变矩阵的秩，原矩阵有逆，变换后的矩阵也有逆。所以，对于实物型

投入产出模型，矩阵)(AI有逆，且逆矩阵的元素不为负。