直角三角形的面积

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博源教育辅导讲义

学员姓名：辅导科目：数学教师：孙迎春

课题等腰三角形、直角三角形、勾股定理、面积

授课时间：备课时间：2013.4.1

教学目标

1.了解直角三角形的判定与性质

2.理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。

3.灵活运用等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理，以及底边上的高、中线、顶角的平分线

三线合一的性质进行有关的证明和计算。

重点、难点

重点：勾股定理的推导和引用

难点：三线合一以及勾股定理的灵活应用

考点及考试要求

（含中考）

1.等腰三角形、等边三角形的有关概念（A）

2.等腰三角形、等边三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件(D)

3.直角三角形的概念(A)

4.直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件(D)

5.运用勾股定理解决简单问题，用勾股定理的逆定理判定直角三角形(D)

教学内容

一、等腰（等边）三角形

【经典例题】

例1、等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为（）

A、300B、600C、1500D、300或1500

分析：如图所示，在等腰△ABC中，CD为腰AB上的高，CD∶AB＝1∶2，∵AC＝AB，∴CD∶AC＝1∶2，

∴在Rt△ABC中有答案D。

例1图

D

C

B

A

D

C

B

A

例2图

F

E

D

C

B

A

例2、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝900，D是AC上一点，AE⊥BD的延长线于E，又AE＝

2

1

BD，

求证：BD是∠ABC的角平分线。

分析：∠ABC的角平分线与AE边上的高重合，故可作辅助线补全图形，构造出全等三角形（证明略）。

例3、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰分别相交

于E、F点，连结EF与AD相交于G，试问：你能确定∠AED和∠AGF的大小关系吗？

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分析与结论：依题意有△ADE≌△FDC，△EDF为等腰直角三角形，又∵∠AED＝∠AEF＋∠DEG，∠AGF＝

∠AEF＋∠EAG，事实上∠EAG与∠DEG都等于450，故∠AED＝∠AGF。

评注：加强对图形的分析、发现、挖掘等腰三角形、全等三角形，用相同或相等角的代数式表示∠AED、∠AGF，

从而比较其大小是本题的解题关键。

问题一图

G

F

E

D

C

B

A

课内达标训练：

一、填空题：

1、等腰三角形的两外角之比为5∶2，则该等腰三角形的底角为。

2、在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，E为垂足，则∠C＝。

3、等腰三角形的两边长为4和8，则它腰上的高为。

4、在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为。

5、如图，AB＝BC＝CD，AD＝AE，DE＝BE，则∠C的度数为。

第5题图

E

D

C

B

A

第6题图

P

D

C

B

A

第7题图

4

3

2

1

H

G

F

E

D

C

B

A

6、如图，D为等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC，则∠BPD＝。

7、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，已知

下列四个式子：

①∠1＝

2

1

（∠2＋∠3）②∠1＝2（∠3－∠2）

③∠4＝

2

1

（∠3－∠2）④∠4＝

2

1

∠1

其中有两个式子是正确的，它们是和。

二、选择题：

1、等腰三角形中一内角的度数为500，那么它的底角的度数为（）

A、500B、650C、1300D、500或650

2、如图，D为等边△ABC的AC边上一点，且∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，则△ADE是（）

A、等腰三角形B、直角三角形C、不等边三角形D、等边三角形

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第2题图

E

D

CB

A

第3题图

S

Q

P

F

E

D

C

B

A

3、如图，在△ABC中，∠ABC＝600，∠ACB＝450，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于

Q、S，那么图中的等腰三角形的个数是（）

A、2B、3C、4D、5

4、如图，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝12，BC＝24，AC＝18，则△AMN的周长

是（）

A、30B、33C、36D、39

第4题图

O

N

M

CB

A

第5题图

E

D

C

B

A

5、如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝1200，EA＝AB＝BC＝

2

1

DC＝

2

1

DE，则∠D＝（）

A、300B、450C、600D、67.50

三、解答题：

1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，且BD＝CE，∠DEF＝∠B。求证：

△DEF是等腰三角形。

2、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地。请你求出这个等

腰三角形绿地的另两边长。

3、如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠ABC的平分线与AD垂直，垂足为D，求证：AC＝2BD。

第1题图

F

E

D

C

B

A

第3题图

E

D

CB

A

4、在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠DAE＝600，AE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么

三角形？证明你的结论。

二、直角三角形、勾股定理、面积

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【经典例题】

例1、如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，则AB＝？

分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。

答案：3

3

8

例1图

3

2

E

D

C

B

A

例2图

Q

PC

B

A

例2、如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。

分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，而应综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝600来构造出含

300角的直角三角形。这是解本题的关键。

答案：∠ACB＝750（提示：过C作CQ⊥AP于Q，连结BQ，则AQ＝BQ＝CQ）

例3、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝300，点A处有一所中学，AP＝160米，假设汽

车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的

影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？

分析：从学校（A点）距离公路（MN）的最近距离（AD＝80米）入手，在距A点方圆100米的范围内，利用

图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。

略解：作AD⊥MN于D，在Rt△ADP中，易知AD＝80。所以这所学校会受到噪声的影响。以A为圆心，100

米为半径作圆交MN于E、F，连结AE、AF，则AE＝AF＝100，根据勾股定理和垂径定理知：ED＝FD＝60，EF

＝120，从而学校受噪声影响的时间为：

150

1

18000

120

t（小时）＝24（秒）

评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。

问题一图

F

E

D

A

Q

P

N

M

12

C

B

A

问题二图

例3图例4图

例4、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如

图12，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离

台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风

中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。

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（1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由。

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?

解：（1）如图1，由点A作AD⊥BC，垂足为D。

∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）。

由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。

（2）由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。则AE＝AF＝160。当台风中心

从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得：

1532222ADAEDE。∴EF＝6015（千米）。

∵该台风中心以15千米／时的速度移动。∴这次台风影响该城市的持续时间为

154

15

1560



（小时）。

（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－

20

110

＝6.5（级）。

评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意

义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作AD⊥BC于D，设E，F分

别表示A市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AE＝AF＝160；当台风中心位于D处时，A市受台风

影响的风力最大。

课内达标训练:

一、填空题：

1、如果直角三角形的边长分别是6、8、x，则x的取值范围是。

2、如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝13，AD＝12，，BD＝5，AC＝BC，则BC＝。

第2题图

13

12

5

DCB

A

第3题图

D

C

B

A

第5题图

D

C

B

A

3、如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝900，则∠DAB＝。

4、等腰△ABC中，一腰上的高为3cm，这条高与底边的夹角为300，则

ABC

S



＝。

5、如图，△ABC中，∠BAC＝900，∠B＝2∠C，D点在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1，则BD的长为。

6、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB边上的中线长为2，且AC＋BC＝6，则

ABC

S



＝。

7、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，腰长为8cm，AC、BD相交于O点，且∠AOD＝600，设E、F分别为CO、

AB的中点，则EF＝。

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第7题图

F

E

O

D

CB

A

第8题图

E

Q

P

D

C

B

A

第9题图

D

C

B

A

8、如图，点D、E是等边△ABC的BC、AC上的点，且CD＝AE，AD、BE相交于P点，BQ⊥AD。已知PE＝1，

PQ＝3，则AD＝。

9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方

形A、B、C、D的面积的和是。

二、选择题：

1、如图，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；

③△BRP≌△QSP中（）

A、全部正确B、仅①和②正确C、仅①正确D、仅①和③正确

2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（）

A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不能确定

3、在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，则∠ACB的度数是（）

A、大于900B、小于900C、等于900D、不能确定

第1题图

S

R

Q

P

C

B

A

第4题图

O

C

B

A

4、如图，已知△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝3，OA＝OC＝6，则∠OAB的度数为（）

A、100B、150C、200D、250

三、解答题：

1、阅读下面的解题过程：已知a、

b

、c为△ABC的三边，且满足42222acbca

4b，试判断△ABC的形状。

解：∵42222acbca4b……①

∴))(()(2222222bababac……②

∴222cba……③

∴△ABC是直角三角形。

问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号；

（2）错误的原因是；

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（3）本题的正确结论是。

2、已知△ABC中，∠BAC＝750，∠C＝600，BC＝33，求AB、AC的长。

3、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G。

（1）求证：G是CE的中点；

（2）∠B＝2∠BCE。

第3题图

G

E

DCB

A

第4题图

C

B

A

4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB＝900，BC＝60米，∠A＝360。

（1）若入口E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口E到C点的最短路线，并求最短路线CE

的长（保留整数）；

（2）若线段CD是一条水渠，并且D点在边AB上，已知水渠造价为50元／米，水渠路线应如何设计才能使

造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。

参考数据：sin360＝0.5878，sin540＝0.8090

5、已知△ABC的两边AB、AC的长是方程023)32(22kkxkx的两个实数根，第三边BC＝5。

（1）

k

为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）

k

为何值时，△ABC是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。

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6、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A，

B，C，D的面积之和为___________cm2。

7、如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20、3、2，A

和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可

口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到

B点最短路程是。

8、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3.

(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3

之间有什么关系？(不必证明)

(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、

S2、S3之间的关系并加以证明；

(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间

仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；

(4)类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论.

学员课堂满意度调查：（）

A.非常满意B.基本满意C.不太满意D.非常不满意

课后作业：完成老师下发的个性化专题训练

9/10

学员课后作业完成质量调查：（）

A.96%-100%B.90-95%C.80%-89%D.80%以下

教学反思及后记：

家长签名：日期：

10/10