数列

人教版数学必修五

第二章数列重难点解析

第二章课文目录

2．1数列的概念与简单表示法

2．2等差数列

2．3等差数列的前n项和

2．4等比数列

2．5等比数列前n项和

【重点】

1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理

解与应用。

4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和

公式

【难点】

1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法

⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.

注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们

就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2

项，…，第n项，….

⒊数列的一般形式：

,,,,,

321n

aaaa，或简记为

n

a，其中

n

a是数列的第n项

⒋数列的通项公式：如果数列

n

a的第n项

n

a与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫

做这个数列的通项公式.

注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；

⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是

2

)1(11



n

n

a，也可以是|

2

1

cos|





n

a

n

.

⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公

式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列

的每一项．

5.数列与函数的关系：

数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的

函数()

n

afn，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可

以得到一个数列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)…，f(n)，…

6．数列的分类：

1）根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列

无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列

2）根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

7．数列的表示方法

（1）通项公式法

如果数列

n

a的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的

通项公式。

如数列的通项公式为；

的通项公式为；

的通项公式为；

（2）图象法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，

相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到

的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，

因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项

数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．

（3）递推公式法

如果已知数列

n

a的第1项（或前几项），且任一项

n

a与它的前一项

1n

a（或前n

项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89

递推公式为：)83(,5,3

2121





naaaaa

nnn

4、列表法

．简记为．

典型例题：

例1：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1)3,5,9,17,33,……；(2)

3

2

,

15

4

,

35

6

,

63

8

,

99

10

,……；

(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,……；

(5)2,－6,12,－20,30,－42,…….

解：(1)

n

a＝2n＋1；(2)

n

a＝

)12)(12(

2

nn

n

；(3)

n

a＝

2

)1(1n

；

(4)将数列变形为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,……,

∴

n

a＝；

(5)将数列变形为1×2,－2×3,3×4,－4×5,5×6,……，

∴

n

a＝

例2：设数列

n

a满足

1

1

1

1

1(1).

n

n

a

an

a

















写出这个数列的前五项。

解：

二、等差数列

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫

做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{

n

a},若

n

a－

1n

a=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则

此数列是等差数列，d为公差。

2．等差数列的通项公式：dnaa

n

)1(

1

【或

n

admna

m

)(】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列

n

a的首项是

1

a，公差是d，则据其定

义可得：

daa

12

即：daa

12

daa

23

即：dadaa2

123



daa

34

即：dadaa3

134



……

由此归纳等差数列的通项公式可得：dnaa

n

)1(

1



∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项

1

a和公差d，便可求得其通项

n

a。

由上述关系还可得：dmaa

m

)1(

1



即：dmaa

m

)1(

1



则：

n

adna)1(

1

=dmnadndma

mm

)()1()1(

即等差数列的第二通项公式

n

admna

m

)(∴d=

nm

aa

nm





3．有几种方法可以计算公差d

①d=

n

a－

1n

a②d=

1

1





n

aa

n③d=

mn

aa

mn





4．结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，

qpnm

aaaa

即m+n=p+q

qpnm

aaaa(m,n,p,q∈N)

但通常①由

qpnm

aaaa推不出m+n=p+q，②

nmnm

aaa





典型例题：

例1：⑴求等差数列8，5，2…的第20项

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项如果是，是第几项

解：

例3：求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.

例5：100是不是等差数列2，9，16，……的项如果是，是第几项如果不是，说明理由.

例6：－20是不是等差数列0，－3

2

1

，－7，……的项如果是，是第几项如果不是，说明理由.

例8：在等差数列{

n

a}中，若

1

a+

6

a=9,

4

a=7,求

3

a,

9

a.

三、等差数列的前n项和

1．等差数列的前

n

项和公式1：

2

)(

1n

n

aan

S





证明：

nnn

aaaaaS

1321

①

1221

aaaaaS

nnnn





②

①+②：)()()()(2

23121nnnnnn

aaaaaaaaS





∵

23121nnn

aaaaaa

∴)(2

1nn

aanS由此得：

2

)(

1n

n

aan

S





从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性

2．等差数列的前

n

项和公式2：

2

)1(

1

dnn

naS

n





用上述公式要求

n

S必须具备三个条件：

n

aan,,

1

但dnaa

n

)1(

1

代入公式1即得：

2

)1(

1

dnn

naS

n





此公式要求

n

S必须已知三个条件：dan,,

1

（有时比较有用）

对等差数列的前

n

项和公式2：

2

)1(

1

dnn

naS

n



可化成式子：

n)

2

d

a(n

2

d

S

1

2

n

，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

3．由

n

S的定义可知，当n=1时，

1

S=

1

a；当n≥2时，

n

a=

n

S-

1n

S，

即

n

a=













)2(

)1(

1

1

nSS

nS

nn

.

4．对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

（1）利用

n

a:

当

n

a>0，d<0，前n项和有最大值可由

n

a≥0，且

1n

a≤0，求得n的值

当

n

a<0，d>0，前n项和有最小值可由

n

a≤0，且

1n

a≥0，求得n的值

（2）利用

n

S：

由n)

2

d

a(n

2

d

S

1

2

n

利用二次函数配方法求得最值时n的值

典型例题：

例2：等差数列－10，－6，－2，2，·······前9项的和多少？

解：

例3：等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．

解

例6：已知等差数列{a

n

}中，S

3

=21，S

6

=64，求数列｛|a

n

|｝的前n项和T

n

．

例7：在等差数列{a

n

}中，已知a

6

＋a

9

＋a

12

＋a

15

＝34，求前20项之和．

例8：已知等差数列{a

n

}的公差是正数，且a

3

·a

7

=－12，a

4

＋a

6

=－4，求它的前20项的和S

20

的

值．

例9：等差数列{a

n

}、{b

n

}的前n项和分别为S

n

和T

n

，若

S

T

n

n

a

b

n

n





2

31

100

100

，则等于[]

例10：解答下列各题：

(1)已知：等差数列{a

n

}中a

2

＝3，a

6

＝－17，求a

9

；

(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为

1350，求这几个数；

(3)已知：等差数列{a

n

}中，a

4

＋a

6

＋a

15

＋a

17

＝50，求S

20

；

(4)已知：等差数列{a

n

}中，a

n

=33－3n，求S

n

的最大值．

四、等比数列

1．等比数列：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等

比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：

1n

n

a

a

=q（q≠0）

1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)

｛

n

a｝成等比数列

n

n

a

a

1

=q（

Nn,q≠0）

2隐含：任一项00qa

n

且

“

n

a≠0”是数列｛

n

a｝成等比数列的必要非充分条件．

3q=1时，{an}为常数。

2.等比数列的通项公式1:

)0(

1

1

1

qaqaan

n

由等比数列的定义，有：

qaa

12

；

2

1123

)(qaqqaqaa；

3

1

2

134

)(qaqqaqaa；

…………………

3.等比数列的通项公式2:

)0(

1

1qaqaam

mn

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列

5．等比数列与指数函数的关系：

等比数列｛

n

a｝的通项公式)0(

1

1

1

qaqaan

n

,它的图象是分布在曲线1

x

a

yq

q



（q>0）上的一些孤立的点。

当

1

0a，q>1时，等比数列｛

n

a｝是递增数列；

当

1

0a，01q，等比数列｛

n

a｝是递增数列；

当

1

0a，01q时，等比数列｛

n

a｝是递减数列；

当

1

0a，q>1时，等比数列｛

n

a｝是递减数列；

当0q时，等比数列｛

n

a｝是摆动数列；当1q时，等比数列｛

n

a｝是常数列。

6．等比中项：

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=

±ab（a,b同号）

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则abGabG

G

b

a

G

2，

反之，若G2

=ab,则

G

b

a

G

，即a,G,b成等比数列

∴a,G,b成等比数列



G2

=ab（a·b≠0）

7．等比数列的性质：

若m+n=p+k，则

kpnm

aaaa

在等比数列中，m+n=p+q，

kpnm

aaaa,,,有什么关系呢？

由定义得：

1

1n

1

1

nm

m

qaaqaa1

1k

1

1

kp

p

qaaqaa

2

2

1

nm

nm

qaaa，2

2

1

kp

kp

qaaa

则

kpnm

aaaa

8．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

9．等比数列的增减性：当q>1,

1

a>0或0

1

a<0时,{

n

a}是递增数列;当q>1,

1

a<0,或0

1

a>0

时,{

n

a}是递减数列;当q=1时,{

n

a}是常数列;当q<0时,{

n

a}是摆动数列;

10．证明数列为等比数列的方法:

(1)定义法:若为等比数列数列

n

n

naNnq

a

a



)(1

(2)等比中项法:若2

12

0,()

nnnn

aaanNa



数列为等比数列

(3)通项法:若为等比数列数列的常数均是不为

n

n

n

aN，nqccqa)0,(

(4)前n项和法:若(,0,1)n

n

SAqAAqqq为常数,且数列

n

a为等比数列。

典型例题：

例1：求下列各等比数列的通项公式：

（1）

1

a=2,

3

a=8；（2）

1

a=5,且2

1n

a=3

n

a；（3）

1

a=5,且

1

1





n

n

a

a

n

n

解：

例2：求下面等比数列的第4项与第5项：

（1）5，－15，45，……；

（2），，，……；

（3）

2

2

,1,2)4(;,

8

3

.

2

1

,

3

2

，…….

解：

例3：一个等比数列的第9项是

9

4

，公比是－

3

1

，求它的第1项.

解：

例4：一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.

解：

例7：(1)已知{

n

a}是等比数列，且252,0

645342

aaaaaaa

n

,求

53

aa

解：

例9：在等比数列

n

b中，3

4

b，求该数列前七项之积

解：

例10：在等比数列

n

a中，2

2

a，54

5

a，求

8

a，

解：

五、等比数列的前n项和

1、等比数列的前n项和公式：

当1q时，

q

qa

S

n

n





1

)1(

1①或

q

qaa

Sn

n





1

1②

当q=1时，

1

naS

n



当已知

1

a,q,n时用公式①；当已知

1

a,q,

n

a时，用公式②.

公式的推导方法一：

一般地，设等比数列

n

aaaa,,

321

它的前n项和是

由











1

1

321

n

n

nn

qaa

aaaaS

得



















nn

n

nn

n

qaqaqaqaqaqS

qaqaqaqaaS

1

1

1

3

1

2

11

1

1

2

1

2

111





∴当1q时，

q

qa

S

n

n





1

)1(

1①或

q

qaa

Sn

n





1

1②

当q=1时，

1

naS

n



公式的推导方法二：

有等比数列的定义，

q

a

a

a

a

a

a

n

n

12

3

1

2

根据等比的性质，有

q

aS

aS

aaa

aaa

nn

n

n

n













1

121

32





即

q

aS

aS

nn

n





1qaaSq

nn



1

)1(（结论同上）

围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．

公式的推导方法三：



n

S

n

aaaa

321

＝

)(

13211



n

aaaaqa

＝

11



n

qSa＝)(

1nn

aSqa

qaaSq

nn



1

)1(（结论同上）

2、重要结论

{an}成等比数列，公比为q

（1）

1

n

a







也为等比数列，且公比为

1

q

，1

1

1

11

1

1

1

(1)

1

n

n

n

n

aq

q

S

aqq

q



















（2）2

n

a也成等比数列，且公比为q2

（3）

n

a成等比，且an>0，则lga1,lga2,lga3…成等差

[注]（1）{}{lg}

nn

aa成等比成等差

（2）{}{}n

a

n

aa成等差成等比

典型例题：

例1：求和：.

解：

等差数列等比数列

定

义

一般地,如果一个数列从第2项起，每

一项与它的前一项的差等于同一个常数，那

么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫公

差．

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与

它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列

就叫等比数列．这个常数叫公比．

递

推

关

系

①

121nn

aaaa



（*nN）

②

1nn

aad



（*nN）

③

11nnnn

aaaa





（

*2,nnN）

①1

2

1

n

n

a

a

aa

（*nN）

②1n

n

a

q

a

（*0,qnN）

③1

1

nn

nn

aa

aa





（*2,nnN）

通

项

公

式

①

1

(1)

n

aand（*nN）

②

n

apnq（*,,pqnN为常数）

①

1

1

n

n

qaa（*nN）

②

n

n

qpa

（

*,,0,0,pqqpnN是常数）

求

和

公

式

①

1

2()

nn

Snaa（*nN）

②

1

(1)

2n

nn

Snad



(*nN)

③

2

n

SAnBn(*,,ABnN是常数)

②

1

1

,1

(1)

,1

1

n

n

naq

S

aq

q

q





















(

*nN)

③

1

,1

,1n

n

naq

S

AAqq













(

*nN，0A)

主

要

性

质

①若p+q=s+r,p、q、s、rN*,则

pqsr

aaaa.

②对任意c>0,c1,n

ac为等比数列.

③

*

11

2,,2

nnn

aaanNn



.

④若

n

a、

n

b分别为两等差数列，则



nn

ab为等差数列.

⑥若

n

b为正项等差自然数列，则n

b

a为

等差数列.

⑦,,,

232nnnnn

SSSSS为等差数列.

①若p+q=s+r,p、q、s、rN*,则

rsqp

aaaa.

②对任意c>0,c1,若an恒大于0，则log

cn

a

为等差数列.

③2,,2

11





nNnaaa

nnn

.

④若

n

a、

n

b为两等比数列，则

nn

ba为等

比数列.

⑥若

n

b为正项等差自然数列，则n

b

a为等比

数列.

⑦,,,

232nnnnn

SSSSS为等比数列.