三次数学危机

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《校园百家讲坛》演讲稿

数学史上的三次危机及对数学发展的影响

主讲卢伯友

一引言

“校园百家讲坛”很早就邀请我，要我给同学们讲点什么，因为这个讲坛的神圣性和严

肃性，我一直没有敢答应下来。今天，站在这个讲坛上，我仍然感到诚惶诚恐的。讲什么呢？

从哪儿开始呢?我一直思考着这个问题。

国学大师王国维在《人间词话》中说过：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其

外。入乎其内，故能写之。出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气。出乎其外，故有高

致。”

同学们平时听课、读书、做习题是入乎其内，今天听讲座是出乎其外，两者相互相成。

只知入乎其内，那是见木不见林，常常会迷失方向。所以，还要辅助以出乎其外，站出来作

高瞻远瞩。正所谓“风声、雨声、读书声、声声入耳；家事、国事、天下事，事事关心！”

整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前，科学巨人们站

在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤劳把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。我们

认为，整个人类文明可以分为三个层次：(1)以锄头为代表的农耕文明；(2)以大机器流水

线作业为代表的工业文明;(3)以计算机为代表的信息文明。数学在这三个文明中都是深层

次的动力，其作用一次比一次明显。

基于此原因，我今天演讲的题目是：数学史上的三次危机及对数学发展的影响

古人讲，欲穷千里目，更上一层楼。今天，我们站在历史的角度，剖析历史上发生的

三次数学危机及其对数学发展的重要影响，让同学们不仅从数学自身的思想方法和应用的角

度，而且从文化和历史的高度审视数学的全貌和美丽。赞美数学思想的博大精深，赞美由数

学文化引出的理性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的蓬勃发展。

二数学史上的三次危机及对数学发展的影响

1毕达哥拉斯与第一次数学危机

1.1第一次数学危机的内容

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学

术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物

皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信

仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学

信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：

边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表

示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2的诞生。

小小2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的

数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学

派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表

现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希

腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例

外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的2的存在而

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推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。

更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，

从而导致了西方数学史上一场大的风波，这场风波，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，

“数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了

整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱。这场危机，历史上称之为第一次数学危

机。

1.2第一次数学危机对数学发展的影响

第一次数学危机对数学发展的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发

展。

首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，

许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数

的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论[5]，为数学分析的发展奠定了基础。

其次，第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：证明进入了数学，

数学已经由经验科学变为演绎科学，并由此建立了几何公理体系。欧氏几何就是人们为了消

除矛盾，解除危机，在这时候应运而生的。

欧几里得的《几何原本》（公元前330-前275）的出现是数学史上的一个伟大的里程碑。

这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作。两千多年来一直是全世界人民学

习数学的主要教材。《几何原本》共有23条定义、5条公设、5条公理、467个命题，在西

方世界，除了《圣经》以外没有其它著作的作用、研究、印行之广泛能与《几何原本》相比。

自1482年第一个印刷本出版后，至今已有一千多个版本。《几何原本》在明朝末年（1607

年）被引入我国，它是由我国科学家徐光启和意大利传教士利玛窦合作翻译的，是我国翻译

的第一部西方数学著作。徐光启曾对这部著作给以高度评价。他说：“此书有四不必：不必

疑，不必揣；不必试，不必改。有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，

欲前后更之不可得。有三至三能：似至晦，实至明，故能以其简简他物之至繁；似至难，实

至易，故能以其易易他物之至难；易生于简，简生于明，综其妙在明而已。”

第一次数学危机极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部

严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。

1.3第一次数学危机给人类文明留下的珍贵遗产

第一次数学危机，诞生了欧几里得几何。欧几里得几何的影响超过了任何别的书，它一

方面是现代科学技术的理论基础之一，另一方面它给予人们一套科学的几何思想。我们来举

几个典型的例子．

阿基米德不是通过用重物作实验，而是按欧几里得的方式，从“相等的生物在离支点相

等距离处处于平衡”这一公设出发证明了杠杆定律．

牛顿称著名的三定律为“公理或运动定律”．从三定律和万有引力定律出发，建立了他

的力学体系．他的《自然哲学的数学原理》具有欧几里得式的结构．

在马尔萨斯1789年的《人口论》中，我们可以找到另一个例子．马尔萨斯接受了欧几

里得的演绎模型．他把下面两个公设作为他的人口学的出发点：人需要食品；人需要繁衍后

代．他接着从对人口增长和食品供求增长的分析中建立了他的数学模型．这个模型简洁，有

说服力，对各国的人口政策有巨大影响．

令人惊奇的是，欧几里得的模式还推广到了政治学．美国的《独立宣言》是一个著名的

例子．独立宣言是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的．美国第三任总统杰斐逊

(1743一1826)是这个宣言的主要起草人．他试图借助欧几里得的模型使人们对宣言的公正

性和合理性深信不疑．“我们认为这些真理是不证自明的…”不仅所有的直角都相等，而且

“所有的人生来都平等”．这些自明的真理包括，如果任何一届政府不服从这些先决条件，

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那么“人民就有权更换或废除它”．宣言主要部分的开头讲，英国国王乔治的政府没有满足

上述条件．”因此，…我们宣布，这些联合起来的殖民地是，而且按正当权力应该是，自由

的和独立的国家．”我们顺便指出，杰斐逊爱好文学、数学、自然科学和建筑艺术．

相对论的诞生是另一个光辉的例子．相对论的公理只有两条：1)相对性原理，任何自然

定律对于一切直线运动的观测系统都有相同的形式；2)光速不变原理，对于一切惯性系，光

在真空中都以确定的速度传播．爱因斯坦就是在这两条公理的基础上建立了他的相对论．

关于建立一个理论体系，爱因斯坦认为科学家的工作可以分为两步．第一步是发现公理，

第二步是从公理推出结论．哪一步更难呢?他认为，如果研究人员在学校里已经得到很好的

基本理论、推理和数学的训练，那么他在第二步时，只要“相当勤奋和聪明，就一定能成功”．至

于第一步，即找出所需要的公理，则具有完全不同的性质，这里没有一般的方法．爱因斯坦

说：“科学家必须在庞杂的经验事实中间抓住某些可用精密公式来表示的普遍特性，由此探

求自然界的普遍原理．”

第一，它留给我们一个坚强的信念：自然数是万物之母，即宇宙规律的核心是数学．这

个信念鼓舞人们将宇宙间一切现象的终极原因找出来，并将它数量化．

第二，它孕育了一种理性精神，这种精神现在已经渗透到人类知识的一切领域．

第三，它给出一个样板一欧几里得几何．这个样板的光辉照亮了人类文化的每个角落．

但是，令人痛惜的是，罗马士兵一刀杀死了阿基米德这个科学巨人，这就宣布了一个光

辉时代的结束．怀特海对此评论道：“阿基米德死于罗马士兵之手是世界巨变的象征．务实

的罗马人取代了爱好理论的希腊人，领导了欧洲．…罗马人是一个伟大的民族．但是受到了

这样的批评：讲求实效，而无建树．他们没有改进祖先的知识，他们的进步只限于工程上的

技术细节．他们没有梦想，得不出新观点，因而不能对自然的力量得到新的控制．”

此后是千余年的停滞．

2贝克莱与第二次数学危机

2.1第二次数学危机的内容

公元17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释许多自然现象，它

在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起了人们高度的重视。然而，因为微积分

才刚刚建立起来，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，

还不能自圆其说。

例如牛顿当时是这样求函数y＝xn的导数的：（x＋△x）n＝xn＋n·xn-1·△x＋[n（n+1）

/2]·xn-2·(△x)2＋……＋（△x）n，然后用自变量的增量△x除以函数的增量△y，△y/

△x＝[（x＋△x）n－xn]/△x＝n·xn-1＋[n（n-1）/2]·xn-2·△x＋……＋n·x·（△x）n-2

＋（△x）n-1，最后，扔掉其中含有无穷小量△x的项，即得函数y=xn的导数为y′=nxn-1。

对于牛顿对导数求导过程的论述，哲学家贝克莱很快发现了其中的问题，他一针见血的

指出：先用△x为除数除以△y，说明△x不等于零，而后又扔掉含有△x的项，则又说明△

x等于零，这岂不是自相矛盾吗？因此贝克莱嘲弄无穷小是“逝去的量的鬼魂”，他认为微

积分是依靠双重的错误得到了正确的结果，说微积分的推导是“分明的诡辩”。

确实，这种在同一问题的讨论中，将所谓的无穷小量有时作为0，有时又异于0的做法，

不得不让人怀疑。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论的出现危

及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多世纪的论战，从而形成了数学发展史中的第

二次危机。

2.2第二次数学危机的影响

第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量△x，为了克服由此引

起思维上的混乱，解决这一危机，无数人投入大量的劳动。在初期，经过欧拉、拉格朗日等

人的努力,微积分取得了一些进展；从19世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，柯西、外

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尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。微积分内在的根本矛盾，就是怎样用数学

的和逻辑的方法来表现无穷小，从而表现与无穷小紧密相关的微积分的本质。在解决使无穷

小数学化的问题上，出现了罗比达公理：一个量增加或减少与之相比是无穷小的另一个量，

则可认为它保持不变。而柯西采用的ε－δ方法刻画无穷小，把无穷小定义为以0为极限的

变量，沿用到今，无穷小被极限代替了。后来外尔斯特拉斯又把它明确化，给出了极限的严

格定义，建立了极限理论，这样就使微积分建立在极限基础之上了。极限的ε－δ定义就是

用静态的ε－δ刻画动态极限，用有限量来描述无限性过程，它是从有限到无限的桥梁和路

标，它表现了有限与无限的关系，使微积分朝科学化、数学化前进了一大步。极限理论的建

立加速了微积分的发展，它不仅在数学上，而且在认识论上也有重大的意义。后来在考查极

限理论的基础中，经过代德金、康托尔、海涅、外尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了

实数理论；在考查实数理论的基础时，康托尔又创立了集合论。这样有了极限理论、实数理

论和集合论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，从而结束了二百

多年的纷乱争论局面，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。

2.3第二次数学危机给人类文明留下的珍贵遗产

微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期．解析几何的诞生是新时代到来的序

曲，但还不是新时代的开端．它对旧数学作了总结，使代数和几何融为一体，并引出变量的

概念．变量，这是一个全新的概念，它为研究运动提供了基础．恩格斯说：“数学中的转折

点是笛卡儿的变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，

微分和积分也就立刻成为必要的了”．

推导出大量的宇宙定律必须等待这样时代的到来，准备好这方面的思想，产生像牛顿、

莱布尼兹、拉普拉斯这样一批能够开创未来，为科学活动提供方法，指出方向的领袖．但也

必须等待创立一个必不可少的工具一微积分，没有微积分，推导宇宙定律是不可能的．在

17世纪的天才们开发的所有知识宝库中，这一领域是最丰富的，微积分为创立许多新的学

科提供了源泉．

微积分是人类智慧的伟大结晶．它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因

此加强与加深了数学的作用．恩格斯说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半

叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了．如果在某个地方我们看到人类精神的纯

粹的和唯一的功绩，那就正是在这里．”有了微积分，人类才有能力把握运动和过程．有了

微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会．航天飞机，宇宙飞船

等现代化交通工具都是微积分的直接后果．数学一下子走到了前台．数学在人类社会的第二

次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了．1642年1月8日，伽利略在宗教的迫害下，默

默辞世．同年12月25日，一个孱弱的没有了父亲的早产儿诞生了，他就是牛顿．牛顿接过

伽利略的事业继续前进．当初伽利略用数学化的语言描述自然界时，总是将运动限制在地球

表面或附近．他的同时代人开卜勒得到了关于天体运动的三个数学定律．在微积分的帮助下，

万有引力定律发现了，牛顿用同一个公式来描述太阳对行星的作用，以及地球对它附近物体

的作用．这就是说，伽利略和牛顿建立的这些定律描述了从最小的尘埃到最遥远的天体的运

动行为．宇宙中没有哪一个角落不在这些定律所包含的范围内．这是人类认识史上的一次空

前飞跃，不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响．它强有力地证明了宇宙的数

学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学．

在伽利略规划的指导下，借助微积分的工具在寻求自然规律方面所取得的成功远远超出

了天文学的领域．人们把声音当作空气分子的运动而进行研究，获得了著名的数学定律．胡

克研究了物体的振动．波意耳、马略特、伽利略、托里拆利和帕斯卡测出了液体、气体的压

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力和密度．范．海尔蒙特利用天平测量物质，迈出了近代化学中重要的一步．黑尔斯开始用

定量的方法研究生理学．哈维利用定量的方法证明了流出心脏的血液在回到心脏前将在全身

周流．定量研究也推广到了植物学．所有这些仅仅是一场空前巨大的、席卷近代世界的科学

运动的开端．

到18世纪中叶，伽利略和牛顿研究自然的定量方法的无限优越性，已经完全确立了．著

名哲学家康德说，自然科学的发展取决于其方法与内容和数学结合的程度，数学成为打开知

识大门的金钥匙，成为科学的皇后．

1)理性精神是获取真理的最高源泉；

2)数学推理是一切思维中最纯粹、最深刻、最有效的手段；

3)每一个领域都应该探求相应的自然和数学规律．特别是哲学、宗教、政治经济、伦理

和美学中的概念和结论都要重新定义，否则它们将与那个领域里的规律不相符合．

3罗素与第三次数学危机

3.1第三次数学危机的内容

在前两次数学危机解决后不到30年即19世纪70年代,德国数学家康托尔创立了集合论,

集合论是数学上最具革命性的理论,初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础。1900年，在巴

黎召开的国际数学家会议上，法国大数学家庞加莱兴奋的宣布：“我们可以说，现在数学已

经达到了绝对的严格。”然而，正当人们为集合论的诞生而欢欣鼓舞之时,一串串数学悖论却

冒了出来，又搅得数学家心里忐忑不安,其中英国数学家罗素1902年提出的悖论影响最大,

“罗素悖论”的内容是这样的：设集合B是一切不以自身为元素的集合所组成的集合，问：

B是否属于B？若B属于B，则B是B的元素，于是B不属于自身，即B不属于B；反之，若

B不属于B，则B不是B的元素，于是B属于自己，即B属于B。这样，利用集合的概念，

罗素导出了——集合B不属于B当且仅当集合B属于B时成立的悖论。之后，罗素本人还提

出了罗素悖论的通俗版本，即理发师悖论。理发师宣布了这样一条原则：他只为村子里不给

自己刮胡子的人刮胡子。那么现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来刮？。如果他自己给

自己刮胡子，那么他就是村子里给自己刮胡子的人，根据他的原则，他就不应给自己刮胡子；

如果他不给自己刮胡子，那么他就是村子里不给自己刮胡子的人，那么又按他的原则他就该

为自己刮胡子。同样有产生了这样的悖论：理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮

胡子。这就是历史上著名的罗素悖论。罗素悖论的出现，动摇了数学的基础，震撼了整个数

学界，导致了第三次数学危机。

3.2第三次数学危机的影响

罗素悖论的出现，动摇了本来作为整个数学大厦的基础——集合论，自然引起人们对数

学基本结构有效性的怀疑。罗素悖论的高明之处，还在于它只是用了集合的概念本身，而并

不涉及其它概念而得出来的，使人们更是无从下手解决。罗素悖论导致的第三次数学危机，

使数学家们面临着极大的困难。

数学家弗雷格在他刚要出版的《论数学基础》卷二末尾就写道：“对一位科学家来说，

没有一件比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，它的一块基石崩塌下来了。在

本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷入这种境地。”可见第三次数学危

机使人们面临多么尴尬的境地。然而科学面前没有人会回避，数学家们立即投入到了消除悖

论的工作中，值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了，原来康托尔提出集合论时

对“集合”的概念没有做必要的限制，以至于可以构造“一切集合的集体”这种过大的集合

而产生了悖论。

为了从根本上消除集合论中出现的各种悖论，特别是罗素悖论，许多数学家进行了不懈

的努力。如以罗素为主要代表的逻辑主义学派，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大

小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德

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国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，

从逻辑上保证集合的纯粹性，他从“集合”、“属于”两个基本概念出发，引入了八条公理：

（1）外延公理：两个集合相等的充要条件是它们含有相同的元素。（2）空集公理：存在不

含任何元素的集合；这是一条绝对存在公理，它指出空集是绝对存在的。（3）无序公理：已

知两个集合，则存在仅以这两个集合为元素的集合；（4）并集公理：一个集合的元素的元素

构成一个集合。（5）幂集公理：一个集合的所有子集构成一个集合。（6）无穷公理：归纳集

合石存在的。（7）分离公理：任何一个集合A和一个公式，则A中所有满足公式的元

素构成一个集合。（8）选择公理：在有限或无穷个两两不相交的非空集合中，可以各自选一

个元素构成一个集合。从上述公理出发，策梅罗重新建立起康托尔的基数理论。并且他还证

明了，在上述系统中罗素悖论能够排除。这是因为，根据上述公理，所有的集合不构成集合。

至此，由“集合”和“属于”两个原始概念和上述公理组成了一个完整的集合论公理系统。

为了纪念策梅罗等科学家在建立这一系统的贡献，人们称这个系统为ZFC系统，在ZFC系统

中，“集合”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条公理。ZFC系统的建立，

使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机也随

之销声匿迹了。

3.2第三次数学危机给人类文明留下的珍贵遗产

第三次数学危机推动了数学家们从逻辑和哲学的角度深入研究数学基础问题。数理逻辑

得到了大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻

辑等。可以说第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也因此直

接造成了数学哲学研究的“黄金时代”。

4结语

历史上的三次数学危机，给人们带来了极大的麻烦，危机的产生使人们认识到了现有理

论的缺陷，科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段，所以悖论是科

泉之一。第一次数学危机使人们发现无理数，建立了完整的实数理论，欧氏几何也应运而生

并建立了几何公理体系；第二次数学危机的出现，直接导致了极限理论、实数理论和集合论

三大理论的产生和完善，使微积分建立在稳固且完美的基础之上；第三次数学危机，使集合

论成为一个完整的集合论公理体系（ZFC系统），促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性。

数学发展的历史表明对数学基础的深入研究、悖论的出现和危机的相对解决有着十分密

切的关系，每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容、新认识，甚至是革命性的变化，

使数学体系达到新的和谐，数学理论得到进一步深化和发展。悖论的存在反映了数学概念、

原理在一定历史阶段会存在很多矛盾，导致人们的怀疑，产生危机感，然而事物就是在不断

产生矛盾和解决矛盾中逐渐发展完善起来的，旧的矛盾解决了,新的矛盾还会产生，而就是

在其过程中，人们便不断积累了新的认识、新的知识，发展了新的理论。这是一个无穷反复

的过程，这个过程不断推动着数学的发展，使数学——这个自然科学的皇后更加妩媚多姿，

风情万种