重要极限公式

•资料.

2.5.1两个重要极限(第一课时)

一一新浪微博：月牙LHZ

一、教学目标

1•复习该章的重点内容。

2.理解重要极限公式。

3•运用重要极限公式求解函数的极限。

二、教学重点和难点

重点：公式的熟记与理解。

难点：多种变形的应用。

三、教学过程

1、复习导入

(1)极限存在性定理:liinf(x)=AOlimf(x)=limf(x)=A•Tf"YTX,YTxJ

(2)无穷大量与无穷小量互为倒数，若/(X)TS(XTX。)，则

------―>0(A'―>X

()

)

fW

(3)极限的四则运算：

Iim[/(x)±g(x)]=liinf(x)±limg(x)liin[/(A)•g(x)]=limf(x)•limg(x)

liin

/(x)

=

lim/(x)g(x)

limg(x)

(4)limcf(x)]=climf(x)(加法推论)

(5)lim[/(x)]A=[lim/(x)P(乘法推论)

(6)lim[无穷小量x有界变量]=0(无穷小量的性质)

r

sinx..1

eg•lim--------=lim—-sinx

YTOO牙%

(4)

•资料.

那么，问沁=?呢，这是我们本节课要学的重要极限

5X

2、掌握重要极限公式

v

sinx’

lun------=1

XTOX

公式的特征：(1)詈型极限；

(2)分子是正弦函数；

(3)sin后而的变量与分母的变量相同。

3、典型例题

【例1】求lim沁(“0)

3kx

hjisinx1..sinx1.1

W：lini-------=-lun--------=-xl=-

XTOkxkxkk

【例2】求lim如

sinx

1]

Xcosxj

=lim'"人・lim—!—=

1x1=1

(推导公式：lim竺=1)

5X

【例3】求lim沁

"TOX

i)x5xe5x

4、强化练习

(1)lim血*

(2)

sinkxInn

("0)

(3)

sin5xlim

33A•3X

so3

X

解：(1)limSinX=

Isinx-lim:

11

=-X1=

1

XTO

3x3ex33

—、sillkx

sinkxsinkx

(L)lim

—=limk----------

=k・

=k-=k

"TOxgOkxXTOkx

lim沁=lim

TT()3XIO5x

5..sin5x5‘5

=—・lim-----=—•1

=—

A-MJXXT()

sin2x

xcos2x丿

“•lim沁伽丄

j2xs°cos2x

=2xlxl=l

解:limm'=lim

XTO%XT()

解：恤泌J亦5•沁"lim泌匚5・1=5

(4)lim沁

KTOX

sin5x5

(4)

•资料.

四、小结:

•资料.

本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的

极限。在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正

弦函数，二是分子sin后而的变量与分母的变量相同。

五、布置作业：

(1)Urn沁(2)亦沁(3)lim沁⑷亦沁

XTO5XXTOXNT。2XXTOX

•资料.

2.5.2两个重要极限（第二课时）

-------新浪微博：月牙LHZ

一、教学目标

1・理解重要极限公式。

2.运用重要极限公式求解函数的极限。

二、教学重点和难点

重点：公式的熟记与理解。

难点：多种变形的应用。

三、教学过程

1、复习导入：

本节课我们学习一个重要的极限公式。首先我们一起复习一下指数运

算。

⑴仙）"=啓”

2、掌握重要极限公式

lim(1+丄)v=e

3、典型例题

【例1】lim(l+-)x

XT*x

解:lim(l+-/=lim[(l+l)2]2=[lim(l+丄)咛=e2(构造法)

X->XXXTXXKfXX

22

丄

n/n

•资料.

【例2]lim(l+x)x

•资料.

解：lim(l+x)；=lim(l+丄)；=e(换兀法)

.r->0二fRz

(推导公式:lim(l+^=e)

x->()

【例3】limd-lr

XTOCX

解：lim(l-l)x=lim[(l+—rvF，=[Um(l+—)^r，="=L(构造法)

XYXv->x—X'TOC—xe

【例4】lim(—)x

ix+1

解:lim(A)'=lim(—)'=lim---------------!---=-(构造法)

.V->OCx+]1X->X1Ae

l+—1+-

xX)

4、强化练习

(1)lim(l+-)x(2)lim(l+x)7(3)lim(l--)x(4)lim(—)T

XY

x

.1°—X

x

X+X+1

解：(1)lim(l+-)v=lim[(l+丄卢F=[iim(l+丄)叩=云

.YTX>%XXT8X

~55

2「1

(2)lim(l+x)x=lim(l+x)x

x->()XTO

四、小结:

木节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函

lim(l+x)-*=|~lim(l+丄

『

XT()」LwZ

?1x—

(3)lim(l--)x=Iim[(l+—)刁『=[lim(l+丄)=e

Xf

2

.V—>X

A->X

・2=丄

0

1+

2

r

.71

lim(—)r=lim(一Y=V-^X

X+1V-^X

1+—

X

Y+2

lim(—

/

2、X

lim1+-

X)

(

i、X

lim1+-

X)

11.

[lim(l+—

尸]2

—xX

㊁

1i,

YTHX

e

•资料.

数的极限。学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从

•资料.

1i.a

(2)lim(1+2x)x(3)lini(1——)2a(4)lim(:——)vA—%

A->XX+]

而求得极限。

五、布置作业:

(1)lim(l+—)A